ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー９２（有理線分と第２の余線分の矩形に等しい正方形の辺は第１の中項余線分）
もし
　面積が
　　有理線分と
　　第２の余線分によって
　　　かこまれる
ならば，
　その面積に等しい正方形の辺は
　　第１の中項余線分
　　　である。

• 面積は、
  定義１０ー２の補足２による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 第２の余線分は、
  定義１０�Vー２による。
• かこまれるは、
  定義２ー１による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 辺は、
  定義１ー１９の補足による。
• 第１の中項余線分は、
  定義の補足（命題１０ー７４）による。

　面積ＡＢが
　　有理線分ＡＣと
　　第２の余線分ＡＤによって
　　　かこまれる
とせよ。

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  　定義１０�Vー２（第２の余線分）
  命題１０ー８６（作図.第２の余線分）
  　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  による。 　
  
• 　ＡＣ；有理線分、
  　ＡＤ；第２の余線分、
  　矩形ＡＢ(ＡＣ、ＡＤ)
  となっている。

　面積ＡＢに等しい正方形の辺は
　　第１の中項余線分
　　　である
と主張する。

　ＤＧを
　　ＡＤへの付加
とせよ。

• 　命題１０ー８６（作図.第２の余線分）
  による。
• 　ＡＤ；第２の余線分、
  　ＤＧ；ＡＤへの付加
  となっている。

そうすれば
　ＡＧ,ＧＤは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　であり，
　付加された線分ＤＧは
　　定められた有理線分ＡＣと通約
　　　でき，
　ＡＧ全体の上の正方形は
　　　付加された
　　ＧＤ上の正方形より
　　ＡＧと長さにおいて通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　定義１０�Vー２（第２の余線分）
  による。
• 　ＡＧ、ＧＤ；有理線分、
  　ＡＧ∩^^2 ＧＤ、
  　ＤＧ∩指定有理線分ＡＣ
  　正方(_ＡＧ)＝正方(_ＧＤ)＋正方(_Ｘ)
  　　ＡＧ∩Ｘ
  となっている。

そこで
　ＡＧ上の正方形は
　　ＧＤ上の正方形より
　　ＡＧと通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい

• 　前節による。

から，
もし
　　ＧＤ上の正方形の４分の１に
　　　等しく
　　正方形だけ
　　　欠けている
　矩形が
　　ＡＧ上に
　　　つくられる
ならば，
　　それを通約
　　　できる
　　ニつの部分に
　　　分ける。

• 　前節、
  　命題１０ー１７（上の正方形の差が大と通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は通約）
  による。

そこで
　ＤＧが
　　Ｅで２等分
　　　された
とせよ。
　　ＥＧ上の正方形に
　　　等しく
　　正方形だけ
　　　欠けている
　矩形が
　　ＡＧ上に
　　　つくられた
とし，
　　それを
　　矩形ＡＦ，ＦＧ
とせよ。
　　　　　　[......(２)]

• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  　命題６ー２８（作図.線分の平行四辺形分割（コ））
  による。
• 　中点Ｅ(ＤＧ)、
  　Ｆ(ＡＧ；矩形(ＡＦ、ＦＧ)＝正方(_ＥＧ))
  となっている。

そうすれば
　ＡＦは
　　ＦＧと長さにおいて通約
　　　できる。
　　　　　　[......(６)]

• 　前節、前々節による。
• 　ＡＦ∩ＦＧ
  となっている。

ゆえに
　ＡＧは
　　ＡＦ,ＦＧの双方と
　　長さにおいて通約
　　　できる。

• 　前節、
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  による。
• 　ＡＧ∩ＡＦ、ＦＧ
  となっている。

ところが
　ＡＧは
　　有理線分
　　　であり
　　ＡＣと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　（１）
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＡＧ¬∩ＡＣ
  となっている。

したがって
　ＡＦ、ＦＧの双方も
　　有理線分
　　　であり
　　ＡＣと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、 　（１）による、
  
