ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー１７（上の正方形の差が大と通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は通約）
(小線分上の正方形の４分の１になる大線分の矩形分割)
もし
　不等な２線分があり、
　小さい線分上の正方形の
　４分の１に等しくて、
　正方形だけ欠けている平行四辺形が
　大きい線分上につくられ、
　それを
　長さにおいて通約できる２つの部分に
　分ける
ならば、
　大きい線分上の正方形は
　小さい線分上の正方形より、
　大きい線分と通約できる線分上の
　正方形だけ大きい
であろう。

そして
もし
　大きい線分上の正方形が
　小さい線分上の正方形より
　大きい線分と通約できる線分上の正方形だけ
　大きく、
　小さい線分上の正方形の４分の１に
　等しくて
　正方形だけ欠けている平行四辺形が
　大きい線分上につくられる
ならば、
　それを
　長さにおいて通約できる２つの部分に
　分ける。

• 不等は、
  定義の補足（公理１ー４）による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。
• 小さいは、
  公理１ー８の補足による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 分の１は、
  定義の補足２（公理１ー６）による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 平行四辺形は、
  定義の補足（命題１ー３４）による。
• 大きいは、
  公理１ー８による。
• 長さにおいては、
  定義１０ー２の補足による。
• 通約は、
  定義１０ー１による。

　Ａ、ＢＣを不等な２線分
とし、
　ＢＣのほうが大きい
とし、
　小さい線分Ａ上の正方形の４分の１、
　すなわち
　Ａの半分の上の正方形に等しくて
　正方形だけ欠けている平行四辺形が
　ＢＣ上につくられた
とし、
　それを矩形ＢＤ、ＤＣ
とし、
　ＢＤは
　ＤＣと長さにおいて通約できる
とせよ。

• 　小さい線分上の正方形の
  　４分の１に等しくて、
  　正方形だけ欠けている矩形を
  　大きい線分上につくる
  (以下、命題１０ー１７の補足 (作図.小線分上の正方形の４分の１になる大線分の矩形分割)という。)
  　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  により、
  　中点Ｅ(ＢＣ)、
  　中点Ｙ(ＥＣ)、
  　公準１ー３（作図.円）
  により、
  　半円(_ＥＣ)、
  　命題４ー１（作図.線分の挿入）
  により、
  　点Ｘ(周.半円(_ＥＣ);ＸＣ＝Ａ／２)
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　点Ｄ(ＥＣ;ＥＤ＝ＥＸ)
  をとると、
  　命題１０ー１４助（作図.線分上の正方形の差となる正方形の辺）
  により、
  　正方(_Ａ／２)＝正方(_ＥＣ)ー正方(_ＥＤ)
  となり、
  一方、
  　命題２ー５（線分の矩形分割）
  により、
  　正方(_ＥＣ)ー正方(_ＥＤ)＝矩形(ＢＤ,ＤＣ)
  となり、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  により、
  　正方(_Ａ／２)＝矩形(ＢＤ,ＤＣ)
  となる。
  
• 　ＢＤ∩ＤＣ
  となる場合を本命題が扱い、
  　ＢＤ¬∩ＤＣ
  となる場合を次命題が扱う。
  
• 　ＢＣ＞Ａ、
  　rec(ＢＤ、ＤＣ)＝sq(_Ａ)／４、
  　ＢＤ∩ＤＣ
  となっている。

　ＢＣ上の正方形は
　Ａ上の正方形より
　ＢＣと通約できる線分上の正方形だけ大きい
と主張する。

　ＢＣが点Ｅで２等分された
とし、
　　　　　　[......(ａ)]

• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分） による。
• 　ＢＥ＝ＥＣ
  となっている。

　ＥＦをＤＥに等しく
せよ。
　　　　　　[......(ｂ)]

• 　命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  により、
  　点Ｆをとる。
• 　ＥＦ＝ＤＥ
  となっている。

