ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー10(作図.平方のみ通約の線分・平方でも非通約の線分)
(作図.2線分;上の正方形が2線分の比)
 定められた線分対し
 2つの、
 一方は長さにおいてのみ、
 他方は平方において
 通約できない線分
を見いだすこと。




 定められた線分をA
とせよ。

このとき
 Aと
一方は
 長さにおいてのみ、
他方は
 平方において
 通約できない2線分
を見いださねばならぬ。

 互いに
 平方数平方数対するをもたない、
すなわち
 相似平面数でない2B、C
が定められ、
      [......(a)]

 BがCに対するように
 A上の正方形がD上の正方形対する
ようにされているとせよ。
       [......(b)]

 この仕方はすでに学んだ。

そうすれば
 A上の正方形
 D上の正方形通約できる。
      [......(1)]

そして
 BはCに対し
 平方数平方数対するをもたない

から、
 A上の正方形
 D上の正方形対し
 平方数平方数対するをもたない。

ゆえに
 AはDと長さにおいて通約できない。
      [......(2)]

 A、Dの比例中項
がとられたとせよ。
そうすれば
 AがDに対するように
 A上の正方形がE上の正方形対する

そして
 AはDと長さにおいて通約できない。

したがって
 A上の正方形
 E上の正方形通約できない。

ゆえに
 AはEと平方において通約できない。
      [......(3)]

よって
 定められた線分Aと通約できない
 2線分D、Eが見いだされた。
 Dは長さにおいてのみ、
 Eは平方において

そして
もちろん
 長さにおいて通約できない。

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