ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー９１（有理線分と第１の余線分の矩形に等しい正方形の辺は余線分）
もし
　面積が
　　有理線分と第１の余線分によって
　　　かこまれる
ならば，
　その面積に等しい正方形の辺は
　　余線分である。

• 面積は、
  定義１０ー２の補足２による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 第１の余線分は、
  定義１０�Vー１による。
• かこまれるは、
  定義２ー１による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 辺は、
  定義１ー１９の補足による。
• 余線分は、
  定義の補足(命題１０ー７３)による。

　面積ＡＢが
　　有理線分ＡＣと第１の余線分ＡＤによって
　　　かこまれる
とせよ。

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  命題１０ー８５（作図.第１の余線分）
  　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  による。 　
  
• 　ＡＣ；有理線分、
  　ＡＤ；第１の余線分、
  　矩形ＡＢ(ＡＣ、ＡＤ)
  となっている。

　　面積ΑΒに等しい
　正方形の辺は
　　余線分である
と主張する。

　ＡＤは
　　第１の余線分
であるから，
　　ＤＧを
　　それへの付加
とせよ。

• 　命題の設定、
  　命題１０ー８５（作図.第１の余線分）
  による。
• 　ＡＤ；第１の余線分、
  　ＤＧ；ＡＤへの付加
  となっている。

そうすれば
　ＡＧ，ＧＤは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分である。
そして
　ＡＧ全体は
　　定められた有理線分ＡＣと通約
　　　でき，
　ＡＧ上の正方形は
　　ＧＤ上の正方形より
　　ＡＧと長さにおいて通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　定義１０�Vー１（第１の余線分）
  による。
• 　ＡＧ、ＧＤ；有理線分、
  　ＡＧ∩^^2 ＧＤ、
  　ＡＧ∩指定有理線分ＡＣ
  　正方(_ＡＧ)＝正方(_ＧＤ)＋正方(_Ｘ)
  　　ＡＧ∩Ｘ
  となっている。

したがって
もし
　　ＤＧ上の正方形の４分の１に
　　　等しくて
　　正方形だけ
　　　欠けている
　矩形が
　　ＡＧ上に
　　　つくられる
ならば，
　　それを通約
　　　できる
　　二つの部分に
　　　分ける。

• 　前節、
  　命題１０ー１７（上の正方形の差が大と通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は通約）
  による。

ＤＧが
　　Ｅで２等分され，
　　ＥＧ上の正方形に等しくて
　　正方形だけ欠けている
　矩形が
　　ＡＧ上につくられた
とし，
　　それを矩形ＡＦ，ＦＧ
とせよ。
　　　　　　[......(３)]

• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  　命題６ー２８（作図.線分の平行四辺形分割（コ））
  による。
• 　中点Ｅ(ＤＧ)
  、 　Ｆ(ＡＧ；矩形(ＡＦ、ＦＧ)＝正方(_ＥＧ))
  となっている。

そうすれば
　ＡＦは
　　ＦＧと通約できる。

• 　前節、前々節による。
• 　ＡＦ∩ＦＧ
  となっている。

そして
　　点Ｅ，Ｆ，Ｇを通り
　　ＡＣに平行に
　ＥＨ、ＦＩ，ＧＫが
　　　ひかれた
とせよ。

• 　命題１ー３１（作図・平行線）
  による。
• 　ＡＣ//ＥＨ//ＦＩ//ＧＫ
  となっている。

そうすれば
　ＡＦは
　　ＦＧと長さにおいて通約
　　　できる

• 　前々節による。
• 　ＡＦ∩ＦＧ
  となっている。

から，
　ＡＧも
　　ＡＦ,ＦＧの双方と
　　長さにおいて通約
　　　できる。

• 　前節、
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  による。
• 　ＡＧ∩ＡＦ、ＦＧ
  となっている。

ところが
　ＡＧは
　　ＡＣと通約
　　　できる。

• 　（１）による。
• 　ＡＧ∩ＡＣ
  となっている。

したがって
　ＡＦ,ＦＧの双方は
　　ＡＣと長さにおいて通約
　　　できる。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  による。
• 　ＡＦ、ＦＧ∩ＡＣ
  となっている。

そして
　ＡＣは
　　有理線分
　　　である。

• 　（１）による。
• 　ＡＣ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＡＦ,ＦＧの双方も
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＡＦ、ＦＧ；有理線分
  となっている。

ゆえに
　ＡＩ，ＦＫの双方も
　　有理面積
　　　である。
　　　　　　[......(６)]

• 　前々節、 （２）、
  　命題１０ー１９（長さで通約な有理線分の矩形は有理面積）
  による。
• 　矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)、矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)
  　　；有理面積
  となっている。

そして
　ＤＥは
　　ＥＧと長さにおいて通約
　　　できる

• 　（３）、
  　定義１０ー２の補足（長さにおいて通約）
  による。
• 　ＤＥ∩ＥＧ
  となっている。

から，
　ＤＧも
　　ＤＥ，ＥＧの双方と
　　　長さにおいて通約
できる。

• 　前節、
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  による。
• 　ＤＧ∩ＤＥ、ＥＧ
  となっている。

