ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論
第10巻
命題10ー86
(作図.第2の余線分)
第2の余線分
を
見いだす
こと。
第2の余線分は、
定義10Vー2
による。
有理線分
Aが
定められ、
GCが
Aと
長さにおいて通約
できる
ようにせよ。
命題の補足2(定義10ー3)
(作図.任意の有理線分)、
命題10ー5
(通約可能なら数:数の比)
命題10ー6の系
(作図.線分で数:数となる線分)
による。
A;有理線分、
GC;∩A
となっている。
そうすれば
GCは
有理線分
である。
前節、
定義10ー3の補足
(有理線分)
による。
GC;有理線分
となっている。
二つの
平方数
DE、EFが
定められ,
その差DFが
平方数
でない
ようにせよ。
[......(1)]
命題10ー29助aの補足
(作図.差が平方数でない2平方数)
による。
DE、EF;平方数
DEーEF;¬平方数
となっている。
そして
FDが
DEに
対する
ように,
CG上の正方形が
GB上の正方形に
対する
ように
された
とせよ。
[......(2)]
命題6ー12
(作図.比例第4項)
による。
C(BG;FD:DE=正方(_CG):正方(_GB))
となっている。
そうすれば
CG上の
正方形
は
GB上の
正方形
と
通約
できる。
前節、
命題10ー11
(4量比例で一方が通約なら他方も通約)
による。
正方(_CG)∩正方(_GB)
となっている。
ところが
CG上の
正方形
は
有理面積
である。
命題の設定
による。
正方(_CG);有理面積
となっている。
したがって
GB上の
正方形
も
有理面積
である。
前節、前々節
定義10ー4の補足
(有理面積、無理面積)
による。
正方(_GB);有理面積
となっている。
ゆえに
BGは
有理線分
である。
[......(3)]
前節、
定義10ー3の補足
(有理線分)
による。
BG;有理線分
となっている。
そして
GC上の
正方形
は
GB上の
正方形
に対して、
平方数
が
平方数
に
対する
比
を
もたない
(1)
(2)
による。
正方(_GC):正方(_GB)≠平方数:平方数
となっている。
から
CGは
GBと
長さにおいて通約
できない。
前節、
命題10ー9
(長さで通約と正方形・平方数の比)
による。
CG¬∩GB
となっている。
そして
両方とも
有理線分
である。
命題の設定
、
(3)
による。
CG、GB;有理面積
となっている。
したがって
CG,GBは
平方においてのみ通約
できる
有理線分
である。
前節、前々節、
定義10ー3の補足
(有理線分)
による。
CG∩^^2 GB
となっている。
ゆえに
BCは
余線分
である。
前節、
定義の補足(命題10ー73)
(余線分)
による。
BC;余線分
となっている。
第2の余線分
でも
ある
と主張する。
H上の
正方形
を
ΒG上の
正方形
と
GC上の
正方形
との差と
せよ。
[......(4)]
命題10ー14助
(作図.線分上の正方形の差となる正方形の辺)
による。
正方(_H)=正方(_BG)ー正方(_GC)
となっている。
そうすれば
ΒG上の
正方形
が
GC上の
正方形
に
対する
ように,
数
EDが
数
DFに
対する
(2)
による。
正方(_BG):正方(_GC)=ED:DF
となっている。
から,
反転
比
により
BG上の
正方形
が
H上の
正方形
に
対する
ように,
DEが
ΕFに
対する
。
前節、
命題5ー19の系の補足2
(比例ならば反転も比例)
による。
正方(_BG):正方(_H)=DE:EF
となっている。
そして
DE,EFの双方は
平方数
である。
(1)
による。
DE、EF;平方数
となっている。
したがって
BG上の
正方形
は
H上の
正方形
に対し,
平方数
が
平方数
に
対する
比
を
もつ。
前節、前々節による。
BG:H=平方数:平方数
となっている。
それゆえ
BGは
Hと
長さにおいて通約
できる。
前節、
命題10ー9
(長さで通約と正方形・平方数の比)
による。
BG∩H
となっている。
そして
BG上の
正方形
は
GC上の
正方形
より
H上の
正方形
だけ
大きい。
(4)
による。
正方(_BG)=正方(_GC)+正方(_H)
となっている。
したがって
BG上の
正方形
は
GC上の
正方形
より
BGと
長さにおいて通約
できる
線分
上の
正方形
だけ
大きい。
前節、前々節による。
正方(_BG)=正方(_GC)+正方(_X)
X∩BG
となっている。
そして
付加された
線分
CGは
定められた
有理線分
Aと
通約
できる。
命題の設定
となっている。
による。
CG∩A
となっている。
したがって
BGは
第2の余線分
である。
前節、前々節、
定義10Vー2
(第2の余線分)
による。
BG;第2の余線分
となっている。
よって
第2の余線分
BGが
見いだされた。
これが証明すべきことであった。
命題10ー86
は、
命題10ー29助aの補足
(作図.差が平方数でない2平方数)
により、
線分DE、点F(DE)を、
FD:DE=平方数:平方数、
DE:FE≠平方数:平方数
となるようにとり、
ある有理線分A
線分GC(;∩A)
をとり、
命題10ー6の系2
により、
点C(BG;
正方(_CG):正方(_GB)=FD:DE)
となるようにとれば、
BCは、第2の余線分
のことである。
命題10ー86
は作図用命題である。
前提
作図・構成
推論
定義
10-3補
,
10-4補
,
補(題10-73)
,
10V-2
公準
公理
命題
6-12
,
補(義10-3)
,
10-6系
,
10-14a
,
10-29a補
5-19補2
,
10-5
,
10-9
,
10-11
その他
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