ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論
第10巻
命題10ー20
(有理線分上の有理面積の矩形幅は底辺と長さで通約)
幅
もし
有理面積
の
矩形
が
有理線分
上につくられる
ならば、
有理
で
かつ
矩形
の
底辺
と
長さにおいて通約
できる
線分
を幅
とする。
有理面積は、
定義10ー4の補足
による。
矩形は、
定義1ー22
による。
有理線分は、
定義10ー3の補足
による。
有理は、
定義10ー3
による。
底辺は、
定義の補足(命題1ー35)
による。
長さにおいて通約は、
定義10ー2の補足
による。
線分は、
定義の補足(命題1ー1)
による。
幅
は、
矩形において、
底辺と直角に交わる辺
のことである。
(以下、
定義の補足(命題10ー20)
(幅)という。)
これまで
一般用語として登場していた
が、
底辺と対になる意味においては
初出である。
定義の補足(命題1ー1)
による。
有理面積
の
矩形
ACが
先に述べられたいずれかの意味で
有理
である
線分
AB上に
BCを幅としてつくられた
とせよ。
先に述べられたいずれかの意味とは、
指定された有理線分と、
長さにおいて、
あるいは
平方において
通約できる
という意味である。
実際の作図は、
以下による。
命題の補足2(定義10ー3)
(作図.任意の有理線分)
により、
有理線分ABをとり、
命題10ー6の系3
(作図.長さ・平方で通約可の線分)
により、
有理線分ABと
長さにおいて通約できる線分A'B'、B'C'をとる。
命題2ー1の補足
(作図.矩形)
により、
矩形A'B'、B'C'をつくる
と、
命題10ー19
(長さで通約な有理線分の矩形は有理面積)
により
矩形A'B'、B'C'は
有理面積である。
命題6ー12
(作図.比例第4項)
により
AB:A'B'=B'C':BC
となるように
BCをとり、
命題2ー1の補足
(作図.矩形)
により、
矩形AB、BCをつくる
と、
定義1ー22
により
矩形は等角である
から、
命題6ー14
(等積で等角な平行四辺形と逆比例)
により
矩形AB、BCは
矩形A'B'、B'C'に等しい。
よって、
矩形AB、BCは有理面積で
有理線分AB上にある。
rec(AB、BC)=有理面積
となっている。
BCは
有理線分
であり、
BAと
長さにおいて通約
できる
と主張する。
AB上に
正方形
ADが
描かれた
とせよ。
[......(a)]
命題1−46
(作図.線分上に正方形)
による。
sq(AD)=sq(_AB)
となっている。
そうすれば
ADは
有理面積
である。
前節、
命題の補足2(定義10ー4)
(作図.有理面積の正方形)
による。
sq(AD)=有理面積
となっている。
そして
ACも
有理面積
である。
命題の設定
による。
rec(AC)=有理面積
となっている。
それゆえ
DAは
ACと
通約
できる。
前節、前々節、
定義10ー4の補足
(有理面積、無理面積)
による。
sq(DA)∩rec(AC)
となっている。
そして
DAがACに
対するように
、
DBがBCに
対する
。
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
による。
sq(DA):rec(AC)=DB:BC
となっている。
したがって
DBもBCと
通約
できる。
命題10ー11
(4量比例で一方が通約なら他方も通約)
による。
DB∩BC
となっている。
そして
DBはBAに
等しい
。
(a)
、
定義1ー22
(正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン)
による。
DB=BA
となっている。
それゆえ
ABもBCと
通約
できる。
前節、
定義10ー1
(通約)
により、
DBはBAと通約でき
命題10ー12
(通約量と通約なら通約)
による。
AB∩BC
となっている。
そして
ABは
有理線分
である。
命題の設定
による。
AB:有理線分
となっている。
したがって
BCも
有理線分
であり、
ABと
長さにおいて通約
できる。
前節、前々節、
定義10ー3の補足
(有理線分)
による。
BC:有理線分、
BC∩AB
となっている。
よって
もし
有理面積
の
矩形
が
有理線分
上につくられる
ならば
云々。
云々は以下の通り。
「有理で
かつ
矩形の底辺と
長さにおいて通約できる
線分を幅
とする。」
命題10ー20
は、
A:有理線分、
rec(A、B):有理面積
ならば、
B:有理線分、
B∩A
のことである。
命題10ー20
は推論用命題である。
前提
作図・構成
推論
定義
1-22
,
10-1
,
10-4補
,
10-12
公準
公理
命題
1-46
,
2-1補
,
6-12
,
補2(義10-3)
10-6系3
6-1
,
6-14
,
補2(義10-4)
,
10-11
,
10-19
その他
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