ところが
　ＤＧは
　　有理線分
　　　であり
　　ＡＣと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　命題の設定、
  　定義の補足(命題１０ー７３)(余線分)
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＤＧ¬∩ＡＣ、ＡＧ
  となっている。

したがって
　ＤＥ，ＥＧの双方も
　　有理線分
　　　であり
　　ＡＣと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
  
• 　ＤＥ、ＤＧ；有理線分、
  　　¬∩ＡＣ
  となっている。

ゆえに
　ＤＨ，ＥＫの双方は
　　中項面積
　　である。
　　　　　　[......(７)]

• 　前節、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 　矩形ＤＨ(ＡＣ、ＤＥ)、矩形ＥＫ(ＡＣ、ＥＧ)；
  　　中項面積
  となっている。

そこで
　ＡＩに等しい正方形ＬＭが
　　　つくられた
とし，
　　ＦＫに等しくて
　　ＬＭと共通な角ＬＰＭを
　　　もつ
　正方形ＮＯが
　　　ひかれた
とせよ。
　　　　　　[......(４)]

• 　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　正方ＬＭ(_ＬＲ、ＬＰ)＝矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)
  をつくり、
  また、
  　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　Ｎ（ＬＰ；正方ＮＯ(_ＮＰ)＝矩形ＦＫ）
  をとる。
• 　正方ＬＭ(_ＬＲ、ＬＰ)＝矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)、
  　Ｎ（ＬＰ；正方ＮＯ(_ＮＰ)＝矩形ＦＫ）
  となっている。

そうすれば
　正方形ＬＭ,ＮＯは
　　同じ対角線を
　　　はさんでいる。

• 　前節、
  　定義６ー１（相似）
  　命題６ー２６（共通角の平行四辺形の相似と対角線）
  による。
  
• 　正方ＬＭ（同じ対角線）正方ＮＯ
  となっている。

　　ＰＲを
　　それらの対角線
　　　とし，
　作図が
　　なされた
とせよ。
　　　　　　[......(５)]

• 　前節、
  　命題１ー４３の補足２(作図.対角線をはさむ平行四辺形)
  による。
• 　対角線ＰＲ(正方ＬＭ(_ＬＰ)；)
  　ＳＱ//ＬＰ、
  　ＮＴ//ＬＲ
  となっている。

そうすれば
　　ＡＦ,ＦＧによって
　　　かこまれる
　矩形は
　　ＥＧ上の正方形に
　　　等しい

• 　（３）による。
• 　矩形(ＡＦ、ＦＧ)＝正方(_ＥＧ)
  となっている。

から，
　ＡＦが
　　ＥＧに対するように，
　ＥＧが
　　ＦＧに
　　　対する。

• 　前節、
  　命題６ー１４（等積で等角な平行四辺形と逆比例）
  による。
• 　ＡＦ：ＥＧ＝ＥＧ：ＦＧ
  となっている。

ところが
　ＡＦが
　　ＥＧに対するように，
　ＡＩが
　　ＥＫに
　　　対し，
　ＥＧが
　　ＦＧに対するように，
　ＥＫが
　　ＫＦに
　　　対する。

• 　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＡＦ：ＥＧ＝矩形ＡＩ：矩形ＥＫ、
  　ＥＧ：ＦＧ＝矩形ＥＫ：矩形ＫＦ
  となっている。

したがって
　ＥＫは
　　ＡＩ,ＫＦの比例中項
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義の補足３（命題６ー８）(比例中項)
  による。
• 　矩形ＥＫ＝比例中項（矩形ＡＩ、矩形ＫＦ）
  となっている。

ところが
　ΜΝも
　　先に証明されたように，
　　ＬＭ,ＮＯの比例中項
　　　であり，

• 　命題１０ー５４助（作図.２正方形の完結と比例中項）
  による。
• 　矩形ＭＮ；比例中項(正方ＬＭ、正方ＮＯ)
  となっている。

　ＡＩは
　　正方形ＬＭに，
　ＫＦは
　　ＮＯに
　　　等しい。

• 　（４）による。
• 　矩形ＡＩ＝正方ＬＭ、
  　矩形ＫＦ＝正方ＮＯ
  となっている。

したがって
　ＭＮは
　　ＥＫに
　　　等しい。
　　　　　　[......(８)]

• 　前節、前々節、前々々節、
  　命題６ー１７の補足２(等しいものの比例中項は等しい)
  による。
• 　矩形ＭＮ＝矩形ＥＫ
  となっている。

ところが
　ＥＫは
　　ＤＨに，
　ＭＮは
　　ＬＯに
　　　等しい。
　　　　　　[......(９)]

• 　（３）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  　命題１−４３（平行四辺形の補形）
  による。
  
