ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー１０４（中項余線分と長さ通約の線分は同順位の中項余線分）
中項余線分　中項余線分の順位
　中項余線分と通約できる線分は
　　中項余線分
　　　であり，
　　順位において同じ
　　　である。

• 中項余線分とは、
  　平方においてのみ通約可能な
  　２つの中項線分の
  　差となる線分を
  　中項余線分という。
  　２つの線分によってかこまれる矩形が
  　有理面積なら、
  　　第１の中項余線分（定義の補足（命題１０ー７４））、
  　中項面積なら、
  　　第２の中項余線分（定義の補足（命題１０ー７５））
  となる。　
  　単なる「中項余線分」という定義はこれまでない。
  (以下、定義の補足（命題１０ー１０４） (中項余線分)という。)
  
• 通約は、
  定義１０ー１による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。
• 中項余線分の順位とは、
  　定義の補足（命題１０ー７４)、
  定義の補足（命題１０ー７５)における順位である。 (以下、定義の補足（命題１０ー１０４） (中項余線分の順位)という。)
  による。

　　ＡＢを中項余線分
　　　とし，
　　ＣＤを
　　ＡＢと長さにおいて通約
　　　できるようにせよ。

• 　中項余線分の順位に応じて、
  命題１０ー１０４は、
  　命題１０ー２７（作図.２中項線分;矩形が有理面積、平方でのみ通約）、
  　命題１０ー２８（作図.２中項線分;矩形が中項面積、平方でのみ通約）、
  のいずれかにより、
  　ＡＥ、ＢＥをとると、
  　その差ＡＢは、
  　命題１０ー ７４、 ７５
  により、
  　中項余線分となり、
  　命題１０ー６の系（作図.線分で数：数となる線分）
  により、
  　ＡＢと通約可能な線分ＣＤをとる。
  
• 　ＡＢ；中項余線分、
  　　ＡＥ、ＥＢ；中項線分
  　　ＡＥ∩^^2 ＥＢ
  　　矩形(ＡＥ、ＥＢ)；有理面積
  　ＣＤ∩ＡＢ
  となっている。

　ＣＤも
　　中項余線分
　　　であり
　　ＡＢと順位において同じ
　　　である
と主張する。

　ＡＢは
　　中項余線分
　　　である
から，
　　ＥＢを
　　それへの付加
　　　とせよ。

• 　前節
  による。
• 　ＡＢ；中項余線分、
  　　ＡＥ、ＥＢ；中項線分
  　　ＡＥ∩^^2 ＥＢ
  　　矩形(ＡＥ、ＥＢ)；有理面積
  　ＣＤ∩ＡＢ
  となっている。

そうすれば
　ＡＥ，ＥＢは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　中項線分
　　　である。

• 　前節
  による。
• 　ＡＥ∩^^2 ＥＢ
  となっている。

そして
　ＡＢが
　　ＣＤに対するように，
　ＢＥが
　　ＤＦに
　　　対するようにされた
とせよ。
　　　　[......(１)]

• 　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  による。
• 　ＡＢ：ＣＤ＝ＢＥ：ＤＦ
  となっている。

そうすれば
　ＡＥは
　　ＣＦと，
　ＢＥは
　　ＤＦと通約
　　　できる。
　　　　[......(２)]

• 　前節、
  　命題５ー１２（比例する前項の和と後項の和）
  により、
  　ＡＢ：ＣＤ＝ＢＥ：ＤＦ
  　　＝ＡＥ：ＣＦ
  となり、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＡＥ∩ＣＦ
  　ＢＥ∩ＤＦ
  となっている。

ところが
　ＡＥ，ＥＢは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　中項線分
　　　である。

• 　命題の設定
  による。
• 　ＡＥ∩^^2 ＥＢ
  　ＡＥ、ＥＢ；中項線分
  となっている。

それゆえ
　ＣＦ，ＦＤは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　中項線分
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  　命題１０ー２３（中項線分と平方で通約なら中項線分）
  による。
• 　ＣＦ∩^^2 ＦＤ
  　ＣＦ、ＦＤ；中項線分
  となっている。

