ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー１１１（余線分は二項線分と異なる）
(余線分等と中項線分は相互に異なる)
　余線分は
　　ニ項線分と同じ
　　　でない。

• 余線分は、
  定義の補足(命題１０ー７３)による。
• ニ項線分は、
  定義の補足（命題１０ー３６）による。

　　ＡＢを余線分
　　　とせよ。

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
  　定義の補足(命題１０ー７３) (余線分)
  による。
• 　ＡＢ；余線分
  となっている。

　ＡＢは
　　ニ項線分と同じ
　　　でない
と主張する。

もし可能ならば，
　　同じ
　　　である
とせよ。

• 　背理法の仮定である。
• 　ＡＢ；二項線分
  としている。

　有理線分ＤＣが
　　　定められ，
　　ＡＢ上の正方形
　　　に等しく
　　ＣＤ上にＤＥを幅として
　矩形ＣＥが
　　　つくられた
とせよ。

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
• 　矩形ＣＥ(ＣＤ、ＤＥ；＝正方(_ＡＢ))
  となっている。

そうすれば
　ＡＢは
　　余線分
　　　である

• 　命題の設定による。
• 　ＡＢ；余線分
  となっている。

から，
　ＤＥは
　　第１の余線分
　　　である。

• 　前節、
  　命題１０ー９７（余線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第１の余線分）
  による。
• 　ＤＥ；第１の余線分
  となっている。

　　ＥＦを
　　それへの付加
とせよ。

• 　前節の証明において、
  　差し引く線分である。
• 　ＤＥ；第１の余線分、
  　ＣＤ；指定有理線分、
  　　ＤＦ（；ＤＥ＋ＥＦ）∩^^2 ＥＦ、
  　　正方(_ＤＦ)＝正方(_ＥＦ)＋正方(_Ｘ)、
  　　Ｘ∩ＤＦ、
  　　ＤＦ∩ＤＣ
  となっている。

そうすれば
　ＤＦ、ＦＥは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　であり，
　ＤＦ上の正方形は
　　ＦＥ上の正方形より
　　ＤＦと通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きく，
　ＤＦは
　　　定められた
　　有理線分ＤＣと
　　長さにおいて通約
　　　できる。
　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　定義１０�Vー１（第１の余線分）
  による。
• 　ＤＦ、ＥＦ；有理線分、
  　ＤＦ∩^^2 ＥＦ
  　正方(_ＤＦ)＝正方(_ＥＦ)＋正方(_Ｘ)、
  　ＤＦ∩Ｘ
  　ＤＦ∩ＤＣ
  となっている。

また
　ＡＢは
　　ニ項線分
　　　である

• 　背理法の仮定による
• 　ＡＢ；二項線分
  となっている。

から，
　ＤＥは
　　第１のニ項線分
　　　である。

• 　命題１０ー６０（二項線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第１の二項線分）
  による。
• 　ＤＥ；第１のニ項線分
  となっている。

　　Ｇにおいてその項に
　　　分けられた
とし，
　　ＤＧを大きい項
とせよ。

• 　前節、
  　命題１０ー４２（二項線分の分割は１通り）
  　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)
  による。
• 　ＤＧ、ＧＥ；有理線分、
  　ＤＧ∩^^2 ＧＥ
  となっている。

そうすれば
　ＤＧ、ＧＥは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　であり，
　ＤＧ上の正方形は
　　ＧＥ上の正方形より
　　ＤＧと通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きく，
　大きい項ＤＧは
　　　定められた
　　有理線分ＤＣと
　　長さにおいて通約
　　　できる。
　　　　[......(２)]

• 　前節、
  　定義１０�Uー１（第１の二項線分）
  による。
• 　ＤＧ、ＧＥ；有理線分、
  　ＤＧ∩^^2 ＧＥ、
  　　正方(_ＤＧ)＝正方(_ＧＥ)＋正方(_Ｘ)、
  　　ＤＧ∩Ｘ、
  　　ＤＧ∩ＤＣ
  となっている。