• 　ＡＦ、ＦＧ；有理線分、
  　　¬∩ＡＣ
  となっている。

ゆえに
　ＡＩ,ＦＫの双方は
　　中項面積
　　　である。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節、
  　命題１０ー２１（平方のみ通約可の有理線分の矩形と無理面積・無理線分）
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 今節の前に
  　次の作図が
  　省略されている。
  
  　　点Ｅ，Ｆ，Ｇを通り
  　　ＡＣに平行に
  　ＥＨ、ＦＩ，ＧＫが
  　　　ひかれた
  とせよ。
  • 　命題１ー３１（作図・平行線）
    による。
    
  • 　ＡＣ//ＥＨ//ＦＩ//ＧＫ
    となっている。
• 　矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)、矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)
  　　；中項面積
  となっている。

また
　ＤＥは
　　ＥＧと通約
　　　できる

• 　（２）、
  　定義１０ー１（通約）
  による。
• 　ＤＥ∩ＥＧ
  となっている。

から，
　ＤＧも
　　ＤＥ、ＥＧの双方と通約
　　　できる。

• 　前節、
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  による。
• 　ＤＧ∩ＤＥ、ＥＧ
  となっている。

ところが
　ＤＧは
　　ＡＣと長さにおいて通約
　　　できる。

• 　（１）による。
• 　ＤＧ∩ＡＣ
  となっている。

したがって
　ＤＨ,ＥＫの双方は.
　　有理面積
　　　である。
　　　　　　[......(５)]

• 　前節、
  　命題１０ー１９（長さで通約な有理線分の矩形は有理面積）
  による。
• 　矩形ＤＨ(ＡＣ、ＤＥ)、矩形ＥＫ(ＡＣ、ＥＧ)
  　　；有理面積
  となっている。

そこで
　　ＡＩに
　　　等しい
　正方形ＬＭが
　　　つくられた
とし，
　　ＦＫに
　　　等しくて
　　ＬＭと同じ角，
　　すなわち
　　角ＬＰＭを
　　　はさむ
　ＮＯが
　　　ひかれた
とせよ。
　　　　　　[......(４)]

• 　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　正方ＬＭ(_ＬＰ)＝矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)
  をつくり、
  また、
  　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　Ｎ（ＬＰ；正方ＮＯ(_ＮＰ)＝矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)）
  をとる。
  
• 　正方ＬＭ(_ＬＰ)＝矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)、
  　Ｎ（ＬＰ；正方ＮＯ(_ＮＰ)＝矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)）
  となっている。

　正方形ＬＭ，ＮＯは
　　同じ対角線を
　　　はさんでいる。
　　ＰＲを
　　それらの対角線
　　　とし，
　作図が
　　　なされた
とせよ。
　　　　　　　[......(７)]

• 　前節、
  　命題１ー４３の補足２(作図.対角線をはさむ平行四辺形)
  による。
  
• 　対角線ＰＲ(正方ＬＭ(_ＬＰ)；)
  　ＳＱ//ＬＰ、
  　ＮＴ//ＬＲ
  となっている。

そうすれば
　ＡＩ，ＦＫは
　　中項面積
　　　であり
　　ＬＰ,ＰＮ上の正方形に
　　　等しい

• 　（３） （４）による。
• 　矩形ＡＩ＝正方ＬＰ；中項面積、
  　矩形ＦＫ＝正方ＰＮ；中項面積、
  となっている。 　

から，
　ＬＰ,ＰＮ上の正方形も
　　中項面積である。
　　　　　　[......(１０)]

• 　前節、
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　正方ＬＰ；中項面積、
  　正方ＰＮ；中項面積、
  となっている。

したがって
　ＬＰ,ＰＮも
　　平方において[のみ］通約
　　　できる
　　中項線分
　　　である。
　　　　　　[......(１１)]