[......(３)]
したがって
　ＣＤは
　　中項余線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー１０４）(中項余線分)
  による。
• 　ＣＤ；中項余線分
  　　ＣＦ∩^^2 ＦＤ
  　　ＣＦ、ＦＤ；中項線分
  となっている。

次に
　　ＡＢと順位においても同じ
　　　である
と主張する。
　ＡＥが
　　ＥＢに対するように，
　ＣＦが
　　ＦＤに
　　　対する

• 　（１）
  による。
• 　ＡＥ：ＥＢ＝ＣＦ：ＦＤ
  となっている。

から，
　ＡＥ上の正方形が
　　矩形ＡＥ,ＥＢに
　　　対するように，
　ＣＦ上の正方形が
　　矩形ＣＦ、ＦＤに
　　　対する。

• 　前節、
  　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）
  　命題５ー１１の補足（同じ比は互いに同じ）
  による。
• 　正方(_ＡＥ)：矩形(ＡＥ、ＥＢ)＝正方(_ＣＦ)：矩形(ＣＦ、ＦＤ)
  となっている。

ところが
　ＡＥ上の正方形は
　　ＣＦ上の正方形と通約
　　　できる。

• 　（２）による。
• 　正方(_ＡＥ)∩正方(_ＣＦ)
  となっている。

したがって
　矩形ＡＥ,ＥＢは
　　矩形ＣＦ、ＦＤと通約
　　　できる。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　矩形(ＡＥ、ＥＢ)∩矩形(ＣＦ、ＦＤ)
  となっている。

そこで
もし
　矩形ＡＥ,ＥＢが
　　有理面積
ならば，
　矩形ＣＦ，ＦＤも
　　有理面積
　　　であり，
　　　　[......(４)]

• 　前節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　矩形(ＡＥ、ＥＢ)；有理面積
  　　→矩形(ＣＦ、ＦＤ)；有理面積
  となっている。

もし
　矩形ＡＥ，ＥＢが
　　中項面積
ならば，
　矩形ＣＦ，ＦＤも
　　中項面積
　　　であろう。
　　　　[......(５)]

• 　前々節、
  　命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　矩形(ＡＥ、ＥＢ)；中項面積
  　　→矩形(ＣＦ、ＦＤ)；中項面積
  となっている。

よって
　ＣＤは
　　中項余線分
　　　であり
　　ＡＢと順位において同じ
　　　である。

• 　（３） （４） （５）、
  　命題１０ー７４（中項線分から平方のみ通約で有理面積をかこむ中項線分を引くと第１の中項余線分）、
  　命題１０ー７５（中項線分から平方のみ通約で中項面積をかこむ中項線分を引くと第２の中項余線分）
  による。
• 　（３） 　（４）なら
  　　ＡＤ、ＣＤ；第１の中項余線分、
  　（３） （５）なら
  　　ＡＤ、ＣＤ；第２の中項余線分
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー１０４は、
  　命題１０ー２７（作図.２中項線分;矩形が有理面積、平方でのみ通約）、
  　命題１０ー２８（作図.２中項線分;矩形が中項面積、平方でのみ通約）、
  のいずれかにより、
  　ＡＥ、ＢＥをとると、
  　その差ＡＢは、
  　命題１０ー ７４、 ７５
  により、
  　中項余線分となり、
  　命題１０ー６の系（作図.線分で数：数となる線分）
  により、
  　通約可能な線分ＣＤをとると、
  　ＣＤ；中項余線分、（同順位）ＡＢ
  のことである。
• 命題１０ー１０４は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-4補,補(題10-104)
  公準
  公理
  命題	6-12,10-6系,10-27,10-28	5-11補,5-12,5-16,10-11,10-22助,10-23,10-23系,10-74,10-75
  その他

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