したがっても
　ＤＦも
　　ＤＧと長さにおいて通約
　　　できる。

• 　前節、 （１）、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
• 　ＤＦ∩ＤＧ
  となっている。

ゆえに
　残りのＧＦは
　　ＤＦと長さにおいて通約
　　　できる。

• 　前節、
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  による。
• 　ＧＦ∩ＤＦ
  となっている。

ところが
　ＤＦは
　　ＥＦと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　（１）
  による。
• 　ＤＦ¬∩ＥＦ
  となっている。

したがって
　ＦＧも
　　ＥＦと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＦＧ¬∩ＥＦ
  となっている。

ゆえに
　ＧＦ,ＦＥは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＧＦ∩^^2 ＦＥ
  となっている。

それゆえ
　ＥＧは
　　余線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義の補足(命題１０ー７３) (余線分)
  による。
• 　ＥＧ；余線分
  となっている。

しかも
　　有理線分
　　　でもある。

• 　（２）
  による。
• 　ＥＧ；有理線分
  となっている。

これは不可能である。

• 　前節、前々節、
  　定義の補足(命題１０ー７３)(余線分)
  　定義１０ー４（面積の有理、無理、無理線分）
  による。
  

よって
　余線分は
　　ニ項線分と同じ
　　　でない。

• 　前節、
  　背理法による。
• 　余線分；¬二項線分
  となっている。

これが証明すべきことであった。

　余線分とそれにつづく無理線分とは
　　中項線分とも
　　相互にも同じ
　　　でない。
(以下、命題１０ー１１１の補足(余線分等と中項線分は相互に異なる)という。)

　　中項線分上の正方形
　　　に等しい
　矩形が
　　有理線分上に
　　　つくられる
ならば，
　　有理で
　　かつ
　　底辺と長さにおいて通約
　　　できない
　　線分を幅
　　　とし，

• 　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。

　　余線分の上の正方形
　　　に等しい
　矩形が
　　有理線分上に
　　　つくられる
ならば，
　　第１の余線分を幅
　　　とし，

• 　命題１０ー９７（余線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第１の余線分）
  による。

　　第１の中項余線分の上の正方形
　　　に等しい
　矩形が
　　有理線分上に
　　　つくられる
ならば，
　　第２の余線分を幅
　　　とし，

• 　命題１０ー９８（第１の中項余線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第２の余線分）
  による。

　　第２の中項余線分の上の正方形
　　　に等しい
　矩形が
　　有理線分上に
　　　つくられる
ならば，
　　第３の余線分を幅
　　　とし，

• 　命題１０ー９９（第２の中項余線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第３の余線分）
  による。

　　劣線分の上の正方形
　　　に等しい
　矩形が
　　有理線分上に
　　　つくられる
ならば，
　　第４の余線分を幅
　　　とし，

• 　命題１０ー１００（劣線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第４の余線分）
  による。

　　中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
　　の上の正方形
　　　に等しい
　矩形が
　　有理線分上に
　　　つくられる
ならば，
　　第５の余線分を幅
　　　とし，

• 　命題１０ー１０１（中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第５の余線分）
  による。

　　二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
　　の上の正方形
　　　に等しい
　矩形が
　　有理線分上に
　　　つくられる
ならば，
　　第６の余線分を幅
　　　とする。

• 　命題１０ー１０２（中項面積の差に等しい正方形の辺上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第６の余線分）
  による。

そこで
　これらの幅は
　　第１のものとも相互にも
　　　異なる，
すなわち
　　第１のものとは
　それが
　　有理線分
　　　なるがゆえに，
　　相互には順位において
　　　同じでないがゆえに
　　　異なる

