ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー１９（長さで通約な有理線分の矩形は有理面積）

　長さにおいて通約できる
　有理線分にかこまれる矩形は
　有理面積である。

• 長さにおいて通約は、
  定義１０ー２の補足による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• かこまれるは、
  定義２ー１による。
• 矩形は、
  定義１ー２２による。
• 有理面積は、
  定義１０ー４の補足による。

　矩形ＡＣが
　長さにおいて通約できる
　有理線分ＡＢ、ＢＣによって
　かこまれる
とせよ。

• 　実際に作図するには、
  　以下のようにする。
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  により、
  　有理線分ＡＢをとり、
  　命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
  により、
  　ＡＢと
  　長さにおいて通約できる
  　線分ＢＣをとり、
  　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  により、
  　rec(ＡＢ、ＢＣ)をかく。
• 　rec(ＡＣ)＝rec(ＡＢ、ＢＣ)
  となっている。

　ＡＣは
　有理面積である
と主張する。

　ＡＢ上に
　正方形ＡＤが描かれた
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　命題１−４６（作図.線分上に正方形）
  による。
• 　sq(ＡＤ)＝sq(_ＡＢ)
  となっている。

そうすれば
　ＡＤは
　有理面積である。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積） による。
• 　sq(ＡＤ)＝有理面積
  となっている。

そして
　ＡＢは
　ＢＣと長さにおいて通約でき、

• 　命題の設定、
  　定義１０ー２の補足（長さにおいて通約） による。
• 　ＡＢ∩ＢＣ
  となっている。

　ＡＢはＢＤに等しい

• 　ＡＢ、ＢＤはsq(ＡＤ)の一辺で、
  　定義１ー２２（正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）
  により、
  　ＡＢ＝ＢＤ
  となっている。

から、
　ＢＤは
　ＢＣと長さにおいて通約できる。

• 　前節により
  　ＡＢ：ＢＤ＝１：１
  となり、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  により
  　ＡＢ∩ＢＤ
  となり、
  　前々節により
  　ＡＢ∩ＢＣ
  となっているから
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
• 　ＢＤ∩ＢＣ
  となっている。

そして
　ＢＤがＢＣに対するように、
　ＤＡがＡＣに対する。

• 　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
  
• 　ＢＤ：ＢＣ＝sq(ＤＡ)：rec(ＡＣ)
  となっている。

それゆえ
　ＤＡはＡＣと通約できる。

• 　前節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　sq(ＤＡ)∩rec(ＡＣ)
  となっている。

そして
　ＤＡは有理面積である。

• 　（１）による。
• 　sq(ＤＡ)＝有理面積
  となっている。

したがって
　ＡＣも有理面積である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　rec(ＡＣ)＝有理面積
  となっている。

よって
　長さにおいて通約できる
　有理線分に云々

• 　云々は、
  以下の通り。
  「かこまれる矩形は
  　有理面積である。」
  

• 命題１０ー１９は、
  　Ａ、Ｂ：有理線分、
  　Ａ∩Ｂ
  ならば、
  　rec(Ａ、Ｂ)：有理面積
  のことである。
• 命題１０ー１９は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		1-22,10-2補,10-3補,10-4補
  公準
  公理
  命題	1-46,2-1補,10-6系3	6-1,10-11
  その他

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