ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー２１（平方のみ通約可の有理線分の矩形と無理面積・無理線分）
中項線分

　平方においてのみ通約できる
　有理線分によってかこまれる矩形は
　無理面積であり、
　それに等しい正方形の辺も
　無理線分であり、
　これを中項線分とよぶ。

• 平方においてのみ通約は、
  定義の補足（命題１０ー１９助）による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• かこまれるは、
  定義２ー１による。
• 矩形は、
  定義１ー２２による。
• 無理面積は、
  定義１０ー４の補足による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 辺は、
  定義１ー１９の補足による。
• 無理線分は、
  定義１０ー４による。
  
• 　中項線分は、
  　平方においてのみ通約できる
  　有理線分による矩形に等しい
  　正方形の辺であり、
  したがって、
  　平方においてのみ通約できる
  　有理線分の比における
  　比例中項である。
  したがって、
  　２つの中項線分は、
  　４乗すれば通約できる。
  後に
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  により定義される
  　中項面積となる正方形の一辺である。
  (以下、定義の補足（命題１０ー２１） （中項線分）という。)
  定義による。
  　中項面積は
  　　無理面積、かつ有理面積の比例中項となる面積
  　　　である。
  

　矩形ＡＣが
　平方においてのみ通約できる
　有理線分ＡＢ、ＢＣによって
　かこまれる
とせよ。

• 　実際の作図は、
  以下による。
  　命題の補足２（定義１０ー３） (作図.任意の有理線分)
  により、
  　有理線分ＡＢをとり、
  　命題１０ー１０（作図.長さのみ・平方でも通約できない線分）
  により、
  　ＡＢと平方においてのみ通約できる
  　線分ＢＣをとる。
  　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  により、
  　矩形ＡＢ、ＢＣをつくる。
• 　ＡＢ＝有理線分、
  　ＡＢ∩^^2ＢＣ
  となっている。

　ＡＣは無理面積であり、
　それに等しい正方形の辺も無理線分である
と主張する。

そして
　これを中項線分とよぶ。

　ＡＢ上に正方形ＡＤが描かれた
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　命題１−４６（作図.線分上に正方形）
  による
  
• 　sq(ＡＤ)＝sq(_ＡＢ)
  となっている。

そうすれば
　ＡＤは有理面積である。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　ＡＤ：有理面積
  となっている。
  

そして
　ＡＢは
　ＢＣと長さにおいて通約できない、
なぜなら
　平方においてのみ通約できる
と仮定されている
から。

• 　命題の設定による。
• 　「なぜなら・・・であるから」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  　参照のこと。
• 　ＡＢ∩^^2 ＢＣ
  となっている。

そして
　ＡＢはＢＤに等しい

• 　（ａ）
  　定義１ー２２（正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）
  による。
• 　ＡＢ＝ＢＤ
  となっている。

から、
　ＤＢもＢＣと長さにおいて通約できない。

• 　前節、
  　定義１０ー１（通約）
  により
  　ＡＢとＢＤは
  　長さにおいて通約でき、
  　前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
  
• 　ＤＢ¬∩ＢＣ
  となっている。　

そして
　ＤＢがＢＣに対するように、
　ＡＤがＡＣに対する。

• 　（ａ）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＤＢ：ＢＣ＝sq(ＡＤ)：rec(ＡＣ)
  となっている。

したがって
　ＤＡはＡＣと通約できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　sq(ＤＡ)¬∩rec(ＡＣ)
  となっている。

そして
　ＤＡは有理面積である。

• 　（１）による。
• 　sq(ＤＡ)：有理面積
  となっている。
  

したがって
　ＡＣは無理面積である。

• 　前節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　rec(ＡＣ)：無理面積
  となっている。
  

ゆえに
　ＡＣに等しい正方形の辺は
　無理線分であり、

• 　前節、
  　定義１０ー４（面積の有理、無理、無理線分）
  による。

　それを中項線分とよぶ。

　これが証明すべきことであった。

• 　命題１０ー２１は、
  　Ａ、Ｂ：有理線分、
  　Ａ∩^^2 Ｂ
  ならば、
  　rec(Ａ、Ｂ)：無理面積
  のことである。
  
• 命題１０ー２１は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		1-22,10-1,10-4,10-4補
  公準
  公理
  命題	1-46,2-1補,補2(義10-3),10-10	6-1,10-13
  その他		コ2(題1-16)

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