ユークリッド原論をどう読むか（１０）
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ユークリッド原論

第６巻

命題６ー２８（作図.線分の平行四辺形分割（コ））
線分の平行四辺形分割（コ）
与えられた線分上に
　与えられた直線図形に等しく、
　与えられた平行四辺形に
　相似な平行四辺形だけ欠いている
　平行四辺形をつくること。
ただし
　与えられた直線図形は
　与えられた線分の半分の上に描かれ
　かつ
　欠けている部分に
　相似な平行四辺形より大きくてはならない。

• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１） による。
• 直線図形は、
  定義１ー１９ による。
• 等しくは、
  公理１ー７ による。
• >平行四辺形は、
  定義１ー２２の補足２ による。
• 相似は、
  定義６ー１ による。
• 半分は、
  定義の補足（公理１ー６） による。
• 大きくは、
  公理１ー８ による。
• 　与えられた線分上に
  　与えられた図形に等しく、
  　与えられた平行四辺形に
  　相似な平行四辺形だけ欠いている
  　平行四辺形をつくること
  を、線分の平行四辺形分割という。 (以下、コメントでの定義（命題６ー２８） (線分の平行四辺形分割（コ）)という。)
  　この定義は、
  　コメントを簡潔に記述する
  ためにだけ用いる。
  　原論の本文には登場しない。
  
  

与えられた線分をＡＢとし、
　Ｃを
　ＡＢ上に
　それと等しい平行四辺形を描かねばならない
　与えられた直線図形とせよ。
ただし
　 Ｃは、
　ＡＢの半分の上に描かれ、
　かつ
　欠けている部分に相似な平行四辺形より大きくはない。
そして
　Ｄを
　欠けている部分が
　それに相似でなければならない
　平行四辺形とせよ。

• 　線分ＡＢ、直線図形Ｃ、平行四辺形Ｄ
  に対して、
  　中点Ｅ(ＡＢ)、
  　平行四辺形ＥＦ[∽Ｄ,_ＥＢ]
  　　;＞＝Ｃ
  をとっている。

このとき
　与えられた線分ＡＢ上に
　与えられた直線図形Ｃに等しく、
　Ｄに相似な平行四辺形だけ欠けている、
　平行四辺形をつくらねばならぬ。
　
ＡＢが
　点Ｅにおいて２等分され、
　　　　　　【・・・(a)】

• 命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  による。
• 　Ｅ;中点(ＡＢ)
  となっている。

　ＥＢ上に
　Ｄに相似でかつ相似な位置にある
　ＥＢＦＧが描かれたとし、
　　　　　　【・・・(b)】

• 命題６ー１８（作図.線分上に相似な直線図形）
  による。
• 　平四ＥＢＦＧ;平四ＥＦ
  となっている。

　平行四辺形ＡＧが完結されたとせよ。

• 「［平行四辺形の］完結」については、コメント２（命題６ー１４）参照のこと。
• 　平四ＡＧ(ＡＥ,ＥＧ)
  をとっている。

そうすればもし
　ＡＧがＣに等しければ、
　命じられたことはなされているであろう。

• ＡＧがＣに等しい場合と、
  　等しくない場合に分けている。
  

なぜなら
　与えられた線分ＡＢ上に
　与えられた直線図形Ｃに等しく、
　Ｄに相似な平行四辺形ＧＢだけ欠けている、
　平行四辺形ＡＧがつくられたから。

• 「なぜなら・・・であるから」は、
  　コメント２（命題１ー１６）参照のこと。

ところがもし
　そうでなければ、

• ＡＧが
  　Ｃに等しくない場合である。
  

　ＨＥがＣより大きいとせよ。

• 命題の設定 により、
  　可能である。
• 　平四ＨＥ＞直線図形Ｃ
  となっている。

ところが
　ＨＥはＧＢに等しい。

• 作図の設定、
  命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　平四ＨＥ＝平四ＧＢ
  となっている。

それゆえ
　ＧＢはＣより大きい。

• 公理１ー８の補足２（等より大・小、大・小に等）
  による。
  したがって、
  　ＨＥがＣより大きいとすることが
  　可能になる。
• 　平四ＧＢ＞直線図形Ｃ
  となっている。

