ユークリッド原論をどう読むか（５）
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ユークリッド原論
第２巻
命題２ー１（任意個分割との矩形）
（作図.矩形）
もし２線分があり、
その一方が
任意個の部分に分けられるならば、
２線分にかこまれた矩形は、
分けられていない線分と
分けられた部分の
おのおのとにかこまれた
矩形の和に等しい。
Ａ、ＢＣを２線分とし、
ＢＣが
点Ｄ、Ｅにおいて
任意に分けられたとせよ。
Ａ、ＢＣにかこまれた矩形は
Ａ、ＢＤにかこまれた矩形と
矩形Ａ、ＤＥおよび矩形Ａ、ＥＣとの和に
等しいと主張する。
Ｂから
ＢＣに直角にＢＦがひかれ、
ＢＧが
Ａに等しくされ、
- 命題１−３（作図・等しい線分を切り取る）による。
-
ＢＧ＝Ａとなっている。
Ｇを通り
ＢＦに直角にＧＨがひかれ、
Ｄ、Ｅ、Ｃを通り
ＢＧに平行にＤＩ、ＥＪ、ＣＨがひかれたとせよ。
[･･････(ａ)]
そうすれば
[矩形]ＢＨは
ＢＩ、ＤＪ、ＥＨの和に等しい。
- 公理１−７（等しい）による。
-
rec(ＢＨ)
＝rec(ＢＩ)＋rec(ＤＪ)＋rec(ＥＨ)
[･･････（１）]
（以下、rec( )は矩形を示す。）
そして
ＢＨは
矩形Ａ、ＢＣ［Ａ、ＢＣにかこまれた矩形］である。
なぜなら
ＧＢ、ＢＣにかこまれ、
ＢＧはＡに等しいから。
-
「なぜなら・・・であるから」については、
コメント２（命題１ー１６）(なぜなら…であるから)を参照のこと。
- 定義２ー１（かこまれる）による。
- ＢＨは矩形Ａ、ＢＣ「である」
として、
「等しい」ではないことに
注目すること。
これが定義に基づいた表現である。
-
rec(ＢＨ)＝rec(Ａ、ＢＣ)
[･･････(２)]
また
ＢＩは
矩形Ａ、ＢＤである。
なぜなら
ＧＢ、ＢＤにかこまれ、
ＢＧはＡに等しいから。
-
「なぜなら・・・であるから」については、
コメント２（命題１ー１６）(なぜなら…であるから)を参照のこと。
- 定義２ー１（かこまれる）による。
- rec(ＢＩ)＝rec(Ａ、ＢＤ)
[･･････(３)]
そして
ＤＪは
矩形Ａ、ＤＥである。
なぜなら
ＤＩ、すなわちＢＧは
Ａに等しいから。
-
「なぜなら・・・であるから」については、
コメント２（命題１ー１６）(なぜなら…であるから)を参照のこと。
- 定義２ー１による。
-
rec(ＤＪ)＝rec(Ａ、ＤＥ)
[･･････(４)]
同様にしてまた
ＥＨは
矩形Ａ、ＥＣである。
- 定義２ー１（かこまれる）による。
-
rec(ＥＨ)＝rec(Ａ、ＥＣ)
[･･････(５)]
それゆえ
矩形Ａ、ＢＣは
矩形Ａ、ＢＤ、矩形Ａ、ＤＥ、矩形Ａ、ＥＣの和に
等しい。
よってもし
２線分があり、
その一方が
任意個の部分に分けられるならば、
２線分にかこまれた矩形は、
分けられていない線分と
分けられた部分のおのおのとに
かこまれた矩形の和に等しい。
これが証明すべきことであった。
-
本命題の証明の先頭から
（ａ）までにより、
線分Ａ、ＢＣにかこまれた
矩形が作図できる。
(以下、命題２ー１の補足（作図.矩形）という。)
- 表現上は推論用命題であるが、
第２巻においては
命題を
既に証明された第２巻の命題をもとに
証明するという立場に立っていない。
すなわち、
この命題を根拠として
別の命題が証明されるという記述が、
命題２ー９に至ってようやく現れる。
- 命題2-1は、
Ａ、ＢＣ；線分
に対して、
ＢＣ＝ＢＤ、ＤＥ、ＥＣ
ならば、
rec(Ａ、ＢＣ)
＝rec(Ａ、ＢＤ)＋rec(Ａ、ＤＥ)＋rec(Ａ、ＥＣ)
のことである。
-
命題２ー１の補足（作図.矩形）
- 命題2-1は推論用命題である。
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