ユークリッド原論をどう読むか（１４）
頁末 　　 前 　　 次 　 目次

ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー９３（有理線分と第３の余線分の矩形に等しい正方形の辺は第２の中項余線分）
もし
　面積が
　　有理線分と
　　第３の余線分によって
　　　かこまれる
ならば，
　　その面積に等しい
　正方形の辺は
　　第２の中項余線分
　　　である。

• 面積は、
  定義１０ー２の補足２による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 第３の余線分は、
  定義１０�Vー３による。
• かこまれるは、
  定義２ー１による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 辺は、
  定義１ー１９の補足による。
• 第２の中項余線分は、
  定義の補足（命題１０ー７５）による。

　面積ＡＢが
　　有理線分ＡＣと
　　第３の余線分ＡＤによって
　　　かこまれる
とせよ。

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  　命題１０ー８７（作図.第３の余線分）
  　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  による。 　
  
• 　ＡＣ；有理線分、
  　ＡＤ；第３の余線分、
  　矩形ＡＢ(ＡＣ、ＡＤ)
  となっている。

　　面積ＡＢに等しい
　正方形の辺は
　　中項線分の第２の余線分
　　　である
と主張する。

　　ＤＧをＡＤへの付加
とせよ。

• 　命題１０ー８７（作図.第３の余線分）
  による。
• 　ＡＤ；第３の余線分、
  　ＤＧ；ＡＤへの付加
  となっている。

そうすれば
　ＡＧ,ＧＤは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　であり，
　ＡＧ,ＧＤのいずれも
　　　定められた
　　有理線分ＡＣと
　　長さにおいて通約
　　　できず、
　ＡＧ全体の上の正方形は
　　　付加された
　　線分ＤＧ上の正方形より
　　ＡＧと通約できる線分上の正方形だけ
　　　大きい。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　定義１０�Vー３（第３の余線分）
  による。
• 　ＡＧ、ＧＤ；有理線分、
  　ＡＧ∩^^2 ＧＤ、
  　ＡＧ、ＤＧ¬∩指定有理線分ＡＣ
  　正方(_ＡＧ)＝正方(_ＧＤ)＋正方(_Ｘ)
  　　ＡＧ∩Ｘ
  となっている。

そこで
　ＡＧ上の正方形は、
　　上の正方形より
　　ＡＧと通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい

• 　前節による。

から，
もし
　　ＤＧ上の正方形の４分の１に
　　　等しくて
　　正方形だけ
　　　欠けている
　矩形が
　　ＡＧ上に
　　　つくられる
ならば，
　　それを通約
　　　できる
　　二つの部分に
　　　分けるであろう。

• 　前節、
  　命題１０ー１７（上の正方形の差が大と通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は通約）
  による。

そこで
　ＤＧが
　　Ｅで２等分
　　　された
とし，
　　ＥＧ上の正方形に
　　　等しくて
　　正方形だけ
　　　欠けている
　矩形が
　　ＡＧ上に
　　　つくられた
とし，
　　それを
　　矩形ＡＦ、ＦＧ
とせよ。
　　　　　　　[......(２)]

• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  　命題６ー２８（作図.線分の平行四辺形分割（コ））
  による。
• 　中点Ｅ(ＤＧ)、
  　Ｆ(ＡＧ；矩形(ＡＦ、ＦＧ)＝正方(_ＥＧ))
  となっている。

　　点Ε, Ｆ,Ｇを
　　　通り
　　ＡＣに平行に
　ＥＨ、ＦＩ、ＧＫが
　　　ひかれた
とせよ。
　　　　　[......(５)]

• 　命題１ー３１（作図・平行線）
  による。
• 　ＡＣ//ＥＨ//ＦＩ//ＧＫ
  となっている。

そうすれば
　ＡＦ、ＦＧは
　　通約
　　　できる。
　　　　　　[......(３)]

• 　前々節による。
• 　ＡＦ∩ＦＧ
  となっている。

ゆえに
　ＡＩも
　　ＦＫと通約
　　　できる。
　　　　　　[......(１０)]

• 　前節、
  　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）
  による。
• 　矩形ＡＩ∩矩形ＦＫ
  となっている。

そして
　ＡＦ、ＦＧは
　　長さにおいて通約
　　　できる

• 　前々節による。
• 　ＡＦ∩ＦＧ
  となっている。

から，
　ＡＧも
　　ＡＦ,ＦＧの双方と
　　長さにおいて通約
　　　できる。

• 　前節、
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  による。
• 　ＡＧ∩ＡＦ、ＦＧ
  となっている。

