ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー１１２（二項線分上の有理面積矩形の幅は二項線分各項と同じ比通約・同じ順位の項の余線分）
　　有理線分上の正方形
　　　に等しい
　矩形が
　　ニ項線分上に
　　　つくられる
ならば，
　　余線分を幅
　　　とし，
　余線分の二つの項は
　　ニ項線分の二つの項と通約
　　　でき
　　かつ
　　同じ比を
　　　なし，
さらに
　　このようにして
　　　生じた
　余線分は
　　ニ項線分と同じ順位を
　　　もつであろう。

• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 矩形は、
  定義１ー２２による。
• ニ項線分は、
  定義の補足（命題１０ー３６）による。
• 余線分は、
  定義の補足(命題１０ー７３)による。
• 幅は、
  定義の補足（命題１０ー２０）による。
• 通約は、
  定義１０ー１による。
• 同じ比は、
  定義５ー５による。
• 順位は、
  　二項線分では、 定義の補足（命題１０ー６６）、
  　双中項線分では、 定義の補足(命題１０ー６７)、
  　余線分では、 定義の補足（命題１０ー１０３）、
  　中項余線分では、 定義の補足（命題１０ー１０４）による。

　　Ａを有理線分，
　　ＢＣをニ項線分，
　　ＤＣをその大きい項
　　　とし，
　　矩形ＢＣ，ＥＦを
　　Ａ上の正方形
　　　に等しくせよ。

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  　命題１０ー１０（作図.平方のみ通約の線分・平方でも非通約の線分）
  　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
• 　Ａ：有理線分、
  　ＢＣ：二項線分、
  　　ＢＤ、ＤＣ：有理線分、
  　　ＢＤ∩^^2ＤＣ、
  　　ＤＣ＞ＢＤ
  　辺ＥＦ.矩形(ＢＣ、ＥＦ)＝正方(_Ａ)
  

　ＥＦは
　　余線分
　　　であり，
　その二つの項は
　　ＣＤ、ＤＢと通約
　　　でき，
　　かつ
　　同じ比を
　　　なし，
　さらに
　ＥＦは
　　ＢＣと同じ順位を
　　　もつであろう
と主張する。

もう一度
　　矩形ＢＤ,Ｇを
　　Ａ上の正方形
　　　に等しくせよ。

• 　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
• 　辺Ｇ.矩形(ＢＤ、Ｇ)＝正方(_Ａ)
  となっている。

そうすれば
　矩形ＢＣ,ＥＦは
　　矩形ＢＤ,Ｇ
　　　に等しい

• 　前節、 命題の設定
  による。
• 　矩形(ＢＣ、ＥＦ)＝矩形(ＢＤ、Ｇ)
  となっている。

から，
　ＣＢが
　　ＢＤに
　　　対するように，
　Ｇが
　　ＥＦに
　　　対する。
　　　　[......(１)]

• 　命題６ー１４（等積で等角な平行四辺形と逆比例）
  による。
• 　ＣＢ：ＢＤ＝Ｇ：ＥＦ
  となっている。

ところが
　ＣＢは
　　ＢＤより
　　　大きい。

• 　命題の設定
  による。
• 　ＣＢ＞ＢＤ
  となっている。

したがって
　Ｇも
　　ＥＦより
　　　大きい。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  　命題５ー１４（同じ比の前(後)項の大等小）
  による。
• 　Ｇ＞ＥＦ
  となっている。

　　ＥＨをＧ
　　　に等しくせよ。

• 　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
  による。
• 　Ｈ（ＥＦ；ＥＨ＝Ｇ）
  となっている。

そうすれば
　ＣＢが
　　ＢＤに
　　　対するように，
　ＨＥが
　　ＥＦに
　　　対する。
　　　　[......(４)]

• 　前節、 　（１）
  　命題５ー７（同一量の比）
  による。
• 　ＣＢ：ＢＤ＝ＨＥ：ＥＦ
  となっている。

ゆえに
　　分割比
により，
　ＣＤが
　　ＢＤに
　　　対するように，
　ＨＦが
　　ＦＥに
　　　対する。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、
  　命題５ー１７（比例ならば分割比も比例）
  による。
• 　ＣＤ：ＢＤ＝ＨＦ：ＦＥ
  となっている。

　ＨＦが
　　ＦＥに
　　　対するように，
　ＦＫが
　　ＫＥに
　　　対するようにされた
とせよ。
　　　　　　[......(３)]

