ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
(比の２乗が同じなら比は同じ)
(長さで通約なら平方で通約)

　長さにおいて
　通約できる線分上の正方形は
　互いに
　平方数が平方数に対する比をもつ。

そして
　互いに
　平方数が平方数に対する比をもつ
　正方形は
　長さにおいて通約できる辺をもつ
であろう。

しかし
　長さにおいて
　通約できない線分上の正方形は
　互いに
　平方数が平方数に対する比をもたない。

そして
　互いに
　平方数が平方数に対する比をもたない
　正方形は
　長さにおいて
　通約できる辺をもたない
であろう。

• 長さにおいては、
  定義１０ー２の補足による。
• 通約は、
  定義１０ー１による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。
• 正方形は、
  定義１−２２による。
• 平方数は、
  定義７−１９による。
• 対するは、
  定義の補足３（命題５ー１１）による。
• 比は、
  定義５ー３による。
• 辺は、
  定義１ー１９の補足による。

　Ａ、Ｂが
　長さにおいて通約できる
とせよ。

• 　命題の第一の部分である。
• 　「通約できる量を表す線分の作図（仮想的）」は、
  　コメント３(命題１０ー３）
  　参照のこと。

　Ａ上の正方形は
　Ｂ上の正方形に対し
　平方数が平方数に対する比をもっ
と主張する。

　ＡはＢと長さにおいて通約できる

• 　命題の設定による。
• 　Ａ∩Ｂ
  となっている。
  

から、
　ＡはＢに対し数が数に対する比をもつ。

• 　前節、
  　命題１０ー５（通約可能なら数：数の比）
  による。
• 　Ａ：Ｂ＝数：数
  となっている。
  

　ＣがＤに対する比をもつ
とせよ。

• 　Ｃ、Ｄは数を表す線分である。
  　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ（数）
  となっている。

そうすれば
　ＡがＢに対するように、
　ＣがＤに対し、
　　　　　　[......(ａ)]

• 　前節により、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ（数）
  となっている。

他方
　Ａ上の正方形が
　Ｂ上の正方形に対する比は
　ＡがＢに対する比の２乗である。

なぜなら
　相似の図形は
　対応する辺の比の２乗の比をもつ
から。

• 　命題６ー２０（相似多角形の相似三角形分解と２乗の比）
  のことである。
  
• 　「なぜなら・・・であるから」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  　参照のこと。
  
• 　sq(_Ａ)：sq(_Ｂ)
  　＝（Ａ：Ｂ）^2
  となっている。

そして
　Ｃ上の《正方形》［平方数］が
　Ｄ上の《正方形》［平方数］に対する比は
　ＣがＤに対する比の２乗である。

• 　推論の流れ
  により、
  　原文を修正している。

　 なぜなら
　２つの平方数の間には
　１つの比例中項数があり、
　平方数は
　平方数に対し
　辺が辺に対する２乗の比をもっ
から。

• 　命題８ー１１（平方数の比、比例中項）
  のことである。
  
• 　「なぜなら・・・であるから」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  　参照のこと。
• 　Ｃ^2：Ｄ^2＝（Ｃ：Ｄ）^2
  となっている。

したがって
　Ａ上の正方形が
　Ｂ上の正方形に対するように、
　Ｃ上の平方数がＤ上の平方数に対する。

• 　前節、前々節、
  （ａ）、
  　公理の補足３（定義５ー５）(約量(倍量)での代入の原理）
  による。
  
• 　sq(_Ａ)：sq(_Ｂ)
  　＝Ｃ^2：Ｄ^2
  となっている。

次に
　Ａ上の正方形が
　Ｂ上の正方形に対するように、
　Ｃ上の平方数が
　Ｄ上の平方数に対する
とせよ。

• 　命題の第二の部分である。
• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
• 　命題の補足（定義７ー２）(作図.数ｎ)
  により、
  　Ｍ：Ｎ＝Ｃ^2：Ｄ^2
  となる線分Ｍ、Ｎをとる。
  　命題１０ー６の系２（作図.平方で数：数となる線分）
  により、
  　２線分Ｍ、Ｎの比と同じ比を持つ
  　正方形をとり、
  　それぞれの正方形の辺をＡ、Ｂ
  とする。
  　
• 　sq(_Ａ)：sq(_Ｂ)
  　＝Ｃ^2：Ｄ^2
  となっている。

　Ａは
　Ｂと長さにおいて通約できる
と主張する。

　Ａ上の正方形が
　Ｂ上の正方形に対するように、
　Ｃ上の平方数が
　Ｄ上の平方数に対し、

• 　命題の設定である。
• 　sq(_Ａ)：sq(_Ｂ)＝Ｃ^2：Ｄ^2
  となっている。
  

他方
　Ａ上の正方形が
　Ｂ上の正方形に対する比は
　ＡのＢに対する比の２乗であり、

• 　命題６ー２０（相似多角形の相似三角形分解と２乗の比）
  のことである。
  
• 　sq(_Ａ)：sq(_Ｂ)
  　＝（Ａ：Ｂ）^2
  となっている。

　Ｃ上の平方数が
　Ｄ上の平方数に対する比は
　ＣのＤに対する比の２乗である

• 　命題８ー１１（平方数の比、比例中項）
  のことである。
  
• 　Ｃ^2：Ｄ^2
  　＝（Ｃ：Ｄ）^2
  となっている。

から、
　ＡがＢに対するように、
　ＣがＤに対する。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  により
  　（Ａ：Ｂ）^2＝（Ｃ：Ｄ）^2
  となっている。
  