ＧＢからＣを減じた差に等しく、
　Ｄに相似でかつ相似な位置にある、
　１つの図形ＫＬＭＮがつくられたとせよ。
　　　　　　【・・・(Ｃ)】

• 命題１ー４５の補足２(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
  により
  　平四ＥＢＸＹ((等角)平四ＥＢＦＧ,_ＥＢ
  　　;;∠ＹＥＢ＝∠ＧＥＢ,＝直線図形Ｃ)
  をとると、
  　平四ＸＹＦＧ＝平四ＧＢー直線図形Ｃ
  となっている。
  命題６ー２５（作図.直線図形に等しく別の直線図形に相似）
  により
  　平四ＫＬＭＮ[∽平四Ｄ
  　　;;＝平四ＸＹＦＧ]
  をとっている。
• 　平四ＫＬＭＮ;∽平四Ｄ,＝平四ＧＢー直線図形Ｃ
  となっている。

ところが
　ＤはＧＢに相似である。

• (b) による。
• 　平四Ｄ∽平四ＧＢ
  となっている。

ゆえに
　ＫＭもＧＢに相似である。

• 命題６ー２１（同じ直線図形に相似な図形）
  による。
• 　平四ＫＭ∽平四ＧＢ
  となっている。

そこで
　ＫＬがＧＥに、
　ＬＭがＧＦに
　対応するとせよ。

• 推論の設定である。
• 　ＫＬ：ＧＥ＝ＬＭ：ＧＦ
  となっている。

そして
　ＧＢはＣ、ＫＭの和に等しいから、

• (c)による。
• 　平四ＧＢ＝直線図形Ｃ＋平四ＫＭ
  となっている。

　ＧＢはＫＭより大きい。

• 公理１ー８（大きい）
  による。
• 　平四ＧＥ＞平四ＫＭ
  となっている。

したがって
　ＧＥもＫＬより、
　ＧＦもＬＭより大きい。

• 命題６ー２０（相似多角形の相似三角形分解と２乗の比）
  により、
  　ＧＢはＫＭに対し、
  　ＧＥがＫＬに対する比の
  　２乗の比をもつ。
  命題６ー１１（作図.比例第３項）
  により
  　ＧＥ、ＫＬに対し
  　第３の比例項Ｋ’Ｌ’を見いだすと、
  　ＧＢはＫＭに対するように、
  　ＧＥがＫ’Ｌ’に対する。
  定義５ー５（同じ比）
  により
  　ＧＢがＫＭより大きいから、
  　ＧＥはＫ’Ｌ’より大きい。
  命題６ー２２の補足（３項比例の１,２項と１,３項の大等小）
  により
  　ＧＥはＫＬより大きい。
  同様にして、
  　ＧＭもＬＦより大きい。
  
• 　ＧＥ＞ＫＬ、
  　ＧＭ＞ＬＦ
  となっている。

ＧＯがＫＬに、
　ＧＰがＬＭに等しくされ、

• 命題１ー３の補足（３項比例の１,２項と１,３項の大等小）
  による。
• 　点Ｏ(ＧＥ;;ＧＯ＝ＫＬ)、
  　点Ｐ(ＧＦ;;ＧＰ＝ＬＭ)
  をとっている。

　そして
　平行四辺形ＯＧＰＱが完結されたとせよ。

• 「［平行四辺形の］完結」は、
  　コメント２（命題６ー１４）参照のこと。
• 　平四ＯＧＰＱ(ＧＯ,ＧＱ)
  をとっている。

そうすれば
　 ＯＧＰＱはＫＭに等しく相似である。 【・・・(1)】

• 命題１ー３４（平行四辺形の対辺・対角・対角線） 、
  定義６ー１（相似）
  により、
  　相似である。
  また、
  　命題６ー２０（相似多角形の相似三角形分解と２乗の比）
  により、
  　等しい。
  
• 　平四ＯＧＰＱ;＝平四ＫＭ、∽平四ＫＭ
  となっている。
  今日的にいえば、
  　平四ＯＧＰＱ;≡平四ＫＭ
  となっている。

ゆえに
　ＧＱもＧＢに相似である。

• 命題６ー２１（同じ直線図形に相似な図形）
  による。
• 　平四ＧＱ∽平四ＧＢ
  となっている。

したがって
　ＧＱはＧＢと同じ対角線をはさんでいる。

• 命題６ー２４（対角線をはさむ平行四辺形と相似）
  による。
• 　対角線ＧＱ.平四ＧＱ;上.対角線ＧＢ.平四ＧＢ
  となっている。

ＧＱＢをそれらの対角線とし、
　そして作図がなされたとせよ。

• 公準１ー２（作図.直線の延長）
  により
  　ＰＱを延長すると
  　命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  により、
  　ＡＢと交わり、
  　その交点をＳとする。
  同様にして
  　ＱＯを延長すると、
  　ＡＨ、ＢＦとそれぞれ交わり、
  　その交点をＴ、Ｒとする。
  