• 　命題６ー１０の補足(作図.線分比による線分の内分点・外分点)
  による。
• 　ＨＦ：ＦＥ＝ＦＫ：ＫＥ
  となっている。

そうすれば
　ＨＫ全体が
　　ＫＦ全体に
　　　対するように，
　ＦＫが
　　ＫＥに
　　　対する。
なぜなら
　前項の一つが
　　後項の一つに
　　　対するように，
　前項の全体が
　　後項の全体に
　　　対する
から。

• 　前節、
  　命題５ー２４（各量の同じ比の和は同じ比）
  による。
• 　コメント２（命題１ー１６）を参照のこと。
• 　ＨＫ：ＫＦ＝ＦＫ：ＫＥ
  となっている。 　

ところが
　ＦＫが
　　ＫＥに
　　　対するように，
　ＣＤが
　　ＤＢに
　　　対する。
　　　　　[......(６)]

• 　（２） （３）
  による。
• 　ＦＫ：ＫＥ＝ＣＤ：ＤＢ
  となっている。

ゆえに
　ＨＫが
　　ＫＦに
　　　対するように，
　ＣＤが
　　ＤＢに
　　　対する。

• 　 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　ＨＫ：ＫＦ＝ＣＤ：ＤＢ
  となっている。

ところが
　ＣＤ上の正方形は
　　ＤＢ上の正方形と通約
　　　できる。

• 　命題の設定による。
• 　ＣＤ∩^^2ＤＢ
  となっている。

それゆえ
　ＨＫ上の正方形も
　　ＫＦ上の正方形と通約
　　　できる。

• 　前節、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＨＫ∩^^2ＫＦ
  となっている。

そして
　ＨＫ上の正方形が
　　ＫＦ上の正方形に
　　　対するように，
　ＨＫが
　　ＫＥに
　　　対する，
　３線分ＨＫ,ＫＦ,ＫＥは
　　　比例する
から。

• 　（２） （３）
  による。
• 　正方(_ＨＫ)：正方(_ＫＦ)＝ＨＫ：ＫＥ
  となっている。

したがって
　ＨＫは
　　ＫＥと長さにおいて通約
　　　できる。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＨＫ∩ＫＥ
  となっている。

ゆえに
　ＨＥも
　　ＥＫと長さにおいて通約
　　　できる。
　　　　　[......(５)]

• 　前節、
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  による。
• 　ＨＥ∩ＥＫ
  となっている。

そして
　Ａ上の正方形は
　　矩形ＥＨ,ＢＤ
　　　に等しく，
　Ａ上の正方形は
　　有理面積
　　　である

• 　命題の設定、 （４）、
  　命題６ー１６（比例４線分と外項矩形、内項矩形）
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　正方(_Ａ)＝矩形(ＥＨ、ＢＤ)、
  　正方(_Ａ)；有理面積
  となっている。

から，
　矩形ＥＨ,ＢＤも
　　有理面積
　　　である。

• 　前節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　矩形(ＥＨ、ＢＤ)；有理面積
  となっている。

そして
　　有理線分ＢＤ上に
　　　つくられている。

• 　前節、 命題の設定
  による。
• 　矩形(ＥＨ、ＢＤ；（ＢＤ；有理線分)）
  となっている。

それゆえ
　ＥＨは
　　有理線分
　　　であり
　　ＢＤと長さにおいて通約
　　　できる。

• 　前節、
  　命題１０ー２０（有理線分上の有理面積の矩形幅は底辺と長さで通約）
  による。
• 　ＥＨ；有理線分、∩ＢＤ
  となっている。

したがって
　　それと通約
　　　できる
　ＥＫも
　　有理線分
　　　であり
　　ＢＤと長さにおいて通約
　　　できる。
　　　　[......(７)]

• 　前節、 （５）、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
• 　ＥＫ；有理線分、∩ＢＤ
  となっている。

そこで
　ＣＤが
　　ＤＢに
　　　対するように，
　ＦＫが
　　ＫＥに
　　　対する

• 　（６）
  による。
• 　ＣＤ：ＤＢ＝ＦＫ：ＫＥ
  となっている。

から,
　ＣＤ,ＤＢは
　　平方においてのみ通約
　　　でき，
　ＦＫ,ＫＥも
　　平方においてのみ通約
　　　できる。

• 　前節、 命題の設定、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＣＤ∩^^2ＤＢ、
  　ＦＫ∩^^2ＫＥ
  となっている。

ところが
　ＫＥは
　　有理線分
　　　である。

• 　（７）
  による。
• 　ＫＥ；有理線分
  となっている。

ゆえに
　ＦＫも
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＦＫ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＦＫ,ＫＥは
　　面積においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、前々々節
  による。
• 　ＦＫ、ＫＥ；有理線分、
  　　ＦＫ∩^^2ＫＥ
  となっている。

