ユークリッド原論をどう読むか（９518）
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ユークリッド原論
第５巻
命題５ー１８（比例ならば合比も比例）
もし
量が
分割比によって［得られた］比例する［量］
ならば、
合比によっても
比例するであろう。
ＡＥ、ＥＢ、ＣＦ、ＦＤを
分割比によって［得られた］比例する量とし、
ＡＥがＥＢに対するように、
ＣＦがＦＤに対するとせよ。
-
同じ比をもつ線分の作図（仮想的）は、
コメント２（命題５ー４）参照のこと。
-
ＡＢ、ＣＤ
に対して、
点Ｅ[ＡＢ]、
点Ｆ(ＣＤ;;ＡＥ：ＥＢ＝ＣＦ：ＦＤ)
をとっている。
それらは
合比によっても比例し、
ＡＢがＢＥに対するように、
ＣＤがＦＤに対するであろう
と主張する。
もし
ＡＢがＢＥに対するように、
ＣＤがＤＦに対するのでなければ、
ＡＢがＢＥに対するように、
ＣＤがＤＦより
小さいものに対するか、
あるいは
大きいものに対するか
であろう。
まず、
小さいＤＧに対するとせよ。
【・・・(a
)】
- 場合分け（１）である。
-
点Ｇ(ＣＤ;;ＡＢ：ＢＥ＝ＣＤ：ＤＧ,ＤＧ＜ＤＦ)
としている。
そうすれば
ＡＢがＢＥに対するように、
ＣＤがＤＧに対するから、
- (a)
による。
-
ＡＢ：ＢＥ＝ＣＤ：ＤＧ
となっている。
それらは合比によって比例する量である。
それゆえ
分割比によっても比例するであろう。
- 命題５ー１７（合比で比例なら分割比でも比例）
のことである。
ゆえに
ＡＥがＥＢに対するように、
ＣＧがＧＤに対する。
- 命題５ー１７（合比で比例なら分割比でも比例）
による。
-
ＡＥ：ＥＢ＝ＣＧ：ＧＤ
となっている。
ところが
ＡＥがＥＢに対するように、
ＣＦがＦＤに対することが仮定される。
- 命題の設定
である。
-
ＡＥ：ＥＢ＝ＣＦ：ＦＤ
となっている。
ゆえに
ＣＧがＧＤに対するように、
ＣＦがＦＤに対する。
- 命題５ー１１（同一の比に同じ比）
による。
-
ＣＧ：ＧＤ＝ＣＦ：ＦＤ
となっている。
ところが
第１のＣＧは第３のＣＦより大きい。
したがって
第２のＧＤも第４のＦＤより大きい。
- 命題５ー１４（同じ比の前(後)項の大等小）
による。
-
ＧＤ＞ＦＤ
となっている。
しかも
小さくもある。
これは不可能である。
それゆえ
ＡＢがＢＥに対するように、
ＣＤがＦＤより小さいものに対することはない。
［
大きいものに対するとしても、］
同様にして
大きいものに対することもない
ことを証明しうる。
-
場合分け（２）のことで、
これも背理法による。
-
点Ｇ(ＣＤ;;ＡＢ：ＢＥ＝ＣＤ：ＤＧ,ＤＧ＞ＤＦ)
をとると、
命題５ー１７（比例なら分割比も比例）
により、
ＡＥ：ＥＢ＝ＣＧ：ＧＤ
ところが、
命題の設定
により、
ＡＥ：ＥＢ＝ＣＦ：ＦＤ
よって、
命題５ー１１（同一の比に同じ比）
により、
ＣＧ：ＧＤ＝ＣＦ：ＦＤ
点Ｇの取り方
により
ＣＧ＜ＣＦ
命題５ー１４（同じ比の前(後)項の大等小）
により
ＧＤ＜ＦＤ
ところが、
点Ｇの取り方
により
ＧＤ＞ＦＤ
であった。
よって、
矛盾が生じ、
背理法
により
ＧＤ＞ＦＤでない。
したがって
［
２つの場合の結果により、］
ＦＤそのものに対する。
よってもし
量が
分割比によって［得られた］比例する［量］
ならば、
合比によっても
比例するであろう。
これが証明すべきことであった。
-
命題５ー１７（比例ならば分割比も比例）
の表現に合わせている。
- 命題５ー１８は、
Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
ならば
（Ａ＋Ｂ）：Ｂ＝（Ｃ＋Ｄ）：Ｄ
のことである。
- 命題５ー１８は推論用命題である。
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