ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー14(比例4項の各辺で正方形の差の通約が対応)

もし
 4つの線分比例し、
 第1の上の正方形
 第2の上の正方形より
 第1と通約できる線分上の
 正方形だけ大きい
ならば、
 第3の上の正方形
 第4の上の正方形より
 第3と通約できる線分上の
 正方形だけ大きい
であろう。

そして
もし
 第1の上の正方形
 第2の上の正方形より
 第1と通約できない線分上の
 正方形だけ大きい
ならば、
 第3の上の正方形
 第4の上の正方形より
 第3と通約できない線分上の
 正方形だけ大きい
であろう。




 A、B、C、Dを
 4つの比例する
とし、
 AがBに対するように
 CがDに対する
とし、
 A上の正方形
 B上の正方形より
 E上の正方形だけ大きく、
 C上の正方形
 D上の正方形より
 F上の正方形だけ大きい
とせよ。

もし
 AがEと通約できる
ならば、
 CもFと通約でき、
もし
 AがEと通約できない
ならば、
 CもFと通約できない
と主張する。

 AがBに対するように
 CがDに対する

から、
 A上の正方形
 B上の正方形対するように
 C上の正方形
 D上の正方形対する

ところが
 E、B上の正方形の和は
 A上の正方形に等しく、
 D、F上の正方形の和は
 C上の正方形に等しい。

したがって
 E、B上の正方形の和が
 B上の正方形対するように
 D、F上の正方形の和が
 D上の正方形対する

それゆえ
 分割比により
 E上の正方形
 B上の正方形対するように
 F上の正方形
 D上の正方形対する

したがって
 EがBに対するように
 FがDに対する

ゆえに
逆に
 BがEに対するように
 DがFに対する

そして
 AがBに対するように
 CがDに対する

したがって
 等間隔比により
 AがEに対するように
 CがFに対する

それゆえ
もし
 AがEと通約できる
ならば、
 CもFと通約でき、
 AがEと通約できない
ならば、
 CもFと通約できない。

よって
もし
 云々

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