ところが
　ＡＧは
　　有理線分
　　　であり
　　ＡＣと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　（１）による。
• 　ＡＧ；有理線分、
  　ＡＧ¬∩ＡＣ
  となっている。

したがって
　ＡＦ、ＦＧも
　　そうである。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＡＦ、ＦＧ；有理線分、
  　ＡＦ、ＦＧ¬∩ＡＣ
  となっている。

したがって
　ＡＩ、ＦＫの双方は
　　中項面積
　　　である。
　　　　　　[......(９)]

• 　前節、
  　命題１０ー２１（平方のみ通約可の有理線分の矩形と無理面積・無理線分）
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 　矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)、矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)
  　　；中項面積
  となっている。

また
　ＤＥは
　　ＥＧと長さにおいて通約
　　　できる

• 　（２）、
  　定義１０ー１（通約）
  による。
• 　ＤＥ∩ＥＧ
  となっている。

から，
　ＤＧも
　　ＤＥ,ＥＧの双方と
　　長さにおいて通約
　　　できる。
　　　　　　[......(４)]

• 　前節、
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  による。
• 　ＤＧ∩ＤＥ、ＥＧ
  となっている。

ところが
　ＧＤは
　　有理線分
　　　であリ
　　ＡＣと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　（１）による。
• 　ＧＤ；有理線分
  　　；¬∩ＡＣ
  となっている。

したがって
　ＤＥ，ＥＧの双方も
　　有理線分
　　　であり
　　ＡＣと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  による。
• 　ＤＥ、ＥＧ；有理線分
  　　；¬∩ＡＣ
  となっている。

したがって
　ＤＨ、ＥＫは
　　中項面積
　　　である。
　　　　　　[......(１４)]

• 　前節、
  　命題１０ー２１（平方のみ通約可の有理線分の矩形と無理面積・無理線分）
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 　矩形ＤＨ(ＡＣ、ＤＥ)、矩形ＥＫ(ＡＣ、ＥＧ)
  　　；中項面積
  となっている。

そして
　ＡＧ,ＧＤは
　　平方においてのみ通約
　　　できる

• 　（１）による。
• 　ＡＧ∩^^2 ＧＤ
  となっている。

から，
　ＡＧは
　　ＧＤと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節による。
• 　ＡＧ¬∩ＧＤ
  となっている。

ところが
　ＡＧは
　　ＡＦと，
　ＤＧは
　　ＥＧと長さにおいて通約
　　　できる。

• 　（３）、 （４）による。
• 　ＡＧ∩ＡＦ、
  　ＤＧ∩ＥＧ
  となっている。

したがって
　ＡＦは
　　ＥＧと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＡＦ¬∩ＥＧ
  となっている。

そして
　ＡＦが
　　ＥＧに対するように，
　ＡＩが
　　ＥＫに
　　　対する。
　　　　　　[......(６)]

• 　（５）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＡＦ：ＥＧ＝矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)：矩形ＥＫ(ＡＣ、ＥＫ)
  となっている。

したがって
　ＡＩは
　　ＥＫと通約
　　　できない。
　　　　　　[......(１１)]

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　矩形ＡＩ¬∩矩形ＥＫ
  となっている。

そこで
　　ＡＩに
　　　等しい
　正方形ＬＭが
　　　つくられた
とし，
　　ＦＫに
　　　等しくて
　　ＬＭと同じ角を
　　　はさむ
　ＮＯが
　　　ひかれた
とせよ。
　　　　　　　　[......(８)]

• 　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　正方ＬＭ(_ＬＰ)＝矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)
  をつくり、
  また、
  　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　Ｎ（ＬＰ；正方ＮＯ(_ＮＰ)＝矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)）
  をとる。
• 　正方ＬＭ(_ＬＰ)＝矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)、
  　Ｎ（ＬＰ；正方ＮＯ(_ＮＰ)＝矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)）
  となっている。

そうすれば
　ＬＭ,ＮＯは
　　同じ対角線を
　　　はさんでいる。
　　ＰＲを
　　それらの対角線と
　　　し，
　作図が
　　　なされた
とせよ。
　　　　　　[......(７)]

• 　前節、
  　命題１ー４３の補足２(作図.対角線をはさむ平行四辺形)
  による。
• 　対角線ＰＲ(正方ＬＭ(_ＬＰ)；)
  　ＳＱ//ＬＰ、
  　ＮＴ//ＬＲ
  となっている。

