ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー２３（中項線分と平方で通約なら中項線分）
(中項面積と通約なら中項面積)
中項面積
長さ、平方においても通約できる中項線分
平方においてのみ通約できる中項線分
(平方で通約の中項線分の平方和は中項面積)
(有理面積と中項面積は非通約)

　中項線分と［平方において］通約できる線分は
　中項線分である。

• 中項線分は、
  定義の補足（命題１０ー２１）による。
• 平方において通約は、
  定義１０ー２による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。

　Ａを中項線分
とし、
　ＢをＡと［平方において］通約できる
とせよ。

• 　Ａは
  　命題１０ー２２の補足(作図.中項線分)
  による。
  　Ｂは
  　命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
  により、
  　《長さにおいて》［平方において］Ａと通約できる線分として
  　つくる。
  
• 　Ａ：中項線分、
  　Ｂ∩^2Ａ
  となっている。

　Ｂも中項線分である
と主張する。

　有理線分ＣＤが定められ、
　Ａ上の正方形に等しくて
　ＥＤを幅とする矩形ＣＥが
　ＣＤ上につくられた
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　ＣＤは、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  による。
  　命題１−４６（作図.線分上に正方形）
  により、
  　Ａ上の正方形をつくり、
  　命題１ー１１（作図・線分からの垂線）　
  により、
  　Ｄを通り、ＣＤに垂直な直線ＤＥ'をひき、
  　命題１ー４５の補足２(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
  により
  　Ａ上の正方形に等しい矩形ＣＥを
  　ＣＤ上で角ＣＤＥ'の中につくる。
  
• 　ＣＤ：有理線分、
  　rec(ＣＥ)＝rec(ＣＤ、ＤＥ)
  　＝sq(_Ａ)
  となっている。
  

そうすれば
　ＥＤは有理線分であり、
　ＣＤと長さにおいて通約できない。

• 　前節、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で有理線分の底辺と幅は長で非通約）
  による。
• 　ＥＤ：有理線分、
  　ＣＤ¬∩ＥＤ
  となっている。

そして
　Ｂ上の正方形に等しくて
　ＤＦを幅とする矩形ＣＦが
　ＣＤ上につくられた
とせよ。
　　　　　　[......(ｂ)]

• 　命題１−４６（作図.線分上に正方形）
  により、
  　Ｂ上の正方形をつくり、
  　命題１ー４５の補足２(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
  により
  　Ｂ上の正方形に等しい矩形ＣＦを
  　ＣＤ上で角ＣＤＥ'の中につくる。
  
• 　ＣＤ：有理線分、
  　rec(ＣＦ)＝rec(ＣＤ、ＤＦ)
  　＝sq(_Ｂ)
  となっている。
  

そうすれば
　ＡはＢと［平方において］通約できる

• 　命題の設定による。

から、
　Ａ上の正方形も
　Ｂ上の正方形と通約できる。

• 　前節、
  　定義１０ー２(平方において通約)
  による。
• 　sq(_Ａ)∩sq(_Ｂ)
  となっている。

ところが
　ＥＣはＡ上の正方形に等しく、
　ＣＦはＢ上の正方形に等しい。

• 　（ａ）、 （ｂ）による。
• 　rec(ＥＣ)＝sq(_Ａ)
  　rec(ＣＦ)＝sq(_Ｂ)
  となっている。

したがって
　ＥＣはＣＦと通約できる。

• 　前節、前々節、
  　命題の補足（定義１０ー１）(等しい、倍量、約量と通約)
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
  
• 　rec(ＥＣ)＝rec(ＣＦ)
  となっている。

そして
　ＥＣがＣＦに対するように、
　ＥＤがＤＦに対する。

• 　前節、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　　rec(ＥＣ)：rec(ＣＦ)＝ＥＤ：ＤＦ
  となっている。

したがって
　ＥＤは
　ＤＦと長さにおいて通約できる。

• 　前節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＥＤ∩ＤＦ
  となっている。

ところが
　ＥＤは有理線分であり、
　ＤＣと長さにおいて通約できない。

• 　命題の設定、 （ａ）、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で有理線分の底辺と幅は長で非通約）
  による。
• 　ＥＣ：有理線分、
  　ＥＤ¬∩ＤＣ
  となっている。

したがって
　ＤＦも有理線分であり、
　ＤＣと長さにおいて通約できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）、
  　命題１０ー１９助（有理線分と長さ・平方において通約、有理）
  による。
• 　ＤＦ：有理線分、
  　ＤＦ¬∩ＤＣ
  となっている。

それゆえ
　ＣＤ、ＤＦは有理線分であり
　平方においてのみ通約できる。

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＣＤ、ＤＦ：有理線分
  　ＣＤ∩^^2ＤＦ
  となっている。

ところで
　平方においてのみ通約できる有理線分
　によってかこまれる矩形
　に等しい正方形の辺は中項線分である。

• 　定義の補足（命題１０ー２１）（中項線分）
  による。
  

したがって
　矩形ＣＤ、ＤＦに等しい正方形の辺は
　中項線分である。

• 　前節による。

そして
　Ｂは矩形ＣＤ、ＤＦ
　に等しい正方形の辺である。

• 　（ｂ）による。
• 　sq(_Ｂ)＝rec(ＣＤ、ＤＦ)
  となっている。
  

したがって
　Ｂは中項線分である。

• 　前節、前々節、
  　定義の補足（命題１０ー２１）（中項線分）
  による。
  
• 　Ｂ：中項線分
  となっている。
  

　系
これから
　次のことが明らかである、
すなわち
　中項面積と通約できる面積は
　中項面積である。

(以下、命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)という。)

