ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論
　
第１０-3巻

□定義�V
定義１０�Vー１（第１の余線分）
　有理線分[Ｄ]と余線分［ＡＢ］とが
　　与えられ，
もし
　全体［ＡＢＣ］の上の正方形が
　　　付加された
　　線分［ＢＣ］上の正方形より
　　全体［ＡＢＣ］と長さにおいて通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きく，
　全体［ＡＢＣ］が
　　　定められた
　　有理線分［Ｄ］と長さにおいて通約
　　　できる
ならば，
　それは
　　第１の余線分
　　　とよばれる。

• 　Ｄ；定められた有理線分、
  　Ｃ(延長ＡＢ;ＡＣ、ＢＣ；有理線分、ＡＣ∩^^2ＢＣ、
  　　正方(_ＡＣ)＝正方(_ＢＣ)＋正方(_Ｘ)、
  　　ＡＣ∩Ｘ、ＡＣ∩Ｄ)
  となっている。
• 　定義の補足(命題１０ー７３) (余線分)
  により、
  　有理線分から、
  　それと平方においてのみ通約できる有理線分を
  　　引いた残りをいう。
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  により、
  　任意の２つの有理線分は、
  　最初に指定された有理な線分、
  と
  　長さにおいて、
  　または
  　平方において通約できる線分である。
  よって、
  　余線分を構成する
  　２つの有理線分は
  　　長さにおいて通約できない。
  　命題２ー５（線分の矩形分割）
  により、
  　大きい方の正方形と
  　小さい方の正方形との
  　差は、
  　　両者差による矩形となり、
  　命題２ー１４（作図.直線図形に等しい正方形）
  によって、
  　両者の差に等しい正方形を
  　　作ることができる
  　この正方形の一辺と、
  　　大きい方の有理線分について、
  　命題１０ー２（互除で常に余るなら非通約）
  　の操作が有限回で終わる
  ならば、
  　この正方形の一辺は
  　　大きい方の有理線分と通約でき、
  　　 定義１０�Vー１、 ２、 ３に対応する。
  　有限回で終わらない
  ならば、
  　この正方形の一辺は
  　　大きい方の有理線分と通約できず、
  　　 定義１０�Vー４、 ５、 ６に対応する。
  
• さらに、
  　指定された有理線分と
  　大きい項が
  　長さにおいて通約できる
  ならば、
  　第１の余線分という。
  もちろん
  　両者の差に等しい正方形の辺も
  　指定された有理線分と
  　長さにおいて通約できる。
  

定義１０�Vー２（第２の余線分）
　［有理線分[Ｄ]と余線分［ＡＢ］とが
　　　与えられ，］
もし
　付加された線分［ＢＣ］が
　　　定められた
　　有理線分［Ｄ］と長さにおいて通約
　　　でき，
　全体［ＡＢＣ］の上の正方形が
　　　付加された
　　線分［ＢＣ］上の正方形より
　　全体［ＡＢＣ］と通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい
ならば，
　それは
　　第２の余線分と
　　　よばれる。

• 　Ｄ；定められた有理線分、
  　Ｃ(延長ＡＢ;ＡＣ、ＢＣ；有理線分、ＡＣ∩^^2ＢＣ、
  　　正方(_ＡＣ)＝正方(_ＢＣ)＋正方(_Ｘ)、
  　　ＡＣ∩Ｘ、ＣＢ∩Ｄ)
  となっている。
• 　指定された有理線分Ｄと
  　小さい項ＢＣが
  　長さにおいて通約できる
  ならば、
  　第２の二項線分という。
  もちろん
  　大きい項ＡＢＣ、両者の差に等しい正方形の辺Ｘは
  　指定された有理線分Ｄと
  　長さにおいて通約できない。
  

定義１０�Vー３（第３の余線分）
　［有理線分[Ｄ]と余線分［ＡＢ］とが
　　　与えられ，］
もし
　いずれも
　　　定められた
　　有理線分［Ｄ］と長さにおいて通約
　　　できず，
　全体［ＡＢＣ］の上の正方形が
　　　付加された
　　線分［ＢＣ］上の正方形より
　　全体［ＡＢＣ］と通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい
ならば，
　それは
　　第３の余線分と
　　　よばれる。

• 　Ｄ；定められた有理線分、
  　Ｃ(延長ＡＢ;ＡＣ、ＢＣ；有理線分、ＡＣ∩^^2ＢＣ、
  　　正方(_ＡＣ)＝正方(_ＢＣ)＋正方(_Ｘ)、
  　　ＡＣ∩Ｘ、Ｄ¬∩ＡＣ、ＣＢ)
  となっている。
• 　指定された有理線分Ｄと
  　２項ＡＣ、ＢＣとも
  　長さにおいて通約できない
  ならば、
  　第３の二項線分という。
  もちろん
  　両者の差に等しい正方形の辺Ｘも
  　指定された有理線分と
  　長さにおいて通約できない。
  

