ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー６７（双中項線分と長さ通約の線分は同順位の双中項線分）
双中項線分の順位
双中項線分と
長さにおいて通約できる線分は
それ自身双中項線分であり、
順位において同じである。

• 双中項線分は、
  定義の補足（命題１０ー５６）による。
• 長さにおいて通約は、
  定義１０ー２の補足による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。
• 双中項線分の順位は、
  　定義の補足(命題１０ー３７、 ３８)で定まる順位である。 (以下、定義の補足(命題１０ー６７) (双中項線分の順位)という。)
  

　ＡＢを双中項線分とし、
　ＣＤをＡＢと長さにおいて通約できる
とせよ。
　ＣＤは
　　双中項線分であり
　　ＡＢと順位において同じである
と主張する。

• 　命題１０ー２７（作図.２中項線分;矩形が有理面積、平方でのみ通約）
  　により、
  　中項線分ＡＥ,ＥＢ；
  　　,ＡＥ∩^^2 ＥＢ
  　　,矩形(ＡＥ,ＥＢ)；有理面積）
  をとれば、
  　命題１０ー３７（平方でのみ通約で有理面積をかこむ中項線分和は第１双中項線分）
  　ＡＢ：第一双中項線分、
  　命題１０ー２８（作図.２中項線分;矩形が中項面積、平方でのみ通約）
  により、
  　中項線分ＡＥ、ＥＢ；
  　　ＡＥ∩^^2 ＥＢ、
  　　矩形(ＡＥ、ＥＢ)；中項面積、
  とれば、
  　命題１０ー３８（平方でのみ通約、中項面積を囲む中項線分の和は第２双中項線分）
  　ＡＢ；無理線分、第２の双中項線分
  となり、
  　命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
  による。
  
• 　ＣＤ；∩ＡＢ
  となっている。

　ＡＢは
　　双中項線分である

• 　命題の設定による。
• 　ＡＢ；双中項線分
  となっている。

から、
　Ｅで二つの中項線分に分けられた
とせよ。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー５６）(双中項線分)
  による。
• 　ＡＥ、ＥＢ；中項線分、
  　ＡＥ∩^^2 ＥＢ
  となっている。

そうすれば
　ＡＥ、ＥＢは
　　平方においてのみ通約できる中項線分である。

• 　前節による。
• 　ＡＥ∩^^2 ＥＢ
  となっている。

そして
　ＡＢが
　　ＣＤに対するように、
　ＡＥが
　　ＣＦに対するようにされた
とせよ。
　　　　　　[......(１)]

• 　命題６ー２の補足（作図.比例第４項）
  による。
• 　ＡＢ：ＣＤ＝ＡＥ：ＣＦ
  となっている。

そうすれば
　残りのＥＢが
　　残りのＦＤに対するように、
　ＡＢが
　　ＣＤに対する。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、
  　命題５ー１７（合比で比例なら分割比でも比例）
  による。
• 　ＥＢ：ＦＤ＝ＡＢ：ＣＤ
  となっている。

ところが
　ＡＢは
　　ＣＤと長さにおいて通約できる。

• 　命題の設定による。
• 　ＡＢ∩ＣＤ
  となっている。

したがって
　ＡＥ、ＥＢの双方も
　　ＣＦ、ＦＤの双方と通約できる。
　　　　　　[......(５)]

• 　前節、前々節、
  （１）、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＡＥ∩ＣＦ、
  　ＥＢ∩ＦＤ
  となっている。

そして
　ＡＥ、ＥＢは
　　中項線分である。

• 　命題の設定による。
• 　ＡＥ、ＥＢ；中項線分
  となっている。

それゆえ
　ＣＦ、ＦＤも
　　中項線分である。
　　　　　　[......(４)]

• 　前節、
  　命題１０ー２３（中項線分と平方で通約なら中項線分）
  による。
• 　ＣＦ、ＦＤ；中項線分
  となっている。

そして
　ＡＥが
　　ＥＢに対するように、
　ＣＦが
　　ＦＤに対し、
　　　　　[......(６)]

• 　（１）、
  （２）
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  による。
• 　ＡＥ：ＥＢ＝ＣＦ：ＦＤ
  となっている。

　ＡＥ、ＥＢは
　　平方においてのみ通約できる

• 　命題の設定による。
• 　ＡＥ∩^^2 ＥＢ
  となっている。

から、
　ＣＦ、ＦＤも
　　平方においてのみ通約できる。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＣＦ∩^^2 ＦＤ
  となっている。