  背理法の仮定として
  もし
  　Ａ：ＢがＣ：Ｄより小さい
  ならば、
  　命題６ー２３の補足２（小さい比との積は小さい）
  により
  　（Ａ：Ｂ）^2は
  　（Ａ：Ｂ）×（Ｃ：Ｄ）より小さく、
  　（Ａ：Ｂ）×（Ｃ：Ｄ）は
  　（Ｃ：Ｄ）^2より小さい
  ので
  　命題５ー１３の補足（大きい比より大きい比は大きい）
  により
  　（Ａ：Ｂ）^2は（Ｃ：Ｄ）^2より小さくなり、
  　（Ａ：Ｂ）^2＝（Ｃ：Ｄ）^2に矛盾する。
  もし
  　Ａ：ＢがＣ：Ｄより大きい
  ならば、
  　同様に
  　（Ａ：Ｂ）^2は（Ｃ：Ｄ）^2より大きくなり、
  　（Ａ：Ｂ）^2＝（Ｃ：Ｄ）^2に矛盾する。
  　背理法により
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  となる。
  　以上から次のことがわかる。
  　比の２乗が同じ
  ならば
  　比は同じである。
  (以下、命題１０ー９の補足（比の２乗が同じなら比は同じ）という。)
  

したがって
　ＡはＢに対し
　数Ｃが数Ｄに対する比をもつ。

• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ（数）
  となっている。

それゆえ
　ＡはＢと長さにおいて通約できる。

• 　前節、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  による。
• 　Ａ∩Ｂ
  となっている。
  

次に
　ＡがＢと長さにおいて通約できない
とせよ。

• 　命題の第３の部分である。
• 　「通約できない量を表す線分の作図（仮想的）」は、
  　コメント(命題１０ー７）
  　参照のこと。

　Ａ上の正方形は
　Ｂ上の正方形に対し
　平方数が平方数に対する比をもたない
と主張する。

もし
　Ａ上の正方形が
　Ｂ上の正方形に対し
　平方数が平方数に対する比をもつ
ならば、

• 　背理法の仮定を述べている。
• 　sq(_Ａ)：sq(_Ｂ)＝平方数：平方数
  としている。
  

　ＡはＢと通約できる
であろう。

• 　前節、
  　本命題の第二の部分
  による。
• 　Ａ∩Ｂ となっている。

ところが
　そうではない。

• 　命題の設定による。
• 　Ａ¬∩Ｂ
  となっている。
  

したがって
　Ａ上の正方形は
　Ｂ上の正方形に対し、
　平方数が平方数に対する比をもたない。

• 　背理法による。
• 　sq(_Ａ)：sq(_Ｂ)≠平方数：平方数
  となっている。

また
　Ａ上の正方形が
　Ｂ上の正方形に対し、
　平方数が平方数に対する比をもたない
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
• 　命題の補足（定義７ー２）(作図.数ｎ)
  により、
  　Ｍ：Ｎ≠平方数：平方数
  となる線分をとり、
  　命題１０ー６の系２（作図.平方で数：数となる線分）
  による。
  
• 　Ａ：Ｂ≠平方数：平方数
  となっている。
  

　ＡはＢと長さにおいて通約できない
と主張する。

もし
　ＡがＢと通約できる
ならば、

• 　背理法の仮定である。
• 　Ａ∩Ｂ
  としている。
  

　Ａ上の正方形は
　Ｂ上の正方形に対し、
　平方数が平方数に対する比をもつ
であろう。

• 　前節、 本命題の第一の部分による。
• 　sq(_Ａ)：sq(_Ｂ)＝平方数：平方数
  となっている。
  

ところが
　もたない。

• 　命題の設定による。
• 　sq(_Ａ)：sq(_Ｂ)≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　ＡはＢと長さにおいて通約できない。

• 　背理法による。
• 　Ａ¬∩Ｂ
  となっている。
  

よって
　長さにおいて
　通約できる線分上の正方形は云々

• 　云々は、
  以下の通りである。
  　「互いに
  　平方数が平方数に対する比をもつ。
  
  そして
  　互いに
  　平方数が平方数に対する比をもつ
  　正方形は
  　長さにおいて通約できる辺をもつ
  であろう。
  
  しかし
  　長さにおいて
  　通約できない線分上の正方形は
  　互いに
  　平方数が平方数に対する比をもたない。
  
  そして
  　互いに
  　平方数が平方数に対する比をもたない
  　正方形は
  　長さにおいて
  　通約できる辺をもたない
  であろう。」
  

　系
　すでに証明されたこと
から
　次のことが明らかであろう、
すなわち
　長さにおいて通約できる線分は
　必ず平方においても通約できる

(以下、命題１０ー９の系２ (長さで通約なら平方で通約)という。)

• 　命題の第一の部分による。

が、
　平方において通約できる線分は
　必ずしも長さにおいても
　通約できるとは限らない。

• 　命題の第四の部分による。

　［これが証明すべきことであった。］

• 命題１０ー９は
  　Ａ∩Ｂ
  ならば
  　sq(_Ａ)：sq(_Ｂ)＝平方数:平方数
  および
  　その逆、裏、対偶
  のことである。
• 命題１０ー９の補足（比の２乗が同じなら比は同じ）

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		5-13補,6-23補2
  その他

• 命題１０ー９の系２ (長さで通約なら平方で通約)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		10-9
  その他

• 命題１０ー９は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義
  公準
  公理		補3(義5-5)
  命題	2-1補,6-17補,10-6系2	5-11,5-13補,6-20,6-23補2,補(義7-2),8-11,10-5,10-6
  その他	コ6(題5-1), コ4(題7-1)	コ2(題1-16)

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