ユークリッド原論をどう読むか（４）
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ユークリッド原論
第１巻
命題１−４３（平行四辺形の補形）
対角線をはさむ平行四辺形・補形
（作図.対角線をはさむ平行四辺形）
すべての平行四辺形において
対角線をはさむ
二つの平行四辺形の補形は
互いに等しい。
- 平行四辺形は、定義の補足（命題１−３４）による。
- 対角線は、定義の補足（命題１−３４）による。
- 対角線をはさむ平行四辺形とは、
対角線の一端と対角線上の１点とを
向かい合う頂点とし
元の平行四辺形の辺と平行な辺でできる
二つの平行四辺形をいう。
これらの平行四辺形は
元の対角線の一部を
対角線としてもつ。
この補形とは
平行四辺形から
これら、対角線をはさむ二つの平行四辺形を
除いて残る
二つの平行四辺形をいう。
（以下、定義の補足（命題１−４３）(対角線をはさむ平行四辺形・補形)という。）
命題１−４４作図.線分,三角形,直線角と平行四辺形）
も参照すること。
- 等しいは、公理１−７による。
ＡＢＣＤを平行四辺形、
ＡＣをその対角線とし、
ＥＨ、ＦＧを
ＡＣはさむ平行四辺形、
ＢＫ、ＫＤを
いわゆる補形とせよ。
-
作図.対角線をはさむ平行四辺形（以下、命題１ー４３の補足２(作図.対角線をはさむ平行四辺形)という。）
は、
次による。
公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
により、
ＡＢ上に点Ｅをとる。
命題１ー３１（作図・平行線）
により、
Ｅを通り
辺ＡＤに平行に直線をひくと、
この直線は、
命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
により
ＡＤがＡＣと交わっているので、
ＡＣと交わり、
その交点をＫとする。
また、
この直線は、
ＡＢがＤＣと平行であるので、
命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
により
ＤＣと交わり、
その交点をＦとする。
次に
命題１ー３１（作図・平行線）
により、
Ｋを通り
辺ＡＢに平行に直線をひくと、
この直線は、
ＡＣがＢＣと交わっているので、
命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
により
ＢＣと交わり、
その交点をＧとする。
また、
この直線は、
ＡＣがＡＤと交わっているので、
命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
により
ＡＤと交わり、
その交点をＨとする。
-
平行四辺形ＡＢＣＤ
に対して、
点Ｅ[ＡＢ]、
交点Ｋ(ＡＣ,平行線(Ｅ,ＡＤ))、
交点Ｆ(ＤＣ,平行線(Ｅ,ＡＤ))、
交点Ｇ(ＢＣ,平行線(Ｋ,ＡＢ))、
交点Ｈ(ＡＤ,平行線(Ｋ,ＡＢ))、
をとっている。
補形ＢＫは補形ＫＤに等しい
と主張する。
ＡＢＣＤは平行四辺形であり、
ＡＣはその対角線であるから、
三角形ＡＢＣは三角形ＡＣＤに等しい。
【・・・(1)】
- 命題１−３４（平行四辺形の対辺・対角・対角線）
による。
-
△ＡＢＣ＝△ＡＣＤ
となっている。
また
ＥＨは平行四辺形であり、
ＡＫはその対角線であるから、
三角形ＡＥＫは三角形ＡＨＫに等しい。
同じ理由で
三角形ＫＦＣもＫＧＣに等しい。
そこで
三角形ＡＥＫは三角形ＡＨＫに、
ＫＦＣはＫＧＣに
等しいから、
三角形ＡＥＫとＫＧＣの和は
三角形ＡＨＫとＫＦＣの和に等しい。
- 公理１−２（等しいものに等しいものを加える）
による。
-
△ＡＥＫ＋△ＫＧＣ＝△ＡＨＫ＋△ＫＦＣ
となっている。
しかも
三角形ＡＢＣ全体は
三角形ＡＤＣ全体に等しい。
- (1)
命題１−３４（平行四辺形の対辺・対角・対角線）
による。
-
△ＡＢＣ＝△ＡＤＣ
となっている。
それゆえ
残りの補形ＢＫは
残りの補形ＫＤに等しい。
- 公理１−３（等しいものから等しいものをひく）
による。
-
平四(ＢＫ)＝平四(ＫＤ)
となっている。
よって
すべての平行四辺形において
対角線をはさむ
二つの平行四辺形の補形は
互いに等しい。
これが証明すべきことであった。
- この命題では、
平行四辺形を
向かい合う頂点１組だけで
表現している。
- この命題が、
直線図形を
指定された角におさまる
平行四辺形に
等積変形する第二歩のための準備である。
- 命題1-43は、
平行四辺形ＡＢＣＤ
に対して、
点Ｅ[ＡＢ]、
交点Ｋ(ＡＣ,平行線(Ｅ,ＡＤ))、
交点Ｆ(ＤＣ,平行線(Ｅ,ＡＤ))、
交点Ｇ(ＢＣ,平行線(Ｋ,ＡＢ))、
交点Ｈ(ＡＤ,平行線(Ｋ,ＡＢ))、
をとれば、
平四(ＢＫ)＝平四(ＫＤ)
のことである。
-
命題１ー４３の補足２(作図.対角線をはさむ平行四辺形)
- 命題1-43は推論用命題である。
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