ユークリッド原論をどう読むか（１４）
頁末
前
次
目次
ユークリッド原論
第１０巻
命題１０ー７４（中項線分から平方のみ通約で有理面積をかこむ中項線分を引くと第１の中項余線分）
第１の中項余線分
もし
中項線分から
全体と
平方においてのみ通約
でき、
全体とともに有理面積を
かこむ
中項線分が
ひかれる
ならば、
残りは
無理線分である。
そして
第１の中項余線分
とよぱれる。
中項線分ＡＢから
中項線分ＢＣが
ひかれ、
ＢＣは
ＡＢと平方においてのみ通約
でき、
ＡＢと共に
有理面積である矩形ＡＢ、ＢＣを
つくる
とせよ。
-
命題１０ー２７（作図.２中項線分;矩形が有理面積、平方でのみ通約）
により、
２中項線分を
とり、
大きい方を
ＡＢ、
小さい方を
ＢＣ
とする。
命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
により、
Ｃ’(ＡＢ;ＢＣ’＝ＢＣ)をとり、
改めて、
Ｃ’を
Ｃ
とする。
-
ＡＢ、ＢＣ；中項線分、
ＡＢ∩^^2 ＢＣ
矩形(ＡＢ、ＢＣ)；有理面積
となっている。
残りのＡＣは
無理線分
である
と主張する。
そして
第１の中項余線分
とよばれる。
ＡＢ、ＢＣは
中項線分
である
から、
ＡＢ、ＢＣ上の正方形の和も
中項面積
である。
ところが
矩形ＡＢ、ＢＣの２倍は
有理面積
である。
したがって
ＡＢ、ＢＣ上の正方形の和は
矩形ＡＢ、ＢＣの２倍と
通約できない。
-
前節、前々節、
命題１０ー２３の補足６(有理面積と中項面積は非通約)
による。
-
正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)¬∩２矩形(ＡＢ、ＢＣ)
となっている。
それゆえ
矩形ＡＢ、ＢＣの２倍は
残りのＡＣ上の正方形と
通約できない。
なぜなら
もし
二つの量が
加えられた
とき、
全体が
それらの一方と
通約できな
ければ、
最初の２量も
相互に
通約できないであろう
から。
-
前節、
命題２ー７（差の平方）
による。
-
「なぜなら・・・であるから(for)」と
簡潔な論拠を後から示している。
後世の解説者のコメントが
混入したものと思われる。
コメント２（命題１ー１６）、
コメント（命題１ー４）
を参照のこと。
-
２矩形(ＡＢ、ＢＣ)¬∩正方(_ＡＣ)
となっている。
ところが
矩形ＡＢ、ＢＣの２倍は
有理面積
である。
-
命題の設定による。
-
２矩形(ＡＢ、ＢＣ)；有理面積
となっている。
したがって
ＡＣ上の正方形は
無理面積
である。
-
前節、
定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
による。
-
正方(_ＡＣ)；無理面積
となっている。
よって
ＡＣは
無理線分
である。
-
前節、
定義１０ー４（面積の有理、無理、無理線分）
による。
-
ＡＣ；無理線分
となっている。
そして
第１の中項余線分
とよぱれる。
- 命題１０ー７４は、
命題１０ー２７（作図.２中項線分;矩形が有理面積、平方でのみ通約）
により、
２中項線分を
とり、
大きい方を
ＡＢ、
小さい方を
ＢＣ
命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
により、
ＡＣからＢＣを引くと、
ＡＣは
第１の中項余線分
とよばれる
無理線分
のことである。
- 命題１０ー７４は推論用命題である。
前
次
目次
頁頭