ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー17(上の正方形の差が大と通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割(コ)の辺は通約)
(小線分上の正方形の4分の1になる大線分の矩形分割)
もし
 不等な2線分があり、
 小さい線分上の正方形
 4分の1等しくて、
 正方形だけ欠けている平行四辺形
 大きい線分上につくられ、
 それを
 長さにおいて通約できる2つの部分に
 分ける
ならば、
 大きい線分上の正方形
 小さい線分上の正方形より、
 大きい線分通約できる線分上の
 正方形だけ大きい
であろう。

そして
もし
 大きい線分上の正方形
 小さい線分上の正方形より
 大きい線分通約できる線分上の正方形だけ
 大きく
 小さい線分上の正方形の4分の1
 等しく
 正方形だけ欠けている平行四辺形
 大きい線分上につくられる
ならば、
 それを
 長さにおいて通約できる2つの部分に
 分ける。




 A、BCを不等な2線分
とし、
 BCのほうが大きい
とし、
 小さい線分A上の正方形の4分の1
 すなわち
 Aの半分の上の正方形等しく
 正方形だけ欠けている平行四辺形
 BC上につくられた
とし、
 それを矩形BD、DC
とし、
 BDは
 DCと長さにおいて通約できる
とせよ。

 BC上の正方形
 A上の正方形より
 BCと通約できる線分上の正方形だけ大きい
と主張する。

 BCがEで2等分された
とし、
      [......(a)]

 EFをDEに等しく
せよ。
      [......(b)]

そうすれば
 残りのDCはBFに等しい
      [......(1)]

そして
 線分BCは
 Eで等しい2つの部分に、
 Dで不等な2つの部分に分けられた

から、
 BD、DCによってかこまれる矩形
 ED上の正方形の和は
 EC上の正方形等しい

 4についても同じ
ことがいえる。

したがって
 矩形BD、DCの4
 DE上の正方形の4との和は
 EC上の正方形の4等しい
      [......(2)]

ところが
 A上の正方形
 矩形BD、DCの4等しく
      [......(3)]

 DFはDEの2である

から、
 DF上の正方形
 DE上の正方形の4等しい
      [......(4)]

そして
 BCは
 CEの2である

から、
 BC上の正方形
 EC上の正方形の4等しい
      [......(5)]

それゆえ
 A、DF上の2つの正方形の和は
 BC上の正方形等しい

したがって
 BC上の正方形
 A上の正方形より
 DF上の正方形だけ大きい

したがって
 BCはAより
 その上の正方形
 DF上の正方形だけ大きい
      [......(6)]

 BCがDFと通約できる
ということも
証明されなければならない。

 BDは
 DCと長さにおいて通約できる

から、
 BCもCDと長さにおいて通約できる。
      [......(7)]

ところが
 CDはBFに等しい

から、
 CDは
 CD、BFと長さにおいて通約できる。

したがって
 BCは
 BF、CDと長さにおいて通約できる。

それゆえ
 BCは
 残りのFDと長さにおいて通約できる。

したがって
 BC上の正方形
 A上の正方形より
 BCと通約できる線分上の
 正方形だけ大きい

次に
 BC上の正方形
 A上の正方形より
 BCと通約できる線分上の
 正方形だけ大きい
とし、
 A上の正方形の4分の1等しく
 正方形だけ欠けている平行四辺形
 BC上につくられた
とし、
      [......(8)]
 それを矩形BD、DC
とせよ。

 BDが
 DCと長さにおいて通約できる
ことを証明しなければならぬ。

 同じ作図がなされた
とき、
      [......(7)]
 同様にして
 BC上の正方形
 A上の正方形より
 FD上の正方形だけ大きい
ことを証明しうる。

そして
 BC上の正方形
 A上の正方形より
 BCと通約できる線分上の
 正方形だけ大きい

ゆえに
 BCは
 FDと長さにおいて通約できる。

したがって
 BCは
 残りのBF、DCの和と
 長さにおいて通約できる。
      [......(8)]

ところが
 BF、DCの和は
 DCと通約できる。

それゆえ
 BCも
 CDと長さにおいて通約できる。

したがって
 分割比により
 BDは
 DCと長さにおいて通約できる。

よって
もし
 不等な2線分があり云々

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