ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー３（作図.最大公約量）
公約量・最大公約量 （公約量は最大公約量を割り切る）
通約できる量を表す線分の作図（仮想的）
　２つの通約できる量が与えられた
とき、
　それらの最大公約量を見いだすこと。

• 通約は、
  定義１０ー１による。
• 量は、
  定義５ー１の補足による。
• 　公約量とは、
  　定義１０ー１の通約できる量における
  　共通な尺度となる量
  のことである。
  　最大公約量とは、
  　公約量のうち最大のもの
  である。
  
  (以下、定義の補足（命題１０ー３） （公約量・最大公約量）という。）
  

　２つの与えられた
　通約できる量をＡＢ、ＣＤ
とし、
　そのうちＡＢが小さい
とせよ。

• 　「量（について）・・・とせよ」は、
  　コメント６（命題５ー１）
  　参照のこと。
  また、
  　通約できる２量を表す線分の具体的な作図は
  　命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
  まで待たねばならない。
  　通約できる２線分の作図を
  　定義１０ー１（通約）
  により、
  　可能な範囲で行い、
  　「通約できる」と
  　仮想的な命題の設定をして、
  　以降の理論構成をしている。
  (以下、コメント３（命題１０ー３） (通約できる量を表す線分の作図（仮想的）)という。)
  
• 　ＡＢ∩ＣＤ、
  　ＡＢ＜ＣＤ
  となっている。
  

このとき
　ＡＢ、ＣＤの最大公約量を
　見いださねばならぬ。

　量ＡＢは
　ＣＤを割り切る
かあるいは
　割り切らない
かである。

そこでもし
　割り切る
ならば、

• 　場合分けの１である。
• 　ＡＢ｜ＣＤ
  としている。

　自分自身をも割り切る

• 　定義５ー１の補足２（割り切る）
  による。
  
• 　ＡＢ｜ＡＢ
  となっている。

から、
　ＡＢはＡＢ、ＣＤの公約量
である。

• 　場合分けの１、前節
  　定義の補足（命題１０ー３）（公約量・最大公約量）
  による。
  
• 　ＡＢ｜（ＡＢ、ＣＤ）
  となっている。

そして
　最大
でもあることは明らかである。

なぜなら
　量ＡＢより大きい量は
　ＡＢを割り切らない
であろうから。

• 　定義５ー１の補足２（割り切る）
  による。
  
• 　「なぜなら・・・であるから」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  　参照のこと。
  
• 　ＡＢ｜（ＡＢ、ＣＤ）（最大）
  となっている。

次に
　ＡＢがＣＤを割り切らない
とせよ。

• 　場合分けの２である。
• 　ＡＢ¬｜ＣＤ
  となっている。

そうすれば
　つぎつぎに小さいほうが
　大きいほうからひかれる

• 　命題１ー３（作図.等しい線分を切り取る）
  による。
  

ならば、
　ＡＢ、ＣＤは通約不可能ではない

• 　命題の設定による。
• 　ＡＢ∩ＣＤ
  となっている。

から、
　いつか残された量が
　自分の前の量を割り切る
ことになるであろう。

• 　背理法の仮定として
  もし
  　いつまでも割り切らない
  とすれば、
  　命題１０ー２（互除で余るなら非通約）
  により、
  　ＡＢとＣＤは通約でない
  となり、
  　前節に矛盾する
  ことによる。

　ＡＢがＥＤを割り切り、
　自分より小さいＥＣを残す
とし、
　　　　　　[......(ａ)]

• 　ＡＢ｜ＥＤ、
  　ＡＢ＞ＥＣ、
  　ＣＤ＝ＥＣ＋ＥＤ
  となっている。

　ＥＣがＦＢを割り切り、
　自分より小さいＡＦを残す
とし、
　　　　　　[......(ｂ)]

• 　ＥＣ｜ＦＢ、
  　ＥＣ＞ＡＦ、
  　ＡＢ＝ＡＦ＋ＦＢ
  となっている。

　ＡＦがＣＥを割り切る
とせよ。
　　　　　　[......(ｃ)]

• 　ＡＦ｜ＣＥ、
  となっている。
• 　準一般的な証明である。
  　コメント２（命題５ー１）
  　参照のこと。
  

そうすれば
　ＡＦはＣＥを割り切り、
　他方
　ＣＥはＦＢを割り切る

• 　前節、 （ｂ）による。
• 　ＡＦ｜ＣＥ、ＣＥ｜ＦＢ
  となっている。

から、
　ＡＦもＦＢを割り切る
であろう。

• 　命題５ー３の補足（倍量の倍量は倍量）
  による。
• 　ＡＦ｜ＦＢ
  となっている。

そして
　自分自身をも割り切る。

• 　定義５ー１の補足２（割り切る）
  による。
  
• 　ＡＦ｜ＡＦ
  となっている。

したがって
　ＡＦはＡＢ全体をも割り切る
であろう。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、前々節
  　命題５ー２の補足（倍量の和は倍量）
  による
  