よって
　ＥＦは
　　余線分
　　　である。
　　　　[......(８)]

• 　前節、
  　定義の補足(命題１０ー７３)(余線分)
  による。
• 　ＥＦ；余線分
  　　ＦＫ、ＫＥ；有理線分、
  　　ＦＫ∩^^2ＫＥ
  となっている。

ところで
　ＣＤ上の正方形は
　　ＤＢ上の正方形より
　　ＣＤと通約
　　　できる
　　線分上の正方形か

　　または
　　ＣＤと通約
　　　できない
　　線分上の正方形

　　　だけ大きい。
［場合分け終了］

• 　排中率
  による。
• 　場合分けをしている。
• 　正方(_ＣＤ)＝正方(_ＤＢ)＋正方(_Ｘ)
  　　Ｘ∩ＣＤ
  　または
  　　Ｘ¬∩ＣＤ
  となっている。

そこで
もし
　ＣＤ上の正方形が
　　ＤＢ上の正方形より
　　通約
　　　できる
　　線分上の正方形
　　　だけ大きい
ならば，

• 　場合１である。
• 　正方(_ＣＤ)＝正方(_ＤＢ)＋正方(_Ｘ)
  　　Ｘ∩ＣＤ
  となっている。

　ＦＫ上の正方形も
　　ＫＥ上の正方形より
　　ＦＫと通約
　　　できる
　　線分上の正方形
　　　だけ大きい。

• 　前節、
  　命題１０ー１４（比例４項の各辺で正方形の差の通約が対応）
  による。
• 　正方(_ＦＫ)＝正方(_ＫＥ)＋正方(_Ｙ)
  　　Ｙ∩ＦＫ
  となっている。　

そして
もし
　ＣＤが
　　定められた有理線分［Ｚ］と
　　長さにおいて通約
　　　できる
ならば，

• 　推論上の仮定である。
• 　ＣＤ∩Ｚ
  となっている。　

　ＦＫも
　　そうである。

• 　（６） （７）
  　命題１０−１１の補足(４項比例で前項通約なら後項通約)
  による。
• 　ＦＫ∩ＣＤ
  を直接言及せずに、
  　ＦＫ∩ＣＤ
  を前提とする推論を進める例は
  極めて異例である。
• 　ＦＫ∩ＣＤ∩Ｚ
  となている。

もし
　ＢＤが
　　通約
　　　できる
ならば，

• 　推論上の仮定である。
• 　ＣＤ∩Ｚ
  となっている。　

　ＫＥも
　　そうである。

• 　（７）
  　命題１０−１１の補足 (４項比例で前項通約なら後項通約)
  による。
• 　ＫＥ∩Ｚ
  となている。

ところが
もし
　ＣＤ,ＤＢのいずれも
　　通約
　　　できない
ならば，

• 　推論上の仮定である。
• 　ＣＤ，ＤＢ¬∩Ｚ
  となている。

　ＦＫ,ＫＥのいずれも
　　通約
　　　できない。

• 　（６） （７）
  　命題１０−１１の補足 (４項比例で前項通約なら後項通約)
  による。
• 　ＦＫ,ＫＥ¬∩Ｚ
  となている。

ところが
もし
　ＣＤ上の正方形が
　　ＤＢ上の正方形より
　　ＣＤと通約
　　　できない
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい
ならば，

• 　場合２である。
• 　正方(_ＣＤ)＝正方(_ＤＢ)＋正方(_Ｘ)
  　　Ｘ¬∩ＣＤ
  となっている。

　ＦＫ上の正方形も
　　ＫＥ上の正方形より
　　ＦＫと通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きいであろう。

• 　前節、
  　命題１０ー１４（比例４項の各辺で正方形の差の通約が対応）
  による。
• 　正方(_ＦＫ)＝正方(_ＫＥ)＋正方(_Ｙ)
  　　Ｙ¬∩ＦＫ
  となっている。

そして
もし
　ＣＤが
　　　定められた
　　有理線分と
　　長さにおいて通約
　　　できる
ならば，

• 　推論上の仮定である。
• 　ＣＤ∩Ｚ
  となっている。

　ＦＫも
　　　そうである。

• 　（６） （７）
  　命題１０−１１の補足 (４項比例で前項通約なら後項通約)
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
• 　ＦＫ∩Ｚ
  となっている。

