ユークリッド原論をどう読むか（３）
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ユークリッド原論
第１巻

命題１ー３１（作図・平行線）　
(与点を通る平行線は唯一)
(交線の垂線)
与えられた点を通り、
　与えられた直線に平行線をひくこと。

• 点は、定義１ー１による。
• 直線は、定義１ー４による。
• 平行線は、定義１ー２３による。

与えられた点をＡ、
　与えられた直線をＢＣとせよ。

• 　点Ａ、直線ＢＣ
  をとっている。

このとき
　点Ａを通り直線ＢＣに平行線を
　引かねばならぬ。

ＢＣ上に任意の点Ｄがとられ、

• 　公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
  による。
• 　点Ｄ[ＢＣ]
  をとっている。

ＡＤが結ばれたとせよ。

• 　公準１ー１（作図.直線）
  による。
• 　線分(Ａ,Ｄ)
  をとっている。

そして
　直線ＡＤに対して
　その上の点Ａにおいて
　角ＡＤＣに等しい角ＤＡＥが作られたとせよ。
　　　　　　【・・・(a)】

• 　命題１ー２３（作図・直線上に指定された角）
  による。
• 　点Ｅ[∠ＤＡＥ＝∠ＡＤＣ,ＡＤについてＣと反対側]、
  　半直線(Ａ,Ｅ)
  をとっている。

そして
　直線ＡＦが
　ＥＡと一直線をなして
　延長されたとせよ。

• 　公準１ー２（作図.直線の延長）
  による。
• 　点Ｆ[延長ＥＡ]、
  　半直線(Ａ,Ｆ)
  をとっている。

そうすれば
　直線ＡＤが
　２直線ＢＣ、ＥＦに交わり
　錯角ＥＡＤ、ＡＤＣを互いに等しくしたから、

• (a) による。
• 　ＡＤ╂(ＢＣ、ＥＦ)、
  　∠ＥＡＤ＝∠ＡＤＣ
  となっている。

ＥＡＦはＢＣに平行である。

• 　命題１ー２７（錯角と平行）
  による。
• 　直線ＥＡＦ‖ＢＣ
  となっている。

よって
　与えられた点Ａを通り、
　与えられた直線ＢＣに
　平行な直線ＥＡＦがひかれた。
　
これが作図すべきものであった。

• 命題１ー３１（作図・平行線）
  の証明を振り返ると、
  　公準１ー５（平行線公準）
  　（命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）、
  　命題１ー３０（平行の平行）、
  　命題１ー３０の補足(交線に平行な線) ）
  　を前提としていない。
  点Ａと直線ＢＣについて、
  　直線ＢＣ上の点Ｄを決めたとき、
  　錯角の等しい平行線を引くことができる
  　というものである。
  あるいは、
  　平行線が一つはある
  　というものである。
  　
  そこで、
  　次の疑問が生じる。
  　
  �@直線ＢＣ上の別の点Ｇを決めたとき、
  　錯角の等しい平行線を
  　ひくことができるが、
  　この平行線は
  　点Ｄを決めたときの平行線と同一か。
  
  
  �Aこれ以外に平行線はないか。
  
  
  
  公準１ー５（平行線公準）
  を前提とすると、
  　�@�Aが肯定的に解決される。
  �@については、
  　命題１ー３２（三角形の内対角・内角の和）
  を参照されたい。
  �Aについては、
  　次の解説を参照されたい。
• 公準１ー５（平行線公準）
  を前提とすると、
  　この命題１ー３１（作図・平行線）
  に
  　平行線が唯一であることを
  　付け加えることができる。
  すなわち、
  　与えられた点を通り、
  　与えられた直線に平行線をひくことができる。
  平行線は唯一これだけである。
  　（以下、命題１ー３１の補足(与点を通る平行線は唯一)という。）
  
  背理法の仮定として、
  　もし
  　点Ａを通り直線ＢＣに平行な直線が
  　ＥＦ以外にＧＨがあるとする。
  背理法の仮定により
  　ＥＦとＧＨは点Ａで交わる、
  　異なる直線である。
  命題の仮定により
  　ＢＣとＥＦは平行である。
  命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  により
  　ＢＣとＧＨは交わる。
  ところが
  　背理法の仮定により
  　ＢＣとＧＨは平行であるから、
  　矛盾となる。
  背理法により
  　ＥＦとＧＨは一致する。
  
  公準１ー５（平行線公準）
  を前提とする原論の命題としては、
  　この補足の方が
  　命題としては望ましいと考えられる。
• 命題１ー３１の補足(与点を通る平行線は唯一)
  から
  　公準１ー５（平行線公準）
  を導くことができる。
  