• 改めて論証すると以下のようになる。
  　任意の中項面積は、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）
  により
  　平方においてのみ通約できる
  　有理線分ＣＤ、ＤＥの矩形、
  　rec(ＣＤ、ＤＥ)
  とできる。
  　これに通約な矩形の面積は、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　rec(ＣＤ、ＤＦ)
  とできる。
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  により、
  　rec(ＣＤ、ＤＥ)：rec(ＣＤ、ＤＦ)＝ＤＥ：ＤＦ
  となり、
  　rec(ＣＤ、ＤＥ)∩rec(ＣＤ、ＤＦ)
  となるから、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  により、
  　ＤＥ∩ＤＦ
  となる。
  これによって、
  第１に、
  　ＤＥ：有理線分、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  により
  　ＤＦ：有理線分
  となる。
  第２に、
  　ＤＥ∩^^2ＣＤ、
  　ＤＥ∩ＤＦ、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  により
  　ＤＦ∩^^2ＣＤ
  となる。
  よって、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  により、
  　rec(ＣＤ、ＤＦ)：中項面積
  となる。
  
• 　中項面積とは、
  　中項線分を辺とする正方形の面積
  であり、
  　定義の補足（命題１０ー２１）（中項線分）
  により、
  　平方においてのみ通約できる
  　有理線分による矩形の面積
  である。
  したがって、
  　無理面積、かつ有理面積の比例中項となる面積
  である。
  
  (以下、定義の補足２（命題１０ー２３） (中項面積)という。)
  　命題１０ー２３の補足５(平方で通約の中項線分の平方和は中項面積)
  により、
  　通約できる中項面積の和は中項面積である。
  
• 　命題１０ー２４において、
  　上記の定義となっている
  ことが確認できる。
  

そして
　有理線分についていわれたこと
と同様に
　中項線分についても、

　中項線分と
　長さにおいて通約できる線分は
　中項線分であり、
　それと
　長さにおいてのみでなく
　平方においても通約できる
といわれる、
(以下、定義の補足３（命題１０ー２３） (長さ、平方においても通約できる中項線分)という。)

なぜなら
　一般に
　長さにおいて通約できる線分は
　必ず平方においても通約できる
から。

• 　命題１０ー９の系２(長さで通約なら平方で通約)
  による。
  
• 　「なぜなら・・・であるから」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  　参照のこと。

しかし
もし
　何らかの線分が
　中項線分と平方において通約できる
ならば、
　それが長さにおいても通約できる
場合には、
　これらは中項線分であり、
　長さと平方において通約できる
といわれるが、

　［中項線分が中項線分と］
　平方においてのみ通約できる
場合には、
　これらは
　平方においてのみ通約できる中項線分
といわれる。
(以下、定義の補足４（命題１０ー２３） (平方においてのみ通約できる中項線分)という。)

• 　任意の中項線分Ａ、Ｂの通約関係は、
  　Ａ∩Ｂ（またＡ∩^2Ｂ）、
  　Ａ∩^^2Ｂ、
  　Ａ¬∩^2Ｂ
  のいずれかとなっている。
  
• 　平方において通約できる中項線分
  の上の正方形の和は、
  　　中項面積である。
  (以下、命題１０ー２３の補足５ (平方で通約の中項線分の平方和は中項面積)という。)
  なぜなら、
  　平方において通約できる中項線分Ａ、Ｂは、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)、
  　命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)
  により、
  　正方(_Ａ)、正方(_Ｂ)は
  　　互いに通約できる中項面積であり、
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  により、
  　正方(_Ａ)と正方(_Ｂ)の和は、
  　　正方(_Ａ)と通約でき、
  　命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)
  により、
  　中項面積となるからである。
  
• 　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  　命題１０ー２１（平方のみ通約可の有理線分の矩形と無理面積・無理線分）
  により、
  　有理面積と中項面積は通約できない。
  (以下、命題１０ー２３の補足６ (有理面積と中項面積は非通約)という。)
• 命題１０ー２３は、
  　Ａ：中項線分、
  　Ａ∩^2 Ｂ
  ならば、
  　Ｂ：中項線分
  のことである。
• 命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		10-23
  その他

• 命題１０ー２３の補足５ (平方で通約の中項線分の平方和は中項面積)

  前提	作図	推論
  定義		補2(題10-23)
  公準
  公理
  命題		10-15,10-23系
  その他

• 命題１０ー２３の補足６ (有理面積と中項面積は非通約)

  前提	作図	推論
  定義		10-4補
  公準
  公理
  命題		10-21
  その他

• 命題１０ー２３は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-2,10-3補,補(題10-21)
  公準
  公理
  命題	1-11,1-45補2,1-46,補2(義10-3),10-6系3,10-22補	6-1,補(義10-1),10-9系2,10-11,10-12,10-13,10-22
  その他

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