• 　ＡＦ｜ＡＢ
  となっている。

ところが
　ＡＢはＤＥを割り切る。

• 　（ａ）による。
• 　ＡＢ｜ＤＥ
  となっている。

それゆえ
　ＡＦはＥＤをも割り切る
であろう。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー３の補足（倍量の倍量は倍量）
  による。
  
• 　ＡＦ｜ＥＤ
  となっている。

そして
　ＣＥをも割り切る。

• 　（ｃ）による。
• 　ＡＦ｜ＣＥ
  となっている。

したがって
　ＣＤ全体をも割り切る。

• 　前節、前々節
  　命題５ー２の補足（倍量の和は倍量）
  による
  
• 　ＡＦ｜ＣＤ
  となっている。

したがって
　ＡＦはＡＢ、ＣＤの公約量
である。

• 　前節、 （１）による。
• 　ＡＦ｜（ＡＢ、ＣＤ）
  となっている。

次に
　最大でもある
と主張する。

もし
　最大でない
ならば、

• 　背理法の仮定を述べようとしている。

　ＡＦより大きく、
　ＡＢ、ＣＤを割り切る
　何らかの量がある
であろう。

• 　背理法の仮定である。

　それをＧ
とせよ。

• 　Ｇ＞ＡＦ、Ｇ｜（ＡＢ、ＣＤ）
  となっている。

そうすれば
　ＧはＡＢを割り切り、
　他方
　ＡＢはＥＤを割り切る

• 　前節、 （ａ）による。
• 　Ｇ｜ＡＢ、ＡＢ｜ＥＤ
  となっている。

から、
　ＧはＥＤをも割り切る
であろう。

• 　前節、
  　命題５ー３の補足（倍量の倍量は倍量）
  による。
  
• 　Ｇ｜ＥＤ
  となっている。

そして
　ＣＤ全体をも割り切る。

• 　背理法の仮定である。
• 　Ｇ｜ＣＤ
  となっている。

したがって
　Ｇは残りのＣＥをも割り切る
であろう。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー６の補足（倍量の差は倍量）
  による。
  
• 　Ｇ｜ＣＥ
  となっている。

ところが
　ＣＥはＦＢを割り切る。

• 　（ｂ）による。
• 　ＣＥ｜ＦＢ
  となっている。

したがって
　ＧはＦＢをも割り切る
であろう。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー３の補足（倍量の倍量は倍量）
  による。
  
• 　Ｇ｜ＦＢ
  となっている。

そして
　ＡＢ全体をも割り切り、

• 　背理法の仮定による。
• 　Ｇ｜ＡＢ
  となっている。

　残りのＡＦをも割り切る
であろう、

• 　前節、前々節、
  　命題５ー６の補足（倍量の差は倍量）
  による。
  
• 　Ｇ｜ＡＦ
  となっている。

　すなわち
　大きい量が小さい量を割り切る
であろう。

• 　背理法の仮定による。
• 　Ｇ＞ＡＦ
  となっている。

　これは不可能である。

• 　定義５ー１の補足２（割り切る）
  による。
  

それゆえ
　ＡＦより大きいいかなる量も
　ＡＢ、ＣＤを割り切らない
であろう。

• 　背理法による。

したがって
　ＡＦはＡＢ、ＣＤの最大公約量である。

• 　ＡＦ｜（ＡＢ、ＣＤ）（最大）
  となっている。

• 　場合分けの２つが終了。

よって
　２つの通約できる量ＡＢ、ＣＤが与えられた
とき、
　それらの最大公約量が見いだされた。

　これが証明すべきことであった。

　系
これから
　次のことが明らかであろう、

すなわち
もし
　１つの量が２つの量を割り切る
ならば、
　それらの最大公約量をも割り切る
であろう。

(以下、命題１０ー３の系２（公約量は最大公約量を割り切る）という。)

• 　最大であることの推論による。
  　Ｇ＞ＡＦ
  という設定を除けばよい。
  

• 命題１０ー３は、
  　Ａ∩Ｂ、Ａ＜Ｂ
  のとき、
  　Ａm＝Ｑm×Ｂm＋Ａm+1、
  　Ｂm＝Ｑ'm×Ａm+1＋Ｂm+1、
  　Ｂm＞Ａm+1≧０、
  　Ａm+1＞Ｂm+1≧０
  として、
  あるｍについて、
  　Ａm+1＝０ならば、ＢmがＡ1、Ｂ1の最大公約量、
  　Ｂm+1＝０ならば、ＡmがＡ1、Ｂ1の最大公約量
  ということである。
  
  
• 命題１０ー３の系２（公約量は最大公約量を割り切る）

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	10-3
  その他

• 命題１０ー３は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		5-1補2,補(題10-3)
  公準
  公理
  命題	1-3	5-2補,5-3補,5-6補,10-2
  その他	コ6(題5-1)	コ2(題1-16),コ2(題5-1),場合分け,背理法

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