ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
(４項比例で前項通約なら後項通約)
もし
　４つの量が比例し、
　第１が第２と通約できる
ならば、
　第３も第４と通約できる
であろう。

そして
もし
　第１が第２と通約できない
ならば、
　第３も第４と通約できない
であろう。

• 量は、
  定義５ー１の補足による。
• 比例は、
  定義５ー６による。
• 通約は、
  定義１０ー１による。

　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを比例する４つの量
とし、
　ＡがＢに対するように、
　ＣがＤに対する
とし、
　ＡがＢと通約できる
とせよ。

• 　「量（について）・・・とせよ」は、
  　コメント６（命題５ー１）
  　参照のこと。
  
• 　実際の作図は
  　次のようになる。
  
  　公準１ー１の補足２（作図.任意の線分）
  により、
  　任意の線分Ａをとり、
  　命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
  により、
  　Ａ∩Ｂ
  となる線分Ｂをつくる。
  さらに、
  　公準１ー１の補足２（作図.任意の線分）
  により、
  　任意の線分Ｃをとり、
  　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  により、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  となるように、
  　Ｄをとる。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  　Ａ∩Ｂとなっている。
  となっている。
  

　ＣもＤと通約できる
であろうと主張する。

　ＡはＢと通約できる

• 　命題の設定である。

から、
　ＡはＢに対し数が数に対する比をもつ。

• 　前節、
  　命題１０ー５（通約可能なら数：数の比）
  による。
• 　Ａ：Ｂ＝数：数
  となっている。

そして
　ＡがＢに対するように、
　ＣがＤに対する。

• 　命題の設定による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  となっている。

したがって
　ＣはＤに対し、
　数が数に対する比をもつ。

• 　前節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
  
• 　Ｃ：Ｄ＝数：数
  となっている。

ゆえに
　ＣはＤと通約できる。

• 　前節、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  による。
• 　Ｃ∩Ｄ
  となっている。
  

次に
　ＡがＢと通約できない
とせよ。

• 　命題１０ー１０（作図.長さのみ・平方でも通約できない線分）
  により、
  　Ａに対して通約できない線分Ｂ
  をとる。
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  となるＣ、Ｄについては、
  　本命題前半と同じである。
  
• 　Ａ¬∩Ｂ、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  となっている。
  

　ＣもＤと通約できない
であろうと主張する。

なぜなら
　ＡはＢと通約できない
から、

• 　「なぜなら・・・であるから」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  参照のこと。
• 　命題の設定による。
• 　Ａ¬∩Ｂ
  となっている。
  

　ＡはＢに対し、
　数が数に対する比をもたない。

• 　前節、
  　命題１０ー７（非通約量は数：数にならない）
  による。
• 　Ａ：Ｂ≠数：数
  となっている。

そして
　ＡがＢに対するように、
　ＣがＤに対する。

• 　命題の設定による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  となっている。

したがって
　ＣはＤに対し、
　数が数に対する比をもたない。

• 　前節、
  　命題５ー１３の補足４（異なる比に同じ比は異なる）
  による。
• 　Ｃ：Ｄ≠数：数
  となっている

ゆえに
　ＣはＤと通約できない。

• 　前節、
  　定義１０ー１（通約）
  による。
• 　Ｃ¬∩Ｄ
  となっている。
  

よって
もし
　４つの量が云々

• 　云々は、
  　「比例し、
  　第１が第２と通約できる
  ならば、
  　第３も第４と通約できる
  であろう。
  
  そして
  もし
  　第１が第２と通約できない
  ならば、
  　第３も第４と通約できない
  であろう。」
  である。

• 命題１０ー１１は、
  　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを４つの量
  とするとき、
  　Ａ:Ｂ＝Ｃ：ＤでＡ∩Ｂ
  ならば、
  　Ｃ∩Ｄ、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：ＤでＡ¬∩Ｂ
  ならば、
  　Ｃ¬∩Ｄ
  のことである。
• 　本命題と　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）、
  により、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  ならば、
  　Ａ∩Ｃ
  のとき、
  　Ｂ∩Ｄ、
  となり、
  一方、
  　Ｂ∩Ｄ
  のとき、
  　Ａ∩Ｃ
  となる。
  (以下、命題１０−１１の補足 (４項比例で前項通約なら後項通約)という。)
  
• 命題１０−１１の補足 (４項比例で前項通約なら後項通約)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		5-16,10-11
  その他

• 命題１０ー１１は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-1
  公準	1-1補2
  公理
  命題	6-12,10-6系3,10-10	5-11,5-13補4,10-5,10-6,10-7
  その他	コ6(題5-1)	コ2(題1-16)

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