もし
　ＢＤが
　　通約
　　　できる
ならば，

• 　推論上の仮定である。
• 　ＢＤ∩Ｚ
  となっている。

　ＫＥも
　　　そうである。

• 　前節、
  　（７）
  による。
• 　ＫＥ∩Ｚ
  となっている。

ところが
もし
　ＣＤ，ＤＢのいずれも
　　通約
　　　できない
ならば，

• 　推論上の仮定である。
• 　ＣＤ、ＤＢ¬∩Ｚ
  となっている。

　ＦＫ,ＫＥのいずれも
　　通約
　　　できない。

• 　前節、　（６） （７）
  　命題１０−１１の補足 (４項比例で前項通約なら後項通約)
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＦＫ、ＫＥ¬∩Ｚ
  となっている。

［場合分け終了］
したがって
　ＦＥは
　　余線分
　　　であり，
　その項ＦＫ,ＫＥは
　　ニ項線分の項ＣＤ,ＤＢと通約
　　　でき
　　かつ
　　同じ比を
　　　なし，
　　そして
　　ＢＣと同じ順位を
　　　もつ。

• 　（６） （８）、
  　各場合での結論
  による。
• 　ＥＦ；余線分
  　　ＦＫ、ＫＥ；有理線分、
  　　ＦＫ∩^^2ＫＥ
  　正方(_ＣＤ)＝正方(_ＤＢ)＋正方(_Ｘ)、
  　　Ｘ∩ＣＤ、
  　　　ＣＤ∩Ｚ→ＦＫ∩Ｚ、
  　　　ＢＤ∩Ｚ→ＫＥ∩Ｚ、
  　　　ＣＤ、ＢＤ¬∩Ｚ→ＦＫ、ＫＥ¬∩Ｚ、
  　　Ｘ¬∩ＣＤ、
  　　　ＣＤ∩Ｚ→ＦＫ∩Ｚ、
  　　　ＢＤ∩Ｚ→ＫＥ∩Ｚ、
  　　　ＣＤ、ＢＤ¬∩Ｚ→ＦＫ、ＫＥ¬∩Ｚ
  　ＦＫ：ＫＥ＝ＣＤ：ＢＤ、
  となり、
  　ＢＣとＥＦは
  　　同じ順位
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー１１２は、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  　命題１０ー１０（作図.平方のみ通約の線分・平方でも非通約の線分）
  　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　Ａ：有理線分、
  　ＢＣ：二項線分、
  　　ＢＤ、ＤＣ：有理線分、
  　　ＢＤ∩^^2ＤＣ、
  　　ＤＣ＞ＢＤ
  　辺ＥＦ.矩形(ＢＣ、ＥＦ)＝正方(_Ａ)
  をとり、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　辺Ｇ.矩形(ＢＤ、Ｇ)＝正方(_Ａ)
  をとり、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
  による。
  　Ｈ（ＥＦ；ＥＨ＝Ｇ）
  をとり、
  　命題６ー１０の補足(作図.線分比による線分の内分点・外分点)
  により、
  　ＨＦ：ＦＥ＝ＦＫ：ＫＥ
  をとると、
  　ＥＦ；余線分
  　　ＦＫ、ＫＥ；有理線分、
  　　ＦＫ∩^^2ＫＥ
  　正方(_ＣＤ)＝正方(_ＤＢ)＋正方(_Ｘ)、
  　　Ｘ∩ＣＤ、
  　　　ＣＤ∩Ｚ→ＦＫ∩Ｚ、
  　　　ＢＤ∩Ｚ→ＫＥ∩Ｚ、
  　　　ＣＤ、ＢＤ¬∩Ｚ→ＦＫ、ＫＥ¬∩Ｚ、
  　　Ｘ¬∩ＣＤ、
  　　　ＣＤ∩Ｚ→ＦＫ∩Ｚ、
  　　　ＢＤ∩Ｚ→ＫＥ∩Ｚ、
  　　　ＣＤ、ＢＤ¬∩Ｚ→ＦＫ、ＫＥ¬∩Ｚ
  　ＦＫ：ＫＥ＝ＣＤ：ＢＤ、
  となり、
  　ＢＣとＥＦは
  　　同じ順位
  のことである。
  
• 命題１０ー１１２は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-3補,10-4補,補(題10-36),補(題10-73)
  公準
  公理		1-1
  命題	1-3,6-16補3,補2(義10-3),10-10	5-7,5-11,5-14,5-17,5-24,6-10補,6-14,6-16,10-11,10-11補,10-12,10-13,10-14,10-15,10-20
  その他	コ2(題1-16)	場合分け

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