ところが
　中項線分である
ことも証明された。

• 　（４）による。
• 　ＣＦ、ＦＤ；中項線分
  となっている。

したがって
　ＣＤは
　　双中項線分である。
　　　　　　　　[......(８)]

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー５６）(双中項線分)
  による。
• 　ＣＤ；双中項線分
  となっている。

次に
　ＡＢと順位において同じである
と主張する。
　ＡＥが
　　ＥＢに対するように、
　ＣＦが
　　ＦＤに対する

• 　（５）による。
• 　ＡＥ：ＥＢ＝ＣＦ：ＦＤ
  となっている。

から、
　ＡＥ上の正方形が
　　矩形ＡＥＢに対するように、
　ＣＦ上の正方形が
　　矩形ＣＦＤに対する。

• 　前節、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
  
• 　正方(_ＡＥ)：矩形(ＡＥＢ)＝正方(_ＣＦ)：矩形(ＣＦＤ)
  となっている。

いれかえて
　ＡＥ上の正方形が
　　ＣＦ上の正方形に対するように、
　矩形ＡＥＢが
　　矩形ＣＦＤに対する。

• 　前節、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  による。
• 　正方(_ＡＥ)：正方(_ＣＦ)＝矩形(ＡＥＢ)：矩形(ＣＦＤ)
  となっている。

ところが
　ＡＥ上の正方形は
　　ＣＦ上の正方形と通約できる。

• 　（６）、
  　命題１０ー９の系２(長さで通約なら平方で通約)
  による。
• 　正方(_ＡＥ)∩正方(_ＣＦ)
  となっている。

したがって
　矩形ＡＥＢも
　　矩形ＣＦＤと通約できる。
[......(７)]

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　矩形(ＡＥＢ)∩矩形(ＣＦＤ)
  となっている。

そこで

• 　命題の設定により、
  　ＡＥ、ＥＢ；中項線分、
  　ＡＥ∩^^2 ＥＢ
  となり、
  　命題１０ー２５（平方のみ通約な中項線分の矩形は有理面積か中項面積）
  による。
  
• 　矩形(ＡＥＢ)；有理面積か中項面積
  となっている。
• 場合分けになる。
  矩形(ＡＥＢ)；有理面積の場合[case01] 、
  矩形(ＡＥＢ)；中項面積の場合[case02] 、
  場合分け終了[case0e] 　

case01]
　 もし
　矩形ＡＥＢが
　　有理面積である
ならば、

• 　case01である。
• 　矩形(ＡＥＢ)；有理面積
  となっている。

　矩形ＣＦＤも
　　有理面積である。

• 　前節、 （７）、
  　定義１０ー４の補足 （有理面積、無理面積）
  による。
• 　矩形(ＣＦＤ)；有理面積
  となっている。

そして
このゆえに
　第１の双中項線分である。

• 　前節、
  （８）、
  　定義の補足（命題１０ー５６）(双中項線分)
  による。
  
• 　ＣＤ；第１の双中項線分
  となっている。

[case02]
　 もし
　　中項面積である
ならば、

• 　case02である。
• 　矩形(ＡＥＢ)；中項面積
  となっている。

　　中項面積であり、
　双方は
　　第２の双中項線分である。

• 　前節、
  （８）、
  　定義の補足（命題１０ー５６）(双中項線分)
  による。
  
• 　ＣＤ；第２の双中項線分
  となっている。

[case0e]
　 そして
このゆえに
　ＣＤは
　　ＡＢと順位において同じである。
これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー６７は、
  　命題１０ー２７、
  または
  　命題１０ー２８
  により、
  　ＡＥ；中項線分、
  　ＥＢ；中項線分、∩^^2 ＡＥ、
  　矩形(ＡＥＢ)；有理面積または中項面積
  をとれば、
  　ＡＢは、
  　　第１または第２の双中項線分
  となり、
  　命題１０ー６の系３
  により
  　ＣＤ；∩ＡＢ、
  　ＣＦ；ＡＢ：ＣＤ＝ＡＥ：ＣＦ、
  　ＦＤ＝ＣＤーＦＤ
  をとれば、
  　ＣＤ；ＡＢと同順位の双中項線分
  のことである。
  
• 命題１０ー６７は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-4補,補(題10-56)
  公準
  公理
  命題	6-2補,10-27,10-28,10-6系3	5-11,5-16,5-17,6-1,10-9系2,10-11,10-23,10-25,10-37
  その他		場合分け

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