  ２直線ＡＢ、ＣＤに直線ＥＦが
  　２点Ｇ、Ｈでそれぞれ交わっており、
  　角ＢＧＨ、ＧＨＤの同側内角の和が
  　２直角より小さいものとする。
  
  
  Ｇを通り
  　ＣＤに平行な直線ＫＬを、
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  により、
  　錯角ＧＨＣとＬＧＨが等しくなるように、
  　したがって
  　角ＬＧＨと角ＧＨＤの和が
  　２直角となるように、
  　描く。
  今、
  　角ＢＧＨと角ＧＨＤの和は
  　２直角より小さいので、
  　公理１ー４の補足２（不等なものから等しいものをひく）
  により
  　角ＬＧＨより角ＢＧＨは小さい。
  したがって
  　２直線ＡＢ、ＫＬは
  　点Ｇで交わる異なる直線であり、
  　半直線ＧＢは
  　直線ＫＬについて直線ＣＤと同じ側に、
  　半直線ＧＡは
  　反対側にある。
  ＫＬは、
  　命題１ー３１の補足(与点を通る平行線は唯一)
  により、
  　Ｇを通るＣＤの唯一の平行線であるから、
  　ＡＢはＣＤと交わり、
  　しかも、
  　半直線ＧＢが直線ＫＬについて
  　直線ＣＤと同じ側にあるので、
  　同側内角の和が
  　２直角より小さい側で交わる。
  よって
  　公準１ー５（平行線公準）
  が成立する。
• 公準１ー５（平行線公準）
  と命題１ー３１の補足(与点を通る平行線は唯一)
  は同値である。
• 命題１ー３１の補足(与点を通る平行線は唯一)
  から、
  　命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  を導くことができる。
  　
  点Ｅを通りＦＧに平行な直線は、
  　命題１ー３１の補足(与点を通る平行線は唯一)
  により
  　ＡＢだけである。
  したがって
  　ＣＤはＦＧと交わる。
  よって
  　命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  が成立する。
• 命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  から
  　命題１ー３１の補足(与点を通る平行線は唯一)
  を導くことができる。
  　
  背理法の仮定として、
  　点Ａを通り直線ＢＣに平行な、
  　異なる２直線ＥＦ、ＧＨがあったとする。
  ＥＦ、ＧＨは
  　Ａで交わり、
  　ＥＦはＢＣに平行であるから、
  　命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  により
  　ＧＨはＢＣと交わる。 これは、
  　背理法の仮定に矛盾する。
  よって
  　命題１ー３１の補足(与点を通る平行線は唯一)
  が成立する。
• 命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  と命題１ー３１の補足(与点を通る平行線は唯一)
  は同値である。
• 交わる２線分の
  　それぞれの垂線は交わる。
  　（以下、これを命題１ー３１の補足２(交線の垂線)という。）
  以下のように証明される。
  　
  
  
  線分ＡＢとＢＣが
  　交わっている。
  このとき、
  　背理法の仮定として、
  　もしＤＥとＧＨが交わらないとすれば、
  　線分ＡＢの垂線ＤＥと
  　線分ＢＣの垂線ＧＨは
  　平行となる。
  命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  により
  　ＡＢはＧＨと交わり、
  　命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）
  により
  　ＡＢはＧＨと垂直となる。
  命題１ー２８（内対角、同側内角と平行）
  により
  　ＡＢとＢＣは平行となる。
  定義１ー２３（平行(線)）
  により
  　ＡＢとＢＣは交わらない。
  これは
  　命題の仮定に矛盾するから、
  　背理法により
  　交わる２線分のそれぞれの垂線は
  　交わる。
  
• 命題１ー３０の補足(交線に平行な線)、
  命題１ー３１の補足(与点を通る平行線は唯一)、
  公準１ー５（平行線公準）
  は同値である。
• 命題1-31補は、
  　直線ＢＣ、
  　点Ａ[ＢＣ外]
  に対して、
  　直線ＥＦ(Ａ,ＥＦ‖ＢＣ);唯一
  のことである。
• 命題1-31は、
  　直線ＢＣ、
  　点Ａ[ＢＣ外]
  に対して、
  　点Ｄ[ＢＣ]、
  　点Ｅ[∠ＤＡＥ＝∠ＡＤＣ,ＡＤについてＣと反対側]、
  　点Ｆ[延長ＥＡ]、
  　直線(Ｅ,Ｆ)
  をとれば、
  　ＥＦ‖ＢＣ
  のことである。
• 命題１ー３１の補足２(交線の垂線)

  前提	作図	推論
  定義		1-23
  公準
  公理
  命題		1-28 , 1-29 , 1-30補
  その他		背理法

• 命題1-31補(与点を通る平行線は唯一)については推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		1-30補
  その他		背理法

• 命題1-31は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準	1-1、1-1補、1-2
  公理
  命題	1-23	1-27
  その他

  
  

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