ユークリッド原論をどう読むか（９516）
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ユークリッド原論
第５巻
命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
（同じ比の項の大等小２）
もし
４つの量が比例するならば、
《いれかえて》［錯比］も比例するであろう。
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは
４つの比例する量であり、
ＡがＢに対するように、
ＣがＤに対するとせよ。
-
同じ比をもつ線分の作図（仮想的）は、
コメント２（命題５ー４）
参照のこと。
-
量Ａ、Ｂ、Ｃ
を取り、
量Ｄ(;;Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ)
をとっている。
《いれかえて》［錯比］も比例し、
ＡがＣに対するように
ＢがＤに対するであろう
と主張する。
Ａ、Ｂの［任意の］同数倍Ｅ、Ｆと
Ｃ、Ｄの別の任意の同数倍Ｇ、Ｈが
とられたとせよ。【・・・(a)】
- 推論の設定である。
- ［任意の］同数倍は、コメント（命題５ー４）参照のこと。
-
(Ｅ、Ｆ)＝ｍ(Ａ、Ｂ)、
(Ｇ、Ｈ)＝ｎ(Ｃ、Ｄ)
をとっている。
そうすれば、
ＥはＡの、
ＦはＢの同数倍であり、
-
倍数(Ｅ,Ａ)＝倍数(Ｆ,Ｂ)＝ｍ、
となっている。
約量は
それらの同数倍と同じ比をもつから、
ＡがＢに対するように
ＥがＦに対する。【・・・(a)】
- 命題５ー１５（同数倍の比）
による。
-
Ａ：Ｂ＝Ｅ：Ｆ
となっている。
ところが
ＡがＢに対するように、
ＣがＤに対する。
- 命題の設定
である。
-
Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
となっている。
それゆえ
ＣがＤに対するように、
ＥがＦに対する。【・・・(2)】
また、
Ｇ、Ｈは
Ｃ、Ｄの同数倍であるから、
- (a)による。
-
(Ｇ、Ｈ)＝ｎ(Ｃ、Ｄ)
となっている。
ＣがＤに対するように、
ＧがＨに対する。
- 命題５ー１５（同数倍の比）
による。
-
Ｃ：Ｄ＝Ｇ：Ｈ
となっている。
ところが
ＣがＤに対するように、
ＥがＦに対する。
ゆえに
ＥがＦに対するように、
ＧがＨに対する。【・・・(3)】
- 命題５ー１５（同数倍の比）
による。
-
Ｅ：Ｆ＝Ｇ：Ｈ
となっている。
ところがもし
４つの量が比例し、
第１の量が第３より大きければ、
第２も第４より大きく、
等しければ、
等しく、
小さければ、
小さいであろう。
したがってもし
ＥがＧより大きければ、
ＦもＨより大きく、
等しければ、
等しく、
小さければ、
小さい。【・・・(4)】
- (3)
、定義５ー６（比例）
による。
-
Ｅ(＜、＝、＞)Ｇ
ならば、
Ｆ(＜、＝、＞)Ｈ
となっている。
そして
Ｅ、ＦはＡ、Ｂの［任意の］同数倍であり、
Ｇ、ＨはＣ、Ｄの別の任意の同数倍である。
- (a)
による。
- ［任意の］同数倍は、コメント（命題５ー４）参照のこと。
-
(Ｅ、Ｆ)＝ｍ(Ａ、Ｂ)、
(Ｇ、Ｈ)＝ｎ(Ｃ、Ｄ)
となっている。
ゆえに
ＡがＣに対するように、
ＢがＤに対する。
よってもし
４つの量が比例するならば、
いれかえても比例するであろう。
これが証明すべきことであった。
-
一般に、
比例 Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
において、
ＡとＣは、
定義５ー４（比をもつ）
にいう
相互に比をもつ量である必要はない
が、
本定理においては、
相互に比をもつ量であること
が前提となる。
-
Ａ：Ｂ＝Ｃ：ＤかつＡ＜＝＞Ｂなら
Ｃ＜＝＞Ｄである
（以下、命題５ー１６の補足（同じ比の項の大等小２）という。）
これは、
定義５ー５（同じ比）における同数倍を１倍としたものである。
- 命題５ー１６は、
Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
ならば、
Ａ：Ｃ＝Ｂ：Ｄ
のことである。
-
命題５ー１６の補足（同じ比の項の大等小２）
| 前提 | 作図 | 推論 |
| 定義 |
|
5-5
|
| 公準 |
|
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| 公理 |
|
|
| 命題 |
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|
| その他 |
|
|
- 命題５ー１６は推論用命題である。
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