ユークリッド原論をどう読むか（９507）
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ユークリッド原論
第５巻
命題５ー７（同一量の比）
（系：比例するなら逆も比例）
２つの等しい量は
同一の量に対し、
また
同一の量は
２つの等しい量に対し
同じ比をもつ。
Ａ、Ｂを等しい２量とし、
Ｃを別の任意の量とせよ。
Ａ、Ｂの双方は
Ｃに対し、
Ｃは
Ａ、Ｂの双方に対し、
同じ比をもつと主張する。
Ａ、Ｂの［任意の］同数倍Ｄ、Ｅと、
Ｃの別の任意の倍量Ｆが
とられたとせよ。【・・・(a)】
そうすれば、
ＤはＡの、
ＥはＢの
同数倍であり、
ＡはＢに等しいから、
ＤもＥに等しい。
【・・・(1)】
ところが
Ｆは別の任意の量である。
それゆえもし
ＤがＦより大きければ、
ＥもＦより大きく、
等しければ、等しく、
小さければ、小さい。【・・・(2)】
- (1),公理１ー１（同じものに等しい）
、
公理１ー８の補足２（等より大・小、大・小に等） という）
による。
-
Ｄ(＜、＝、＞)Ｆ
ならば、
Ｅ(＜、＝、＞)Ｆ
となっている。
そして
Ｄ、ＥはＡ、Ｂの［任意の］同数倍であり、
ＦはＣの別の任意の倍量である。
したがって
ＡがＣに対するように、
ＢがＣに対する。
次に
Ｃは
Ａ、Ｂの双方に対し
同じ比をもつと主張する。
同じ作図がなされたとき、
- 第５巻ではじめて作図の用語が出てきた。
-
量Ａ、Ｃ
に対して、
量Ｂ(;;Ｂ＝Ａ)、
Ｄ＝ｍＡ、
Ｅ＝ｍＢ、
Ｆ＝ｎＣ
をとっている。
同様にして
ＤがＥに等しいことを証明しうる。
- (1)である。
-
Ａ＝Ｂ
により、
Ｄ＝Ｅ＝ｍＡ＝ｍＢ
となっている。
ところが
Ｆは別の量である。
それゆえもし
ＦがＤより大きければ
ＦはＥより大きく、
等しければ、等しく、
小さければ、小さい。【・・・(3)】
- (1),公理１ー１（同じものに等しい）
、
公理１ー８の補足２（等より大・小、大・小に等） という）
による。
-
Ｆ(＜、＝、＞)Ｄ
ならば、
Ｆ(＜、＝、＞)Ｅ
となっている。
そして
ＦはＣの［任意の］倍量であり、
Ｄ、Ｅは
Ａ、Ｂの別の任意の同数倍である。
- (a)による。
-
Ｆ＝ｎＣ、
Ｄ＝ｍＡ、
Ｅ＝ｍＢ
となっている。
ゆえに
ＣがＡに対するように、
ＣがＢに対する。
よって
２つの等しい量は同一の量に対し、
また
同一の量は２つの等しい量に対し
同じ比をもつ。
系
これから次のことが明らかである、
すなわちもし
任意の量が比例するならば、
逆にも比例するであろう。
（以下、命題５ー７の系(比例すれば逆も比例)という。）
- 命題そのものの系というよりは、
Ａ：Ｃ＝Ｂ：Ｃの論証を、
Ｃ：Ａ＝Ｃ：Ｂの論証に
切り替える方法にしたがえば、
論証は明らかであるということである。
これが証明すべきことであった。
- 命題５ー７は、
Ａ＝Ｂ
ならば、
任意のＣ
に対して、
Ａ：Ｃ＝Ｂ：Ｃ、
Ｃ：Ａ＝Ｃ：Ｂ
のことである。
-
命題５ー７の系(比例すれば逆も比例)
論証過程は、
命題５−７と同じである。
- 命題５ー７は推論用命題である。
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