そうすれば
　矩形ＡＦ,ＦＧは
　　ＥＧ上の正方形に
　　　等しい

• 　（２）による。
• 　矩形(ＡＦ、ＦＧ)＝正方(_ＥＧ)
  となっている。

から，
　ＡＦが
　　ＥＧに対するように，
　ＥＧが
　　ＦＧに対する。

• 　前節、
  　命題６ー１４（等積で等角な平行四辺形と逆比例）
  による。
• 　ＡＦ：ＥＧ＝ＥＧ：ＦＧ
  となっている。

ところが
　ＡＦが
　　ＥＧに対するように，
　ＡＩが
　　ＥＫに
　　　対する。

• 　（６）による。
• 　ＡＦ：ＥＧ＝矩形ＡＩ：矩形ＥＫ
  となっている。

そして
　ＥＧが
　　ＦＧに対するように，
　ＥＫが
　　ＦＫに
　　　対する。

• 　（５）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＥＧ：ＦＧ＝矩形ＥＫ(ＡＣ、ＥＧ)：矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)
  となっている。

したがって
　ＡＩが
　　ＥＫに対するように，
　ＥＫが
　　ＦＫに
　　　対する。

• 　前節、前々節、前々々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　矩形ＡＩ：矩形ＥＫ＝矩形ＥＫ：矩形ＦＫ
  となっている。

ゆえに
　ＥＫは
　　ＡＩ, ＦＫの比例中項
　　　である。

• 　前節、
  　定義の補足３（命題６ー８）(比例中項)
  による。
• 　矩形ＥＫ＝比例中項(矩形ＡＩ、矩形ＦＫ)
  となっている。

ところが
　ＭＮも
　　正方形ＬＭ、ＮＯの比例中項
　　　である。

• 　（７）、
  　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）
  による。
• 　ＭＮ＝比例中項(正方ＬＭ、正方ＮＯ)
  となっている。

そして
　ＡＩは
　　ＬＭに，
　ＦＫは
　　ＮＯに
　　　等しい。

• 　（８）による。
• 　矩形ＡＩ＝正方ＬＭ、
  　矩形ＦＫ＝正方ＮＯ
  となっている。

したがって
　ＥＫは
　　ＭＮに
　　　等しい。
　　　　　　[......(１２)]

• 　前節、前々節、前々々節
  　命題６ー１７の補足２(等しいものの比例中項は等しい)
  による。
• 　矩形ＭＮ＝矩形ＥＫ
  となっている。

ところが
　ＭＮは
　　ＬＯに，
　ＥＫは
　　ＤＨに
　　　等しい。
　　　　　　[......(１５)]

• 　（２） （７）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  　命題１−４３（平行四辺形の補形）
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　矩形ＭＮ＝矩形ＬＯ、
  　矩形ＥＫ＝矩形ＤＨ
  となっている。

ゆえに
　ＤＫ全体は
　　グノーモーンＵＶＷと
　　ＮＯの和に
　　　等しい。

• 　前節、前々節
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　ＤＫ＝グＵＶＷ＋正方ＮＯ
  となっている。

ところが
　ＡＫも
　　ＬＭ、ＮＯの和に
　　　等しい。

• 　（８）
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　矩形ＡＫ＝正方ＬＭ＋正方ＮＯ
  となっている。

したがって
　残りのＡＢは
　　ＳＴに，
　　すなわち
　　ＬＮ上の正方形に
　　　等しい。
　　　　　　[......(１６)]

• 　前節、前々節、 （７）
  　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
• 　矩形ＡＢ＝正方ＴＳ(_ＬＮ)
  となっている。

それゆえ
　ＬＮは
　　面積ＡＢに
　　　等しい
　　正方形の辺
である。

• 　前節による。
• 　ＬＮ＝辺.正方(；＝矩形ＡＢ)
  となっている。

　ＬＮは
　　第２の中項余線分
　　　である
と主張する。

　ＡＩ,ＦＫは
　　中項面積
　　　である
　ことが
　　　先に証明され，
　それぞれ
　　ＬＰ,ＰＮ上の正方形に
　　　等しい

• 　（８） （９）による。
• 　 　矩形ＡＩ＝正方(_ＬＰ)、；中項面積
  　矩形ＦＫ＝正方(_ＰＮ)、；中項面積
  となっている。

から，
　ＬＰ,ＰＮ上の正方形の双方も
　　中項面積
　　　である。

• 　前節、
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　正方(_ＬＰ)、正方(_ＰＮ)；中項面積
  となっている。

したがって
　ＬＰ,ＰＮの双方は
　　中項線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー２１）（中項線分）
  による。
• 　ＬＰ、ＰＮ；中項面積
  となっている。

そして
　ＡＩは
　　ＦＫと通約
　　　できる

• 　（１０）による。
• 　矩形ＡＩ∩矩形ＦＫ
  となっている。

から，
　ＬＰ上の正方形も
　　ＰＮ上の正方形と通約
　　　できる。
　　　　　　[......(１３)]