• 　矩形ＥＫ＝矩形ＤＨ、
  　正方ＭＮ＝正方ＬＯ
  となっている。

したがって
　ＤＫは
　　グノーモーンＵＶＷとＮＯの和に
　　　等しい。

• 　前節、
  　定義２ー２（グノーモーン）
  による。
• 　矩形ＤＫ＝グノーモンＵＶＷ＋矩形ＮＯ
  となっている。

ところが
　ＡＫは
　　正方形ＬＭ,ＮＯの和に
　　　等しい。

• 　（４）、
  による。
• 　矩形ＡＫ＝正方ＬＭ＋正方ＮＯ
  となっている。

したがって
　残りのＡＢは
　　ＳＴに
　　　等しい。
　　　　　　[......(１１)]

• 　前節、前々節、
  　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
• 　矩形ＡＢ＝正方ＳＴ
  となっている。

ところが
　ＳＴは
　　ＬＮ上の正方形
　　　である。

• 　（５）、
  による。
• 　正方ＳＴ（ＬＮ）
  となっている。

ゆえに
　ＬＮ上の正方形は
　　ＡＢ
　　　に等しい。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　正方（ＬＮ）＝矩形ＡＢ
  となっている。

したがって
　ＬＮは
　　ＡＢ
　　　に等しい
　　正方形の辺
　　　である。

• 　前節、
  による。
• 　正方（ＬＮ）＝矩形ＡＢ
  となっている。

次に
　ＬＮは
　　余線分
　　　である
と主張する。
　ＡＩ,ＦＫの双方は
　　有理面積
　　　であり，
　　ＬＭ，ＮＯ
　　　に等しい

• 　（６）、 （４）による。
• 　矩形ＡＩ＝正方ＬＭ；有理面積、
  　矩形ＦＫ＝正方ＮＯ；有理面積
  となっている。

から，
　　ＬＭ,ＮＯの双方，
　　すなわち
　　ＬＰ,ＰＮの双方の上
　の正方形も
　　有理面積
　　　である。

• 　前節、前々節
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　正方ＬＭ（ＬＰ）、正方ＮＯ（ＰＮ）；有理面積
  となっている。

したがって.
　ＬＰ,ＰＮの双方も
　　有理線分
　　　である。
　　　　　　[......(１０)]

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＬＰ，ＰＮ；有理線分
  となっている。

また
　ＤＨは
　　中項面積
　　　であり
　　ＬＯ
　　　に等しい
から，
　ＬＯも
　　中項面積
　　　である。

• 　（７） （８） （９）による。
• 　矩形ＤＨ＝矩形ＬＯ：中項面積
  となっている。

そこで
　ＬＯが
　　中項面積
　　　であり.，
　ＮＯが
　　有理面積
　　　である

• 　前節、前々々節による。
• 　矩形ＬＯ；中項面積、
  　矩形ＮＯ；有理面積
  となっている。

から，
　ＬＯは
　　ＮＯと通約
　　　できない。

• 　前節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　矩形ＬＯ¬∧正方ＮＯ
  となっている。

ところが
　ＬＯが
　　ＮＯに対するように
　ＬＰが
　　ＰＮ
　　　に対する。

• 　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
  
• 　矩形ＬＯ：正方ＮＯ＝ＬＰ：ＰＮ
  となっている。

したがって
　ＬＰは
　　ＰＮと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＬＰ¬∩ＰＮ
  となっている。

そして
　両方とも
　　有理線分
　　　である。
したがって
　ＬＰ,ＰＮは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。

• 　（１０）による。
• 　ＬＰ∩^^ ＰＮ
  となっている。

ゆえに
　ＬＮは
　　余線分
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義の補足(命題１０ー７３)(余線分)
  による。
• 　ＬＮ；余線分
  となっている。

　　そして
　　面積ＡＢ
　　　に等しい
　　正方形の辺
　　　である。

• 　（１１）による。
• 　正方ＳＴ（ＬＮ）＝矩形ＡＢ
  となっている。

したがって
　　面積ＡＢ
　　　に等しい
　正方形の辺は
　　余線分
　　　である。

• 　前節、前々節による。
• 　辺ＬＮ.正方（；＝矩形ＡＢ）；余線分
  となっている。

よって
もし
　面積が
　　有理線分と第１の余線分によって
　　　かこまれる
ならば
　云々

• 　云々は、
  　その面積に等しい正方形の辺は
  　　余線分である。
  

• 命題１０ー９１は、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  　定義１０�Vー１（第１の余線分）
  　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  により、 　
  　ＡＣ；有理線分、
  　ＡＤ；第１の余線分、
  　矩形ＡＢ(ＡＣ、ＡＤ)
  をとり、
  　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　正方ＳＴ(_ＬＮ)＝矩形ＡＢ(ＡＣ、ＡＤ)
  とすると、
  　ＬＮ；余線分
  のことである。
  
• 命題１０ー９１は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		2-2,6-1,補3(題6-8),10-2補,10-3補,10-4補,補2(題10-23),補(題10-73),10�V-1
  公準
  公理		1-1,1-3
  命題	1-10,1-31,1-43補2,2-1補,6-17補,6-28,補2(義10-3),10-54助,10-85	1-43,6-1,6-14,6-17補2,6-26,10-11,10-13,10-15,10-17,10-19
  その他

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