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー２１）（中項線分）
  により，
  　ＬＰ，ＰＮ；中項線分
  となる．
  　（３） （６）
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  により、
  　矩形ＡＩ（ＡＣ，ＡＦ）∩矩形ＦＫ（ＡＣ，ＦＧ）
  となり、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  により、
  　正方（ＬＰ）∩正方（ＰＮ）
  となり、
  　ＬＰ∩^2 ＰＮ
  となる。
  　ＬＰ∩^^2 ＰＮ
  については、
  　この段階では必要とされるものではなく，
  　本証明の最終段階で論証される．
  しかし、
  ここまでの設定から、
  以下のようにしても論証できる。
  背理法の仮定として、
  もし，
  　ＬＰ∩ＰＮ
  とするならば，
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  により，
  　正方ＬＰ：正方ＰＮ＝平方数：平方数
  となり，
  　（４），
  　命題５ー１１の補足２（等しい量は同じ比をもつ）
  により，
  　矩形ＡＩ：矩形ＦＫ＝平方数：平方数
  となり，
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  　命題５ー１１の補足２（等しい量は同じ比をもつ）
  により，
  　ＡＦ：ＦＧ＝平方数１：平方数２
  となり，
  　命題５ー１８（比例ならば合比も比例）
  により，
  　ＡＧ：ＦＧ＝平方数１+平方数２：平方数２
  となり，
  また，
  　命題５ー７の系(比例すれば逆も比例)
  により，
  　ＦＧ：ＡＦ＝平方数２：平方数１
  となり，
  　命題５ー１８（比例ならば合比も比例）
  により，
  　ＡＧ：ＡＦ＝平方数１+平方数２：平方数１
  となり，
  　命題６ー２３（等角な平行四辺形と辺の比の積）
  により，
  　正方(_ＡＧ)：矩形(ＡＦ，ＦＧ)＝（ＡＧ：ＡＦ）（ＡＧ：ＦＧ）
  となり，
  　命題５ー２２（等間隔比と同じ比）
  により，
  　正方(_ＡＧ)：矩形(ＡＦ，ＦＧ)
  　　＝（平方数１+平方数２：平方数１）：（平方数１+平方数２：平方数２）
  となり，
  　命題８ー５（平面数の比は辺の比の積）
  により，
  　正方(_ＡＧ)：矩形(ＡＦ，ＦＧ)
  　　＝（平方数１+平方数２）×（平方数１+平方数２）：平方数１×平方数２
  となり，
  　命題７ー１６（積の可換性）
  により，
  　正方(_ＡＧ)：矩形(ＡＦ，ＦＧ)
  　＝平方数３：平方数４
  となり，
  　（２）により，
  　正方(_ＡＧ)：正方(_ＤＥ)＝平方数１：平方数２
  となり，
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  により，
  　ＡＧ∩ＤＥ
  となり，
  　（５）により，
  　ＤＥ∩ＤＧ
  だから，
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  により，
  　ＡＧ∩ＤＧ
  となる．
  しかし，
  　（１）により，
  　ＡＧ∩^^2 ＤＧ
  となるから矛盾が生じ，
  背理法により，
  　ＬＰ¬∩ＰＮ
  となる．
  
• 　ＬＰ，ＰＮ；中項線分
  　ＬＰ∩^^2 ＰＮ
  となっている．

そして
　矩形ＡＦ，ＦＧは、
　　ＥＧ上の正方形に
　　　等しい

• 　（２）による。
• 　矩形(ＡＦ、ＦＧ)＝正方(_ＥＧ)
  となっている。

から，
　ＡＦが
　　ＥＧに対するように，
　ＥＧが
　　ＦＧに
　　　対する。

• 　前節、
  　命題６ー１４（等積で等角な平行四辺形と逆比例）
  による。
• 　ＡＦ：ＥＧ＝ＥＧ：ＦＧ
  となっている。

ところが
　ＡＦが
　　ＥＧに対するように，
　ＡＩが
　　ＥＫに
　　　対する。
そして
　ＥＧが
　　ＦＧに対するように,
　ＥＫが
　　ＦＫに
　　　対する。

• 　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＡＦ：ＥＧ＝矩形ＡＩ：矩形ＥＫ
  　ＥＧ：ＦＫ＝矩形ＥＫ：矩形ＦＫ
  となっている。