• 　（８）、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
• 　正方(_ＬＰ)∩正方(_ＰＮ)
  となっている。

また
　ＡＩは
　　ＥＫと通約
　　　できない
　ことが
　　証明された

• 　（１１）による。
• 　矩形ＡＩ¬∩矩形ＥＫ
  となっている。

から，
　ＬＭも
　　ＭＮと，
　すなわち
　ＬＰ上の正方形は
　　矩形ＬＰ,ＰＮと通約
　　　できない。

• 　前節、 （７） （８） （１２）、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　正方ＬＭ(_ＬＰ)¬∩矩形(ＬＰ、ＰＮ)
  となっている。

したがって
　ＬＰも
　　ＰＮと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、
  　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＬＰ¬∩ＰＮ
  となっている。

ゆえに
　ＬＰ、ＰＮは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　中項線分
　　　である。

• 　前節、 （１３）による。
• 　ＬＰ∩^^2 ＰＮ
  となっている。

次に
　　中項面積を
　　　かこむ
　ことも
　　　主張する。
　ＥＫは
　　中項面積
　　　であることが
　　　先に証明され，
　　矩形ＬＰ,ＰＮに
　　　等しい
から，
　矩形ＬＰ,ＰＮも
　　中項面積
　　　である。

• 　（１２） （１４） （１５）、
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　矩形(ＬＰ、ＰＮ)；中項面積
  となっている。

したがって
　ＬＰ,ＰＮは
　　平方においてのみ通約
　　　でき，
　　中項面積を
　　　かこむ
　　中項線分
　　　である。

• 　前節、前々節による。
• 　ＬＰ∩^^2 ＰＮ、
  　矩形(ＬＰ、ＰＮ)；中項面積
  となっている。

ゆえに
　ＬＮは
　　第２の中項余線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー７５）(第２の中項余線分)
  による。
• 　ＬＮ；第２の中項余線分
  となっている。

そして
　　面積ＡＢに
　　　等しい
　　正方形の辺
　　　である。

• 　（１６）による。
• 　ＬＮ；辺.正方(；＝矩形ＡＢ)
  となっている。

よって
　　面積ＡＢに
　　　等しい
　正方形の辺は
　　第２の中項余線分
　　　である。

• 　前節、前々節による。
• 　辺.正方(；＝矩形ＡＢ)；第２の中項余線分
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー９３は、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  　命題１０ー８７（作図.第３の余線分）
  　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  により、
  　ＡＣ；有理線分、
  　ＡＤ；第３の余線分、
  　ＤＧ；ＡＤへの付加
  　矩形ＡＢ(ＡＣ、ＡＤ)
  をとると、
  　ＡＧ；有理線分、¬∩ＤＧ；有理線分
  となり、
  　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  　命題６ー２８（作図.線分の平行四辺形分割（コ））
  により、
  　中点Ｅ(ＤＧ)、
  　Ｆ(ＡＧ；矩形(ＡＦ、ＦＧ)＝正方(_ＥＧ))
  をとると、
  　ＦＧ∩ＧＤ
  となり、
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  により、
  　ＡＣ//ＥＨ//ＦＩ//ＧＫ
  をとると、
  　矩形ＡＩ∩矩形ＦＫ；中項面積
  　矩形ＤＨ＝矩形ＥＫ；中項面積
  となり、
  　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　正方ＬＭ(_ＬＰ)＝矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)
  　Ｎ（ＬＰ；正方ＮＯ(_ＮＰ)＝矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)）
  をとり、
  　命題１ー４３の補足２(作図.対角線をはさむ平行四辺形)
  により、
  　対角線ＰＲ(正方ＬＭ(_ＬＰ)；)
  　ＳＱ//ＬＰ、
  　ＮＴ//ＬＲ
  をとると、
  　矩形ＡＩ＝正方ＬＭ、
  　矩形ＦＫ＝正方ＮＯ
  　矩形ＡＢ＝正方ＴＳ(_ＬＮ)
  　辺ＬＮ.正方(；＝矩形ＡＢ)；第２の中項余線分
  のことである。
  
• 命題１０ー９３は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義	補3(題6-8),10-1,補(題10-21),補2(題10-23),補(題10-75),10�V-3
  公準
  公理		1-2,1-3
  命題	1-10,1-31,1-43補2,2-1補,6-17補,6-28,補2(義10-3),10-87	1-43,5-11,6-1,6-14,6-17補2,10-11,10-12,10-13,10-15,10-17,10-21,10-22助,10-23系
  その他

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