ユークリッド原論をどう読むか（１０）
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ユークリッド原論

第６巻

命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）

同じ高さの
　三角形と
　平行四辺形とは
　互いに底辺に比例する。

• 高さは、定義６ー４ による。
• 三角形は、定義１ー１９の補足２ による。
• 平行四辺形は、定義１ー２２の補足２ による。
• 底辺は、定義の補足（命題１ー３５）による。
• 比例は、定義５ー６ による。

ＡＢＣ、ＡＣＤを三角形、
　ＥＣ、ＣＦを
　　それらと同じ高さＡＣの平行四辺形
　とせよ。

• 公準１ー１の補足 （作図.任意の点をとる）
  により、
  　点Ｂ、Ｃをとる。
  公準１ー１ （作図.直線）
  により、
  　点Ｂ、Ｃを通る直線をひく。
  直線ＢＣ上の、
  　Ｃについて
  　Ｂと反対側に、
  　公準１ー１の補足 （作図.任意の点をとる）
  により、
  　点Ｄをとる。
  命題１ー１１ （作図・線分からの垂線）
  により、
  　直線ＢＣに、
  　Ｃから直角に直線をひき、
  　公準１ー１の補足 （作図.任意の点をとる）
  により、
  　この直線上に点Ａをとる。
  公準１ー１ （作図.直線）
  により、
  　ＡとＢ、ＡとＤをそれぞれ結ぶ。
  命題１ー３１ （作図・平行線）
  により、
  　Ａをとおり、ＢＣに平行な直線をひく。
  この直線上の、
  　直線ＡＣについて、
  　Ｂと同じ側に、
  　命題１ー３の補足 （作図.等しい線分となる点）
  により
  　線分ＥＡがＢＣに等しくなるように
  　点Ｅをとる。
  また、
  　この直線上の、
  　直線ＡＣについて、
  　Ｄと同じ側に、
  　命題１ー３の補足 （作図.等しい線分となる点）
  により
  　線分ＦＡがＤＣに等しくなるように
  　点Ｆをとる。
  公準１ー１ （作図.直線）
  により、
  　ＥとＢ、ＦとＤをそれぞれ結ぶ。
  
• 　Ｂ、Ｃ
  について、
  　Ｄ[延長ＢＣ]、
  　Ａ[;;ＡＣ⊥ＢＣ]、
  　Ｅ(;;ＥＡ⊥ＡＣ,同側(ＡＣ,Ｂ),ＥＡ＝ＢＣ)、
  　Ｆ(;;ＦＡ⊥ＡＣ,同側(ＡＣ,Ｄ),ＦＡ＝ＤＣ)、
  　線分ＡＢ、ＡＣ、ＥＢ、ＦＤ
  をとっている。

底辺ＢＣが
　底辺ＣＤに対するように、
　三角形ＡＢＣは
　三角形ＡＣＤに対し、
　平行四辺形ＥＣは
　平行四辺形ＣＦに対する
　と主張する。

ＢＤが
　両方向に点Ｈ、Ｌまで延長され、
　任意個の線分ＢＧ、ＧＨが底辺ＢＣに等しく、
　任意個の線分ＤＫ、ＫＬが底辺ＣＤに等しくされ、【・・・(a)】

• 推論のための作図の設定である。
• 公準１ー２ （作図.直線の延長）
  により、
  　ＢＤを両方向に延長し、
  　命題１ー３の補足 （作図.等しい線分となる点）
  により
  　Ｂの側の延長に、
  　　ＢＣに等しいＢＧ、ＧＨをとり、
  　Ｄの側の延長に、
  　　ＣＤに等しいＤＫ、ＫＬをとり、
  　溯って、Ｈ、Ｌを用いている。
  
• 　Ｇ(延長ＣＢ;;ＢＧ＝ＢＣ)、
  　Ｈ(延長ＢＧ;;ＧＨ＝ＢＣ)、
  　Ｋ(延長ＣＤ;;ＤＫ＝ＣＤ)、
  　Ｌ(延長ＣＤ;;ＫＬ＝ＣＤ)、
  をとっている。

　ＡＧ、ＡＨ、ＡＫ、ＡＬが結ばれたとせよ。

• 公準１ー１ （作図.直線）
  による。
• 　線分ＡＧ、ＡＨ、ＡＫ、ＡＬ
  をとっている。

そうすれば
　ＣＢ、ＢＧ、ＧＨは互いに等しいから、

• (a) による。
• 　ＣＢ＝ＢＧ＝ＧＨ
  となっている。

　三角形ＡＨＧ、ＡＧＢ、ＡＢＣも互いに等しい。

• 命題１ー３８ （三角形の等積変形２）
  による。
• 　△ＡＨＧ＝△ＡＧＢ＝△ＡＢＣ
  となっている。

それゆえ
　底辺ＨＣが底辺ＢＣの何倍であろうと、
　三角形ＡＨＣも三角形ＡＢＣの同じ倍数である。【・・・(1)】

• 定義の補足（公理１ー５） （同じもののｎ倍）
  による。
• 　倍数(ＨＣ,ＢＣ)＝倍数(△ＡＨＣ,△ＡＢＣ)
  となっている。

同じ理由で
　底辺ＬＣが底辺ＣＤの何倍であろうと、
　三角形ＡＬＣも三角形ＡＣＤの同じ倍数である。【・・・(2)】

• (a) ,命題１ー３８ （三角形の等積変形２）、
  定義の補足（公理１ー５） （同じもののｎ倍）
  による。
• 　倍数(ＬＣ,ＣＤ)＝倍数(△ＡＬＣ,△ＡＣＤ)
  となっている。