そうすれば
　残りのＤＣはＢＦに等しい。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、前々節、
  　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
• 　ＤＣ＝ＢＦ
  となっている。

そして
　線分ＢＣは
　Ｅで等しい２つの部分に、
　Ｄで不等な２つの部分に分けられた

• 　（ａ）、 命題の設定 による。
• 　ＢＥ＝ＥＣ、
  　ＢＤ≠ＤＣ
  となっている。

から、
　ＢＤ、ＤＣによってかこまれる矩形と
　ＥＤ上の正方形の和は
　ＥＣ上の正方形に等しい。

• 　前節、
  　命題２ー５（和と差の積は平方の差１）
  による。
• 　rec(ＢＤ、ＤＣ)＋sq(_ＥＤ)
  　＝sq(_ＥＣ)
  となっている。

　４倍についても同じ
ことがいえる。

• 　公理１ー５の補足２（等しいもののｎ倍、ｎ倍に等しいもの）
  による。
  
• 　４×rec(ＢＤ、ＤＣ)＋４×sq(_ＥＤ)
  　＝４×sq(_ＥＣ)
  となっている。

したがって
　矩形ＢＤ、ＤＣの４倍と
　ＤＥ上の正方形の４倍との和は
　ＥＣ上の正方形の４倍に等しい。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１（同数倍の和１）
  による。
• 　４×rec(ＢＤ、ＤＣ)＋４×sq(_ＥＤ)
  　＝４×sq(_ＥＣ)
  となっている。

ところが
　Ａ上の正方形は
　矩形ＢＤ、ＤＣの４倍に等しく、
　　　　　　[......(３)]

• 　命題の設定による。
• 　sq(_Ａ)＝４×rec(ＢＤ、ＢＣ)
  となっている。

　ＤＦはＤＥの２倍である

• 　（ｂ）による。
• 　ＤＦ＝２×ＤＥ
  となっている。

から、
　ＤＦ上の正方形は
　ＤＥ上の正方形の４倍に等しい。
　　　　　　[......(４)]

• 　前節、
  　命題６ー２０（相似多角形の相似三角形分解と２乗の比）
  による。
• 　sq(_ＤＦ)＝４×sq(_ＤＥ)
  となっている。

そして
　ＢＣは
　ＣＥの２倍である

• 　（ａ）による。
• 　ＢＣ＝２×ＣＥ
  となっている。

から、
　ＢＣ上の正方形は
　ＥＣ上の正方形の４倍に等しい。
　　　　　　[......(５)]

• 　前節、
  　命題６ー２０（相似多角形の相似三角形分解と２乗の比）
  による。
• 　sq(_ＢＣ)＝４×sq(_ＥＣ)
  となっている。

それゆえ
　Ａ、ＤＦ上の２つの正方形の和は
　ＢＣ上の正方形に等しい。

• 　（２）、 （３）、 （４）、 （５）、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　sq(_Ａ)＋sq(_ＤＦ)＝sq(_ＢＣ)
  となっている。

したがって
　ＢＣ上の正方形は
　Ａ上の正方形より
　ＤＦ上の正方形だけ大きい。

• 　前節による。
• 　sq(_ＢＣ)＝sq(_Ａ)＋sq(_ＤＦ)
  となっている。

したがって
　ＢＣはＡより
　その上の正方形が
　ＤＦ上の正方形だけ大きい。
　　　　　　[......(６)]

　ＢＣがＤＦと通約できる
ということも
証明されなければならない。

　ＢＤは
　ＤＣと長さにおいて通約できる

• 　命題の設定による。
• 　ＢＤ∩ＤＣ
  となっている。

から、
　ＢＣもＣＤと長さにおいて通約できる。
　　　　　　[......(７)]

• 　前節、
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  による。
• 　ＢＣ∩ＣＤ
  となっている。