• 　交点Ｓ(延長ＰＱ,ＡＢ)、
  　交点Ｔ(延長ＱＯ,ＡＨ)、
  　交点Ｒ(延長ＯＱ,ＢＦ)
  をとっている。

そうすれば
　ＢＧはＣ、ＫＭの和に等しく、

• (c) による。
• 　平四ＢＧ＝直線図形Ｃ＋平四ＫＭ
  となっている。

　そのうち
　ＧＱはＫＭに等しいから、

• (1) による。
• 　平四ＧＱ＝平四ＫＭ
  となっている。

　 残りのグノーモーンＵＶＷは
　残りのＣに等しい。 【・・・(2)】

• 公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
• 　グノーモンーンＵＶＷ＝直線図形Ｃ
  となっている。

そして
　ＰＲはＯＳに等しいから、

• 命題１−４３（平行四辺形の補形）
  による。
• 　平四ＰＲ＝平四ＯＳ
  となっている。

　双方にＱＢが加えられたとせよ。
そうすれば
　ＰＢ全体はＯＢ全体に等しい。

• 公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　平四ＰＢ＝平四ＯＢ
  となっている。

ところが
　辺ＡＥは辺ＥＢに等しいから、

• (a) による。
• 　ＡＥ＝ＥＢ
  となっている。

　ＯＢはＴＥに等しい。

• 命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　平四ＯＢ＝平四ＴＥ
  となっている。

ゆえに
　ＴＥもＰＢに等しい。

• 公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　平四ＴＥ＝平四ＰＢ
  となっている。

双方にＯＳが加えられたとせよ。
そうすれば
　ＴＳ全体はグノーモーンＷＶＵ全体に等しい。

• 公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　平四ＴＳ＝グノーモーンＷＶＵ
  となっている。

ところが
　グノーモーンＷＶＵはＣに等しい
　ことが証明された。

• (2) による。
• 　グノーモーンＷＶＵ＝直線図形Ｃ
  となっている。

ゆえに
　ＴＳもＣに等しい。

• 公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　平四ＴＳ＝直線図形Ｃ
  となっている。

よって
　与えられた線分ＡＢ上に
　与えられた直線図形Ｃに等しく、
　Ｄに相似な平行四辺形ＱＢだけ欠けている、
　平行四辺形ＳＴが描かれた。
これが作図すべきことであった。

• 命題６ー２８は、
  　線分ＡＢ、直線図形Ｃ、平行四辺形Ｄ
  に対して、
  　中点Ｅ(ＡＢ)、
  　平四ＥＢＦＧ[∽Ｄ,_ＥＢ]
  　　;＞＝Ｃ、
  　平四ＡＧ(ＡＥ,ＥＧ)、
  　平四ＥＢＸＹ((等角)平四ＥＢＦＧ,_ＥＢ
  　　;;Ｙ;上.ＥＧ
  　　　,∠ＹＥＢ＝∠ＧＥＢ,＝直線図形Ｃ)、
  をとると、
  　平四ＸＹＦＧ＝平四ＧＢー直線図形Ｃ
  となり、
  　平四ＫＬＭＮ[∽平四Ｄ
  　　;;＝平四ＸＹＦＧ]、
  　点Ｏ(ＧＥ;;ＧＯ＝ＫＬ)、
  　点Ｐ(ＧＦ;;ＧＰ＝ＬＭ)、
  　平四ＯＧＰＱ(ＧＯ,ＧＱ)、
  　交点Ｓ(延長ＰＱ,ＡＢ)、
  　交点Ｔ(延長ＱＯ,ＡＨ)、
  　交点Ｒ(延長ＯＱ,ＢＦ)、
  をとれば、
  　平四ＡＳＱＴ＝直線図形Ｃ、
  　平四ＳＢＲＱ∽平四Ｄ
  のことである。
• 命題６ー２８は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		5-5,6-1
  公準	1-2
  公理		1-1,1-2,1-3,1-8,1-8補2
  命題	1-3補,1-10,1-30補,1-45補2,6-11,6-18,6-25	1-34,1-43,6-1,6-20,6-21,6-22補,6-24
  その他	コ2(題6-14)	コ2(題1-16)

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