定義１０�Vー４（第４の余線分）
　［有理線分[Ｄ]と余線分［ＡＢ］とが
　　　与えられ，］
さらに
もし
　全体［ＡＢＣ］の上の正方形が
　　　付加された
　　線分［ＢＣ］上の正方形より
　　全体［ＡＢＣ］と通約
　　　できない、
　　線分上の正方形だけ
　　　大きく，
もし
　全体［ＡＢＣ］が
　　定められた有理線分［Ｄ］と
　　長さにおいて通約
　　　できる
ならば，
　それは
　　第４の余線分と
　　　よばれる。

• 　Ｄ；定められた有理線分、
  　Ｃ(延長ＡＢ;ＡＣ、ＢＣ；有理線分、ＡＣ∩^^2ＢＣ、
  　　正方(_ＡＣ)＝正方(_ＢＣ)＋正方(_Ｘ)、
  　　ＡＣ¬∩Ｘ、ＡＣ∩Ｄ)
  となっている。
• 　余線分を構成する
  　２つの有理線分は、
  　命題２ー５（線分の矩形分割）
  により、
  　大きい方の正方形と
  　小さい方の正方形との
  　差は、
  　　両者の和と差による矩形となり、
  　命題２ー１４（作図.直線図形に等しい正方形）
  によって、
  　両者の差に等しい正方形を
  　　作ることができる
  　この正方形の一辺と、
  　　大きい方の有理線分について、
  　命題１０ー２（互除で常に余るなら非通約）
  　の操作が有限回で終わらない
  とき、
  　この正方形の一辺は
  　　大きい方の有理線分と通約できず、
  　　 定義１０�Uー４、 ５、 ６に対応する。
  
• さらに、
  　指定された有理線分Ｄと
  　大きい項ＡＢＣが
  　長さにおいて通約できる
  ならば、
  　第４の二項線分という。
  もちろん
  　小さい項、両者の差に等しい正方形は
  　指定された有理線分と
  　長さにおいて通約できない。
  場合によっては、
  　両者の差に等しい正方形が
  　小さい項と
  　長さにおいて通約できることがある。
  

定義１０�Vー５（第５の余線分）
　［有理線分[Ｄ]と余線分［ＡＢ］とが
　　　与えられ，
さらに
もし
　全体［ＡＢＣ］の上の正方形が
　　　付加された
　　線分［ＢＣ］上の正方形より
　　全体［ＡＢＣ］と通約できない
　　線分上の正方形だけ
　　　大きく，］
もし
　付加された線分［ＢＣ］が
　　　［定められた
　　有理線分［Ｄ］と長さにおいて］通約
　　　できる
ならば，
　それは
　　第５の余線分と
　　　よばれる。

• 　Ｄ；定められた有理線分、
  　Ｃ(延長ＡＢ;ＡＣ、ＢＣ；有理線分、ＡＣ∩^^2ＢＣ、
  　　正方(_ＡＣ)＝正方(_ＢＣ)＋正方(_Ｘ)、
  　　ＡＣ¬∩Ｘ、ＢＣ∩Ｄ)
  となっている。
• 　指定された有理線分Ｄと
  　小さい項ＢＣが
  　長さにおいて通約できる
  ならば、
  　第５の二項線分という。
  もちろん
  　大きい項ＡＢＣは
  　指定された有理線分Ｄと
  　長さにおいて通約できない。
  場合によっては、
  　両者の差に等しい正方形の辺Ｘが
  　小さい項ＢＣと、
  　したがって、
  　指定された有理線分Ｄと
  　長さにおいて通約できることがある。
  

定義１０�Vー６（第６の余線分）
　［有理線分[Ｄ]と余線分［ＡＢ］とが
　　　与えられ，
さらに
もし
　全体［ＡＢＣ］の上の正方形が
　　　付加された
　　線分［ＢＣ］上の正方形より
　　全体［ＡＢＣ］と通約
　　　できない
　　線分上の正方形だけ
　　　大きく，］
もし
　いずれも
　　　［定められた
　　有理線分［Ｄ］と長さにおいて］通約
　　　できない
ならば，
　それは
　　第６の余線分と
　　　よばれる。

• 　Ｄ；定められた有理線分、
  　Ｃ(延長ＡＢ;ＡＣ、ＢＣ；有理線分、ＡＣ∩^^2ＢＣ、
  　　正方(_ＡＣ)＝正方(_ＢＣ)＋正方(_Ｘ)、
  　　ＡＣ¬∩Ｘ、Ｄ¬∩ＡＣ、ＢＣ)
  となっている。
• 　指定された有理線分Ｄと
  　２項ＡＢＣ、ＢＣとも
  　長さにおいて通約できない
  ならば、
  　第６の二項線分という。
  場合によっては、
  　両者の差に等しい正方形の辺Ｘは
  　指定された有理線分Ｄと
  　長さにおいて通約できることがある。
  もちろん
  　できないこともある。
  その場合は、
  　小さい項ＢＣと
  　長さにおいて通約できることもある。
  

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