ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論
第10巻
命題10ー14
(比例4項の各辺で正方形の差の通約が対応)
もし
4つの
線分
が
比例
し、
第1の上の
正方形
が
第2の上の
正方形
より
第1と
通約
できる
線分
上の
正方形
だけ
大きい
ならば、
第3の上の
正方形
も
第4の上の
正方形
より
第3と
通約
できる
線分
上の
正方形
だけ
大きい
であろう。
そして
もし
第1の上の
正方形
が
第2の上の
正方形
より
第1と
通約
できない
線分
上の
正方形
だけ
大きい
ならば、
第3の上の
正方形
も
第4の上の
正方形
より
第3と
通約
できない
線分
上の
正方形
だけ
大きい
であろう。
線分は、
定義の補足(命題1ー1)
による。
比例は、
定義5ー6
による。
正方形は、
定義1ー22
による。
通約は、
定義10ー1
による。
大きいは、
公理1ー8
による。
A、B、C、Dを
4つの
比例
する
量
とし、
AがBに
対するように
、
CがDに
対する
とし、
A上の
正方形
が
B上の
正方形
より
E上の
正方形
だけ大きく、
C上の
正方形
が
D上の
正方形
より
F上の
正方形
だけ
大きい
とせよ。
「
量
(について)・・・とせよ」は、
コメント6(命題5ー1)
参照のこと。
実際の作図においては、
前半では、
命題10ー6の系3
(作図.長さ・平方で通約可の線分)
により
通約できる線分B、Eをとり、
後半では、
命題10ー10
(作図.長さ・平方において通約でない線分)
により
通約できない線分B、Eをとり、
いずれも、
命題10ー14助の系
(構成.2線分の正方形の和となる正方形の辺)
により
AをB、Eから作図する。
その上で、
線分Cをとり、
命題6ー12
(作図.比例第4項)
により、
A:B=C:D
となるDをとる。
最後に、
命題10ー14助
(作図.線分上の正方形の差となる正方形の辺)
により、
C、DからFをとる。
A:B=C:D
sq(_A)=sq(_B)+sq(_E)
sq(_C)=sq(_D)+sq(_F)
となっている。
もし
AがEと
通約
できる
ならば、
CもFと
通約
でき、
もし
AがEと
通約
できない
ならば、
CもFと
通約
できない
と主張する。
AがBに
対するように
、
CがDに
対する
命題の設定
による。
A:B=C:D
となっている。
から、
A上の
正方形
が
B上の
正方形
に
対するように
、
C上の
正方形
が
D上の
正方形
に
対する
。
命題6ー20
(相似多角形の相似三角形分解と2乗の比)
により、
sq(_A):sq(_B)=A^2:B^2
sq(_C):sq(_D)=C^2:D^2
となり、
前節、
公理の補足(定義6ー5)
(同じ比の合成・積は同じ)
により
A^2:B^2=C^2:D^2
となっているので、
公理1ー1
(同じものに等しい)
による。
sq(_A):sq(_B)=sq(_C):sq(_D)
となっている。
ところが
E、B上の
正方形
の和は
A上の
正方形
に等しく、
D、F上の
正方形
の和は
C上の
正方形
に等しい。
命題の設定
による。
sq(_E)+sq(_B)=sq(_A)、
sq(_D)+sq(_F)=sq(_C)
となっている。
したがって
E、B上の
正方形
の和が
B上の
正方形
に
対するように
、
D、F上の
正方形
の和が
D上の
正方形
に
対する
。
前節、
命題5ー7
(同一量の比)
により、
sq(_E)+sq(_B):sq(_B)
=sq(_A):sq(_B)
sq(_D)+sq(_F):sq(_D)
=sq(_C):sq(_D)
となり、
前々節、
命題5ー11
(同一の比に同じ比)
による。
sq(_E)+sq(_B):sq(_B)
=sq(_D)+sq(_F):sq(_D)
それゆえ
分割比により
E上の
正方形
が
B上の
正方形
に
対するように
、
F上の
正方形
が
D上の
正方形
に
対する
。
前節、
命題5ー17
(合比で比例なら分割比でも比例)
による。
sq(_E):sq(_B)
=sq(_D):sq(_D)
したがって
EがBに
対するように
、
FがDに
対する
。
前節、
命題10ー9の補足
(比の2乗が同じなら比は同じ)
による。
E:B=F:D
ゆえに
逆に
BがEに
対するように
、
DがFに
対する
。
前節、
命題5ー7の系
(比例すれば逆も比例)
による。
B:E=D:F
となっている。
そして
AがBに
対するように
、
CがDに
対する
。
命題の設定
による。
A:B=C:D
となっている。
したがって
等間隔比により
AがEに
対するように
、
CがFに
対する
。
前節、前々節
命題5ー22
(等間隔比と同じ比)
による。
A:E=C:F
となっている。
それゆえ
もし
AがEと
通約
できる
ならば、
CもFと
通約
でき、
AがEと
通約
できない
ならば、
CもFと
通約
できない。
前節、
命題10ー11
(4量比例で一方が通約なら他方も通約)
による。
A∩EならばC∩F、
A¬∩EならばC¬∩F
となっている。
よって
もし
云々
云々は
「4つの
線分
が
比例
し、
第1の上の
正方形
が
第2の上の
正方形
より
第1と
通約
できる
線分
上の
正方形
だけ
大きい
ならば、
第3の上の
正方形
も
第4の上の
正方形
より
第3と
通約
できる
線分
上の
正方形
だけ
大きい
であろう。
そして
もし
第1の上の
正方形
が
第2の上の
正方形
より
第1と
通約
できない
線分
上の
正方形
だけ
大きい
ならば、
第3の上の
正方形
も
第4の上の
正方形
より
第3と
通約
できない
線分
上の
正方形
だけ
大きい
であろう。」
である。
命題10ー14
は
A:B=C:Dのとき、
√(A^2-B^2)∩A
ならば、
√(C^2-D^2)∩C。
また
√(A^2-B^2)¬∩A
ならば、
√(C^2-D^2)¬∩C。
のことである。
命題10ー14
は推論用命題である。
前提
作図・構成
推論
定義
公準
公理
1-1
,
補(義6-5)
命題
6-12
,
10-6系3
,
10-10
,
10-14助
,
10-14助系
5-7
,
5-7系
,
5-11
,
5-17
,
5-22
,
6-20
,
10-11
その他
コ6(題5-1)
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