したがって
　ＥＫは
　　ＡＩ,ＦＫの比例中項
　　　である。

• 　前節、
  　定義の補足３（命題６ー８）(比例中項)
  による。
• 　ＥＫ＝比例中項(ＡＩ、ＦＫ)
  となっている。

ところが
　ＭＮも、
　　正方形ＬＭ,ＮＯの比例中項
　　　である。

• 　（７）、
  　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）
  による。
• 　ＭＮ＝比例中項(正方ＬＭ、正方ＮＯ)
  となっている。

そして
　ＡＩは
　　ＬＭに，
　ＦＫは
　　ＮＯに
　　　等しい。

• 　（４）による。
• 　矩形ＡＩ＝正方ＬＭ、
  　矩形ＦＫ＝正方ＮＯ
  となっている。

したがって
　ＭＮは
　　ＥＫに
　　　等しい。
　　　　　　[......(８)]

• 　前節、前々節、前々々節
  　命題６ー１７の補足２(等しいものの比例中項は等しい)
  による。
• 　正方ＭＮ＝矩形ＥＫ
  となっている。

ところが
　ＤＨは
　　ＥＫに
　　　等しく，
　ＬＯは
　　ＭＮに
　　　等しい。
　　　　　　[......(９)]

• 　（２） （４） 　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  　命題１−４３（平行四辺形の補形）
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
  
• 　矩形ＤＨ＝矩形ＥＫ、
  　矩形ＬＯ＝矩形ＭＮ
  となっている。

したがって
　ＤＫ全体は
　　グノーモーンＵＶＷとＮＯの和に
　　　等しい。

• 　前節、前々節 　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  　 による。
• 　ＤＫ＝グＵＶＷ＋正方ＮＯ
  となっている。

そこで
　ＡＫ全体は
　　ＬＭ,ＮＯの和に
　　　等しく，

• 　（４） 　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  　 による。
• 　矩形ＡＫ＝正方ＬＭ＋正方ＮＯ
  となっている。

そのうち
　ＤＫは
　　グノーモーンＵＶＷと
　　ＮＯの和に
　　　等しい

• 　前節による。
• 　矩形ＤＫ＝グＵＶＷ＋正方ＮＯ
  となっている。

から，
　残りのＡＢは
　　ＴＳに
　　　等しい。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
• 　矩形ＡＢ＝矩形ＴＳ
  となっている。

ところが
　ＴＳは
　　ＬＮ上の正方形
　　　である。

• 　（７）による。
• 　矩形ＴＳ＝正方(_ＬＮ)
  となっている。

したがって
　ＬＮ上の正方形は
　　面積ＡＢに
　　　等しい。
　　　　　　[......(１３)]

• 　前節、前々節
  　公理１ー１ （同じものに等しい）
  による。
• 　正方(_ＬＮ)＝矩形ＡＢ
  となっている。

ゆえに
　ＬＮは
　　面積ＡＢに等しい正方形の辺
　　　である。

• 　前節による。
• 　ＬＮ＝辺.正方(;=矩形ＡＢ)
  となっている。

　ＬＮは
　　第１の中項余線分
　　　である
と主張する。

　ＥＫは
　　有理面積
　　　であり
　　ＬＯに
　　　等しい

• 　（５） 　(８) 　(９)
  による。
• 　矩形ＥＫ；有理面積
  　矩形ＥＫ＝矩形ＬＯ
  となっている．

から，
　ＬＯ
　すなわち
　矩形ＬＰ,ＰＮは
　　有理面積
　　　である。
　　　　　　[......(１２)]

• 　前節，
  　定義１０ー４の補足 （有理面積、無理面積）
  による．
• 　矩形ＬＯ(ＬＰ，ＰＮ)；有理面積
  となっている。

ところが
　ＮＯは
　　中項面積
　　　である
ことが先に証明された。

• 　(１０)
  による．
• 　正方ＮＯ(ＮＱ，ＮＰ)；中項面積
  となっている。

したがって
　ＬＯは
　　ＮＯと通約
　　　できない。

• 　前節，前々節，
  　命題１０ー２３の補足６ (有理面積と中項面積は非通約) による．
• 　ＬＯ¬∩ＮＯ
  となっている。

そして
　ＬＯが
　　ＮＯに対するように，
　ＬＰが
　　ＰＮに
　　　対する。

• 　(４)，
  　命題１０ー２２助 （２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例） による．
• 　矩形ＬＯ：正方ＮＯ＝ＬＰ：ＰＮ
  となっている。