ところが
　ＣＤはＢＦに等しい

• 　（１）による。
• 　ＣＤ＝ＢＦ
  となっている。

から、
　ＣＤは
　ＣＤ、ＢＦと長さにおいて通約できる。

• 　前節、
  　定義５ー５（同じ比）
  により、
  　ＣＤ：ＣＤ＝ＣＤ：ＢＦ＝１：１
  となり、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  による。
• 　ＣＤ∩ＣＤ、ＣＤ∩ＢＦ
  となっている。

したがって
　ＢＣは
　ＢＦ、ＣＤと長さにおいて通約できる。

• 　前節、
  （７）、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
  
• 　ＢＣ∩ＢＦ、ＢＣ∩ＣＤ
  となっている。

それゆえ
　ＢＣは
　残りのＦＤと長さにおいて通約できる。

• 　前節、
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  による。
  
• 　ＢＣ∩ＦＤ
  となっている。

したがって
　ＢＣ上の正方形は
　Ａ上の正方形より
　ＢＣと通約できる線分上の
　正方形だけ大きい。

• 　前節、
  （６）による。
  
• 　ＢＣ∩ＦＤ
  となるＦＤがあって、
  　sq(_ＢＣ)＝sq(_Ａ)＋sq(_ＦＤ)
  となっている。
  

次に
　ＢＣ上の正方形が
　Ａ上の正方形より
　ＢＣと通約できる線分上の
　正方形だけ大きい
とし、
　Ａ上の正方形の４分の１に等しくて
　正方形だけ欠けている平行四辺形が
　ＢＣ上につくられた
とし、
　　　　　　[......(８)]
　それを矩形ＢＤ、ＤＣ
とせよ。

　実際に作図するには、
　以下のようにする。
命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
により、
　ＢＣ∩Ｃ'となる
　ＢＣ、Ｃ'をとり、
　命題１０ー１４助（構成.線分上の正方形の差となる正方形の辺）
により
　sq(_ＢＣ)ーsq(_Ｃ')
　に等しい正方形の辺をＡ＝Ａ'Ａ"
とする。
　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
により
　Ａ＝Ａ'Ａ"の中点Ｇをとり、
　命題１−４６（作図.線分上に正方形）
により、
　sq(_Ａ'Ｇ)をつくる
と、
　命題６ー２０（相似多角形の相似三角形分解と２乗の比）
により
　sq(_Ａ'Ｇ)＝sq(_Ａ)／４
になる。
　命題６ー２８（作図.直線図形に等しく、相似な平行四辺形を欠く平行四辺形）
により
　ＢＣ上にＤをとり、
　rec(ＢＤ、ＤＣ)＝sq(_Ａ'Ｇ)
となるようにする。

• 　ＢＣ¬∩Ｃ'
  　sq(_ＢＣ)＝sq(_Ｃ')＋sq(_Ａ)
  　rec(ＢＤ、ＤＣ)＝sq(_Ａ)／４
  となっている。

　ＢＤが
　ＤＣと長さにおいて通約できる
ことを証明しなければならぬ。

　同じ作図がなされた
とき、
　　　　　　[......(７)]
　同様にして
　ＢＣ上の正方形が
　Ａ上の正方形より
　ＦＤ上の正方形だけ大きい
ことを証明しうる。

• 　（６）の証明と同様による。
• 　sq(_ＢＣ)＝sq(_Ａ)＋sq(_ＦＤ)
  となっている。
  

そして
　ＢＣ上の正方形は
　Ａ上の正方形より
　ＢＣと通約できる線分上の
　正方形だけ大きい。

• 　命題の設定による。
• 　sq(_ＢＣ)＝sq(_Ａ)＋sq(_ＢＧ)、
  　ＢＣ∩ＢＧ
  となっている。

ゆえに
　ＢＣは
　ＦＤと長さにおいて通約できる。

• 　前節、前々節,
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  により
  　sq(_Ａ)＋sq(_ＦＤ)＝sq(_Ａ)＋sq(_ＢＧ)
  となり、
  　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  により、
  　sq(_ＦＤ)＝sq(_ＢＧ)
  となり、
  　命題１−４８の補足（正方形の大等小と辺の大等小）
  により
  　ＦＤ＝ＢＧ
  となる。
  したがって、
  　ＢＣ∩ＢＧ、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  により、
  　ＦＤ∩ＢＣ
  となる。
  

