ユークリッド原論をどう読むか（１２）
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ユークリッド原論

第８巻
　
命題８ー５（平面数の比は辺の比の積）
　平面数は
　互いに辺の比の積の
　比をもつ。

• 平面数は、 定義７ー１９による。
• 辺は、 定義１ー１９の補足による。
• 比の積は、 定義６ー５による。
• 比は、 定義５ー３による。

　Ａ、Ｂを平面数
とし、
　数Ｃ、ＤをＡの辺、
　Ｅ、ＦをＢの辺
とせよ。

• 「数（について）・・・とせよ」は、 コメント４（命題７ー１） 参照のこと。
• Ａ＝Ｃ×Ｄ、Ｂ＝Ｅ×Ｆとなっている。

　Ａは
　Ｂに対し
　辺の比の積の比をもつ
と主張する。

　ＣがＥに、
　ＤがＦに対する比が与えられ、
　順にＣ対Ｅ、Ｄ対Ｆの比をなす
　最小数Ｇ、Ｈ、Ｋがとられ、
　ＣがＥに対するように、
　ＧがＨに対し、
　ＤがＦに対するように、
　ＨがＫに対する
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　命題８ー４（構成.複数の比で順次に比例する最小の数）
  により、
  　Ｇ、Ｈ、Ｋは構成される。
• 　Ｃ：Ｅ＝Ｇ：Ｈ、
  　Ｄ：Ｆ＝Ｈ：Ｋ、
  　Ｇ、Ｈ、Ｋは最小
  となっている。
• 　定義６ー５（合成・積）
  により、
  　ＧのＫに対する比は、
  　辺の比Ｃ：Ｅ、Ｄ：Ｆの
  　積の比になっている。
  　　　　　　[......(ａ１)]
  

そして
　ＤがＥにかけてＬをつくる
とせよ。
　　　　　　[......(ｂ)]

• 定義７ー１６（かける） による。
• Ｄ×Ｅ＝Ｌとなっている。

そうすれば
　Ｄは
　ＣにかけてＡをつくり、

• 命題の設定による。

　ＥにかけてＬをつくった

• 前節による。

から、
　ＣがＥに対するように、
　ＡがＬに対する。

• 命題７ー１７（同数を各項にかけても比は同じ） による。

ところが
　ＣがＥに対するように、
　ＧがＨに対する。

• （ａ）による。

それゆえ
　ＧがＨに対するように、
　ＡがＬに対する。
　　　　　　 [......(１)]

• 前節、前々節、
  命題５ー１１（同一の比に同じ比） による。

また
　ＥがＤにかけてＬをつくり、

• （ｂ）による。

　他方
　ＦにかけてＢをつくった

• 命題の設定による。

から、
　ＤがＦに対するように、
　ＬがＢに対する。

• 前節、前々節、
  命題７ー１７（同数を各項にかけても比は同じ） による。

ところが
　ＤがＦに対するように、
　ＨがＫに対する。

• （ａ）による。

ゆえに
　ＨがＫに対するように、
　ＬがＢに対する。

• 前節、前々節、
  命題７ー１７（同数を各項にかけても比は同じ） による。

ところが
　ＧがＨに対するように、
　ＡがＬに対する
　ことが先に証明された。

• （１）による。

したがって
　等間隔比により
　ＧがＫに対するように、
　ＡがＢに対する。

• 命題５ー２２（等間隔比と同じ比） による。

ところが
　ＧはＫに対し、
　辺の比の積の比をもつ。

• （ａ１）による。

したがって
　ＡはＢに対し
　辺の比の積の比をもつ。

　これが証明すべきことであった。

• Ａ＝Ｃ×Ｄ、Ｂ＝Ｅ×Ｆならば、Ａ：Ｂ＝（Ｃ：Ｅ）×（Ｄ：Ｆ） のことである。
• 命題８ー５は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-16
  公準
  公理
  命題	8-4	5-11,5-22,7-17
  その他	コ4(題7-1)

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