ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）

もし
　２つの通約できる量が加えられる
ならば、
　全体もそれらの双方と通約できる
であろう。

そして
もし
　全体がそれらの一方と通約できる
ならば、
　最初の２量も通約できる
であろう。

• 通約は、
  定義１０ー１による。
• 量は、
  定義５ー１の補足による。

　２つの通約できる量ＡＢ、ＢＣが加えられた
とせよ。

• 　「量（について）・・・とせよ」は、
  　コメント６（命題５ー１）
  　参照のこと。
  
• 　命題１０ー６の系３ （作図.長さ・平方で通約可の線分)
  により、
  　ＡＢ、ＢＣをとる。

　ＡＣ全体もＡＢ、ＢＣの双方と通約できる
と主張する。

　ＡＢ、ＢＣは通約できる

• 　命題の設定による。
• 　ＡＢ∩ＢＣ
  となっている。

から、
　何らかの量がそれらを割り切る
であろう。

• 　前節、
  　定義１０ー１（通約）
  による。

　割り切る
とし、
　それをＤ
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　Ｄ｜ＡＢ、Ｄ｜ＢＣ
  となっている。

そうすれば
　ＤはＡＢ、ＢＣを割り切る
から、
　ＡＣ全体をも割り切る
であろう。

• 　前節、
  　命題５ー２の補足（倍量の和は倍量
  による。
• 　Ｄ｜ＡＣ
  となっている。

そして
　ＡＢ、ＢＣをも割り切る。

• 　（ａ）による。

したがって
　ＤはＡＢ、ＢＣ、ＡＣを割り切る。

• 　前節、前々節による。
• 　Ｄ｜ＡＢ、Ｄ｜ＢＣ、Ｄ｜ＡＣ
  となっている。

ゆえに
　ＡＣはＡＢ、ＢＣの双方と通約できる。

• 　前節、
  　定義１０ー１（通約）
  による。
  
• 　ＡＣ∩ＡＢ、ＡＣ∩ＢＣ
  となっている。

次に
　ＡＣがＡＢと通約できる
とせよ。

　ＡＢ、ＢＣも通約できる
と主張する。

　ＡＣ、ＡＢは通約できる

• 　命題の設定による。
• 　ＡＣ＝ＡＢ＋ＡＣ、
  　ＡＣ∩ＡＢ
  になっている。

から、
　何らかの量がそれらを割り切る
であろう。

• 　前節、
  　定義１０ー１（通約）
  による。

　割り切る
とし、
　それをＤ
とせよ。
　　　　　　[......(ｂ)]

• 　Ｄ｜ＡＣ、Ｄ｜ＡＢ
  となっている。

そうすれば
　ＤはＣＡ、ＡＢを割り切る

• 　（ｂ）による。

から、
　残りのＢＣをも割り切る
であろう。

• 　前節、
  　命題５ー６の補足（倍量の差は倍量）
  による。
• 　Ｄ｜ＢＣ
  となっている。

そして
　ＡＢをも割り切る。

• 　（ｂ）による。
• 　Ｄ｜ＡＢ
  となっている。

したがって
　ＤはＡＢ、ＢＣを割り切る
であろう。

• 　前節、前々節による。
• 　Ｄ｜ＡＢ、Ｄ｜ＢＣ
  となっている。

それゆえ
　ＡＢ、ＢＣは通約できる。

• 　前節、
  　定義１０ー１（通約）
  による。
  

よって
もし
　２つの［通約できる］量が云々

• 　云々は、
  「加えられる
  ならば、
  　全体もそれらの双方と通約できる
  であろう。
  
  そして
  もし
  　全体がそれらの一方と通約できる
  ならば、
  　最初の２量も通約できる
  であろう。」
  である。

• 命題１０ー１５は、
  　Ａ∩Ｂならば、
  　Ａ十Ｂ∩Ａ、Ａ＋Ｂ∩Ｂ
  　およびその逆
  　Ａ＋Ｂ∩Ａならば、
  　Ａ∩Ｂ
  のことである。
• 命題１０ー１５は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-1
  公準
  公理
  命題	10-6系3	5-2補,5-6補
  その他	コ6(題5-1)

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