ユークリッド原論をどう読むか(10)
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ユークリッド原論

第6巻

命題6ー16(比例4線分と外項矩形、内項矩形)
外項 内項 
(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
もし
 4線分比例するならば、
 外項にかこまれた矩形
 内項にかこまれた矩形等しい
そしてもし
 外項にかこまれた矩形
 内項にかこまれた矩形等しいならば、
 4線分比例するであろう。


線分AB、CD、E、Fが比例する、
 すなわち
 ABがCDに対するように
 EがFに対する
 とせよ。

AB、Fにかこまれた矩形
 CD、Eにかこまれた矩形等しい
 と主張する。

A、Cから
 線分AB、CDに直角
 AG、CHがひかれ、 【・・・(a)】

  AGがFに等しく
 CHがEに等しくされた
 とせよ。 【・・・(b)】

そうすれば
 ABがCDに対するように
 EがFに対し

 EはCHに、
 FはAGに等しいから、

 ABがCDに対するように
 CHがAGに対する

それゆえ
 平行四辺形BG、DHの
 等しいをはさむ
 反比例する。

ところが
 等しいをはさむ反比例する
 等角な2つの平行四辺形
 等しい

ゆえに
  平行四辺形BGは
 平行四辺形DHに等しい【・・・(1)】
そして
 AGはFに等しいから、

  BGは矩形AB、Fである。 【・・・(2)】

そして
 EはCHに等しいから、

 DHは矩形CD、Eである。

したがって、
 AB、Fにかこまれた矩形
 CD、Eにかこまれた矩形等しい

次に
 AB、Fにかこまれた矩形
 CD、Eにかこまれた矩形等しい
 とせよ。

線分
 比例する、
 すなわち
 ABがCDに対するように
 EがFに対するであろう
 と主張する。

同じ作図がなされたとき、

 矩形AB、Fは
 矩形CD、Eに等しく

 AGはFに等しいから、

 矩形AB、FはBGである。

そして
 CHはEに等しいから、

 矩形CD、EはDHである。

それゆえ
 BGはDHに等しい

しかも
 等角である。

ところが
 等しくてかつ等角な2つの平行四辺形
 等しいをはさむ
 反比例する。

ゆえに
 ABがCDに対するように
 CHがAGに対する

ところが
 CHはEに、
 AGはFに等しい

したがって
 ABがCDに対するように
 EがFに対する

よってもし
 4線分比例するならば、
 外項にかこまれた矩形
 内項にかこまれた矩形等しい
そしてもし
 外項にかこまれた矩形
 内項にかこまれた矩形等しいならば、
 4線分比例するであろう。
これが証明すべきことであった。       目次   頁頭