したがって
　ＬＰ,ＰＮは
　　長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節，前々節，
  　命題１０ー１１ （４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による．
• 　
  となっている。

ゆえに
　ＬＰ,ＰＮは
　　平方においてのみ通約
　　　でき，
　　有理面積を
　　　かこむ
　　中項線分
　　　である。

• 　前節， 　(１１) 　(１２)
  による．
• 　矩形(ＬＰ，ＰＮ)；有理面積
  となっている。

したがって
　ＬＮは
　　第１の中項余線分
　　　である。

• 　前節，
  　定義の補足（命題１０ー７４） (第１の中項余線分) による．
• 　ＬＰ，ＰＮ；中項線分
  　ＬＰ∩^^2 ＰＮ
  　矩形(ＬＰ，ＰＮ)；有理面積
  となっている。

そして
　　面積ＡＢに
　　　等しい
　　正方形の辺
　　　である。

• 　(１３) による．
• 　正方(ＬＰ)＝矩形ＡＢ(ＡＣ，ＡＤ)
  となっている。

よって
　　面積ＡＢに
　　　等しい
　正方形の辺は
　　第１の中項余線分
　　　である。

• 　前節，前々節による．
• 　辺ＬＰ．正方(；＝矩形ＡＢ(ＡＣ，ＡＤ)；第１の中項余線分
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー９２は、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  　命題１０ー８６（作図.第２の余線分）
  　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  により、
  　ＡＣ；有理線分、
  　ＡＤ；第２の余線分、
  　ＤＧ；ＡＤへの付加
  　矩形ＡＢ(ＡＣ、ＡＤ)
  をとり、
  　命題１０ー１７（上の正方形の差が大と通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は通約）
  　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  　命題６ー２８（作図.線分の平行四辺形分割（コ））
  により、
  　中点Ｅ(ＤＧ)、
  　Ｆ(ＡＧ；矩形(ＡＦ、ＦＧ)＝正方(_ＥＧ))
  をとると、
  　ＡＦ∩ＦＧ
  となり、
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  により、
  　ＡＣ//ＥＨ//ＦＩ//ＧＫ
  をとると、
  　命題１０ー２１（平方のみ通約可の有理線分の矩形と無理面積・無理線分） により、
  　矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)、矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)
  　　；中項面積
  となり、
  　命題１０ー１９（長さで通約な有理線分の矩形は有理面積）
  により、
  　矩形ＤＨ(ＡＣ、ＤＥ)、矩形ＥＫ(ＡＣ、ＥＧ)
  　　；有理面積
  となる。
  　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　正方ＬＭ(_ＬＰ)＝矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)
  　Ｎ（ＬＰ；正方ＮＯ(_ＮＰ)＝矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)）
  をとり、
  　命題１ー４３の補足２(作図.対角線をはさむ平行四辺形)
  により、
  　対角線ＰＲ(正方ＬＭ(_ＬＰ)；)
  　ＳＱ//ＬＰ、
  　ＮＴ//ＬＲ
  をとると、
  　矩形(ＬＰ，ＰＮ)＝矩形ＥＫ(ＡＣ、ＥＧ)
  　　；有理面積
  　ＬＰ，ＰＮ；中項線分
  　ＬＰ∩^^2 ＰＮ
  となり、
  　正方(ＬＰ)＝矩形ＡＢ(ＡＣ，ＡＤ)
  　　；第１の中項余線分
  のことである。
  
• 命題１０ー９２は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		補3(題6-8),10-1,10-4補,補2(題10-21),補2(題10-23),補(題10-47),10�V-2
  公準
  公理		1-1,1-2,1-3
  命題	1-10,1-31,1-43補2,2-1補,6-17補,6-28,補2(義10-3),10-86	1-43,6-1,6-14,6-17補2,10-11,10-12,10-13,10-15,10-17,10-19,10,21,10-22助,10-23系,10-23補6
  その他

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