ユークリッド原論をどう読むか(14)
頁末          目次

ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー12(通約量と通約なら通約)

 同一の通約できる
 相互にも通約できる。




 A、Bの双方がCと通約できる
とせよ。


 AとBも通約できる
と主張する。

 AはCと通約できる

から、
 AはCに対し
 対するをもつ。

 DがEに対するをもつ
とせよ。
      [......(a)]

また
 CはBと通約できる

から、
 CはBに対し
 対するをもつ。

 FがGに対するをもつ
とせよ。
      [......(b)]

そして
 任意個の
すなわち
 DがEに対する
 FがGに対する
が与えられ、
 順次に
 これらの与えられたをなす
 H、K、Lがとられた
とせよ。

そうすれば
 DがEに対するように
 HがKに対し
 FがGに対するように
 KがLに対する
      [......(c)]

そこで
 AがCに対するように
 DがEに対し

 他方
 DがEに対するように
 HがKに対する

から、
 AがCに対するように
 HがKに対する
      [......(1)]

また
 CがBに対するように
 FがGに対し

 他方FがGに対するように
 KがLに対する

から、
 CがBに対するように
 KがLに対する

そして
 AがCに対するように
 HがKに対する

したがって
 等間隔比により
 AがBに対するように
 HがLに対する

ゆえに
 AはBに対し
 HがLに対するをもつ。

したがって
 AはBと通約できる。

よって
 同一の通約できる
 相互にも通約できる。

これが証明すべきことであった。
      目次   頁頭