そしてもし
　底辺ＨＣが底辺ＣＬに等しければ、
　三角形ＡＨＣも三角形ＡＣＬに等しく、
　もし
　底辺ＨＣが底辺ＣＬより大きければ、
　三角形ＡＨＣも三角形ＡＣＬより大きく、
　もし
　小さければ、小さい。【・・・(3)】

• 命題１ー３８ （三角形の等積変形２）、
  公理１ー８ （大きい）、
  公理１ー８の補足 （小さい）
  による。
• 　底辺ＨＣ(＜、＝、＞)底辺ＣＬ
  ならば
  　△ＡＨＣ(＜、＝、＞)△ＡＣＬ
  となっている。

かくて
　４つの量、
　すなわち２つの底辺ＢＣ、ＣＤと
　　２つの三角形ＡＢＣ、ＡＣＤとがあり、
　底辺ＢＣ、三角形ＡＢＣの同数倍、
　　すなわち底辺ＨＣ、三角形ＡＨＣと、
　底辺ＣＤ、三角形ＡＤＣの別の任意の同数倍、
　　すなわち底辺ＬＣ、三角形ＡＬＣ
　がとられた。【・・・(4)】

• (1) (2) による。
• 　(ＨＣ、△ＡＨＣ)
  　＝ｐ(ＢＣ、△ＡＢＣ)、
  　(ＬＣ、△ＡＬＣ)
  　＝ｑ(ＣＤ、△ＡＤＣ)
  となっている。

そしてもし
　底辺ＨＣが底辺ＣＬより大きければ、
　三角形ＡＨＣも三角形ＡＬＣより大きく、
　等しければ、等しく、
　小さければ小さい
　ことが証明されている。

• (3) による。
• 　底辺ＨＣ(＜、＝、＞)底辺ＣＬ
  ならば
  　△ＡＨＣ(＜、＝、＞)△ＡＣＬ
  となっている

それゆえ
　底辺ＢＣが底辺ＣＤに対するように、
　三角形ＡＢＣが三角形ＡＣＤに対する。【・・・(5)】

• (4) ,定義５ー５ （同じ比）
  による。
• 　ＢＣ：ＣＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＣＤ
  となっている。

次に
　平行四辺形ＥＣは三角形ＡＢＣの２倍であり、
　平行四辺形ＦＣは三角形ＡＣＤの２倍であり、【・・・(6)】

• 命題１−４１ （同一底辺上の平行四辺形と三角形の面積）
  による。
• 　(平四(ＥＣ)、平四(ＦＣ))
  　＝２(△ＡＢＣ、△ＡＣＤ)
  となっている。

　約量はそれの同数倍と同じ比をもつから、

• 命題５ー１５ （同数倍の比）
  による。

　三角形ＡＢＣが三角形ＡＣＤに対するように、
　平行四辺形ＥＣが平行四辺形ＦＣに対する。

• (6) による。
• 　△ＡＢＣ：△ＡＣＤ＝平四(ＥＣ)：平四(ＦＣ)
  となっている。

そこで
　底辺ＢＣがＣＤに対するように、
　三角形ＡＢＣが三角形ＡＣＤに対し、
　三角形ＡＢＣが三角形ＡＣＤに対するように、
　平行四辺形ＥＣが平行四辺形ＣＦに対する
　ことが先に証明されたから、

• (5) による。
• 　ＢＣ：ＣＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＣＤ
  　△ＡＢＣ：△ＡＣＤ＝平四(ＥＣ)：平四(ＦＣ)
  となっている。

　底辺ＢＣが底辺ＣＤ対するように、
　平行四辺形ＥＣが平行四辺形ＣＦに対する。

• 命題５ー１１ （同一の比に同じ比）
  による。
• 　ＢＣ：ＣＤ＝平四(ＥＣ)：平四(ＦＣ)
  となっている。

よって
　同じ高さの
　三角形と平行四辺形とは
　互いに底辺に比例する。

これが証明すべきことであった。

• 命題１ー３５ （平行四辺形の等積変形１）、
  命題１ー３７ （三角形の等積変形１）
  により、
  　同じ底辺ＢＣ、ＢＤの上にあり
  　かつ
  　同じ平行線ＢＤ、ＥＦの間にある平行四辺形、三角形は
  　ＡＣを１辺とする
  　　平行四辺形（長方形）、
  　　三角形（直角三角形）
  　に等しい。
  このことにより、
  　本命題は一般的に成立している。
• 命題６ー１は、
  　Ｂ、Ｃ
  に対して、
  　Ｄ[延長ＢＣ]、
  　Ａ[;;外.直線ＢＣ]
  ならば、
  　ＢＣ：ＣＤ
  　＝△ＡＢＣ：△ＡＣＤ
  　＝平四(ＡＢ)：平四(ＡＤ)
  のことである。
  
• 命題６ー１は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		補(理1-5),5-5
  公準	1-1,1-1補,1-2
  公理		1-8,1-8補
  命題	1-3補,1-11,1-31	1-35,1-37,1-38,1-41,5-11,5-15
  その他

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