したがって
　ＢＣは
　残りのＢＦ、ＤＣの和と
　長さにおいて通約できる。
　　　　　　[......(８)]

• 　前節、
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  による。
  
• 　ＢＣ∩ＢＦ＋ＤＣ
  となっている。

ところが
　ＢＦ、ＤＣの和は
　ＤＣと通約できる。

• 　（７）の同じ作図で、
  　（１）となる
  ので、
  　ＢＦ＝ＤＣ
  となっているから
  　ＢＦ＋ＤＣ：ＤＣ＝２：１
  となっている。
  　よって、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  による。
  
• 　ＢＦ＋ＤＣ∩ＤＣ
  となっている。

それゆえ
　ＢＣも
　ＣＤと長さにおいて通約できる。

• 　前節、
  （８）、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
  
• 　ＢＣ∩ＢＦ＋ＤＣ
  　ＢＦ＋ＤＣ∩ＤＣ
  により、
  　ＢＣ∩ＤＣ
  となっている。

したがって
　分割比により
　ＢＤは
　ＤＣと長さにおいて通約できる。

• 　前節、
  　命題５ー１７（合比で比例なら分割比でも比例）
  による。
• 　ＢＤ∩ＤＣ
  となっている。

よって
もし
　不等な２線分があり云々

• 　云々は、
  「小さい線分上の正方形の
  　４分の１に等しくて、
  　正方形だけ欠けている平行四辺形が
  　大きい線分上につくられ、
  　それを
  　長さにおいて通約できる２つの部分に
  　分ける
  ならば、
  　大きい線分上の正方形は
  　小さい線分上の正方形より、
  　大きい線分と通約できる線分上の
  　正方形だけ大きい
  であろう。
  
  そして
  もし
  　大きい線分上の正方形が
  　小さい線分上の正方形より
  　大きい線分と通約できる線分上の正方形だけ
  　大きく、
  　小さい線分上の正方形の４分の１に
  　等しくて
  　正方形だけ欠けている平行四辺形が
  　大きい線分上につくられる
  ならば、
  　それを
  　長さにおいて通約できる２つの部分に
  　分ける。」
  である。

• 命題１０ー１７は、以下のことである。
  Ａ＜Ｂとして、
  　Ｃ×（ＢーＣ）＝（Ａ／２）^2、
  　（ＢーＣ）∩Ｃ
  ならば、
  　sq(_Ｂ)＝sq(_Ａ)＋sq(_Ｂー２×Ｃ)
  　Ｂー２×Ｃ∩Ｂ
  
  逆に
  　sq(_Ｂ)＝sq(_Ａ)＋sq(_Ｂー２×Ｃ)
  　Ｂー２×Ｃ∩Ｂ
  　Ｃ×（ＢーＣ）＝（Ａ／２）^2、
  ならば、
  　Ｃ∩ＢーＣ
  
• 命題１０ー１７の補足 (作図.小線分上の正方形の４分の１になる大線分の矩形分割)

  前提	作図	推論
  定義
  公準	1-3
  公理		1-1
  命題	1-3,1-10,4-1,10-14助	2-5
  その他

• 命題１０ー１７は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		5-5
  公準
  公理		1-1,1-2,1-3,1-5補2
  命題	1-3補,1-10,1-46,6-28,10-6系3,10-14助,10-17補	1-48補,2-5,5-1,5-17,6-20,10-6,10-12,10-15
  その他	コ6(題5-1)

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