• 　第１の幅は、
  　　底辺と長さにおいて通約できない有理線分で、
  　他の幅は
  　　無理線分であり、異なる。
  

から，
　無理線分自身も
　　相互に
　　　異なる
ことは明らかである。

• 　定義１０ー４（面積の有理、無理、無理線分）
  による。

そして
　余線分は
　　ニ項線分
　　　と同じでない
ことが先に証明され，

• 　命題１０ー１１１（余線分は二項線分と異なる）
  による。

また
　　余線分に
　　　つづく
　　無理線分の上の正方形
　　　に等しい
　矩形が
　　有理線分上に
　　　つくられる
ならば，
　　おのおの自己の順位に
　　　したがって
　　余線分を幅
　　　とし，

• 　命題１０ー９７（余線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第１の余線分）、
  　命題１０ー９８（第１の中項余線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第２の余線分）、
  　命題１０ー９９（第２の中項余線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第３の余線分）、
  　命題１０ー１００（劣線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第４の余線分）、
  　命題１０ー１０１（中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第５の余線分）、
  　命題１０ー１０２（中項面積の差に等しい正方形の辺上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第６の余線分）
  による。

　　ニ項線分につづく
　無理線分は
　　その順位に
　　　したがって
　　ニ項線分を幅と
　　　する

• 　命題１０ー６０（二項線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第１の二項線分）、
  　命題１０ー６１（第１の双中項線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第２の二項線分）、
  　命題１０ー６２（第２の双中項線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第３の二項線分）、
  　命題１０ー６３（優線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第４の二項線分）、
  　命題１０ー６４（中項面積と有理面積の和に等しい正方形は有理線分上の矩形なら幅は第５の二項線分）、
  　命題１０ー６５（二つの中項面積nの和に等しい正方形は有理線分上の矩形なら幅は第６の二項線分）
  による。

から，
　　余線分に
　　　つづく
　無理線分は
　　　相互に異なっており，

• 　前々節
  による。

　　ニ項線分に
　　　つづく
　無理線分も
　　　相互に異なっており，

• 　前々節
  による。

　　順次に全部で
　１3 種の無理線分が
　　　ある。

　中項線分
　ニ項線分
　第１の双中項線分
　第２の双中項線分
　優線分
　中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺
　二つの中項面積の和に等しい正方形の辺
　余線分
　第１の中項余線分
　第２の中項余線分
　劣線分
　中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
　二つの中項面積の差に等しい正方形の辺

• 　前節、前々節による。
• 　もちろん、
  　これら以外の無理線分もある。
  　原論において、
  　分類される無理線分が
  　上記１３種類ということである。
  　

• 命題１０ー１１１は、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  により、
  　ＣＤ；有理線分
  をとり、
  　命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
  により、
  　ＡＢ；余線分
  をとり、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　矩形ＣＥ(ＣＤ、ＤＥ；＝正方(_ＡＢ))
  とすると、
  　命題１０ー９７（余線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第１の余線分）
  により、
  　ＤＥ；第１の余線分
  となり、
  　ＥＦ；ＤＥへの付加
  とすると、
  　ＤＦ、ＥＦ；有理線分、
  　ＤＦ∩^^2 ＥＦ
  　ＤＦ∩ＤＣ
  となる。
  背理法の仮定として、
  　ＡＢ；ニ項線分
  とすると、
  　命題１０ー６０（二項線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第１の二項線分）
  により、
  　ＤＥ；第１のニ項線分
  となり、
  　命題１０ー４２（二項線分の分割は１通り）
  により、
  　ＤＧ、ＧＥ；有理線分、
  　ＤＧ∩^^2 ＧＥ、
  　ＤＧ∩ＤＣ
  となり、
  　ＤＦ∩ＤＧ、
  　ＧＦ∩ＤＦ、
  　ＦＧ¬∩ＥＦ
  となり、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  により、
  　ＧＦ∩^^2 ＦＥ
  　ＥＧ；余線分
  となり、
  　ＥＧ；有理線分
  と矛盾するので、
  　余線分；¬ニ項線分
  のことである。
  
• 命題１０ー１１１は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-3補,10-4,補(題10-36),補(題10-73),10�U-1,10�V-1
  公準
  公理
  命題	1-3,6-16補3,補2(義10-3),10-6系3	10-12,10-13,10-15,10-42,10-60,10-97
  その他		背理法

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