ユークリッド原論をどう読むか（９）
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ユークリッド原論

第５巻

□定義
＜約量・倍量＞
定義５ー１（約量）
　小さい量は、
　大きい量を割り切るときに、
　大きい量の約量である。

• 小さいは、公理１ー８の補足 による。
• 量とは、その何らかの大きさのものでもって、
  　何個分と量りうるものである。
  この何らかの大きさのものは、
  　単位とよばれる。
  （以下、定義５ー１の補足（量） という）
• 原論においては、
  　個数の表現において用いられる
  　自然数のみが
  　数である。
  
• 大きいは、公理１ー８ による。
• 割り切るとは、
  　対象とする量を量る量で
  　過不足なく、
  　何個分と量りきる
  　ということである。
  　ＡがＢを割り切るとき
  　Ａ｜Ｂと示す。
  （以下、定義５ー１の補足２（割り切る） という）
• 割るとは、
  　対象とする量を
  　量る量で何個分と
  　量れる限り量ることである。
  　量る量より小さい量が
  　量り切られずに残ることがある。
  量った結果の何個分が第７巻にいう
  　商である。
  （以下、定義５ー１の補足４（割る） という）
• 命題６ー９ までは、
  　線分で示された量の約量を
  　作図することができない。
  倍量を作図することで、
  　命題を論証している。
  （以下、コメント３（定義５ー１） (約量の作図はまだ)という。）
  命題５ー１５ 参照のこと。
• 　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  により、
  　等しい量を
  　等しい量で割った
  　結果は等しい。
  
  (以下、公理の補足５（定義５ー１） （等を等で割る）という。)
  

定義５ー２（倍量）
　そして
　大きい量は、
　小さい量によって割り切られるときに、
　小さい量の倍量である。

• 倍量と約量とは対になっている。
• 線分で示された量の倍量の作図は
  　公準１ー２により
  　線分を十分に延長し、
  　命題１ー３の補足により、
  　最初の線分に等しい線分を
  　必要な回数だけ、
  　端点をあわせ継ぎ足して
  　取っていけばよい。
  （以下、命題の補足（定義５ー２）（作図.倍量）という。）

＜比・比例＞
定義５ー３（比）
　比とは
　同種の２つの量の間の大きさに関する
　ある種の関係である。

• 大きさという用語が
  　ここに初めて登場する。
• 同種のは、
  　量る、量られることが
  　できるということである。
  量り切ることができない、
  　すなわち、
  　割り切ることができない
  　　場合も
  　含めて表現している。

定義５ー４（比をもつ）
　何倍かされて
　互いに他より大きくなりうる２量は
　相互に比をもつ
　といわれる。

• 公準１ー２の補足（アルキメデスの原理）が基礎にある。
• 定義の補足（公理１ー５） の通り、
  何倍かするとは、
  　個数分の和（自然数倍）を想定している。
  
• 比をもつ２量は、
  　定義５ー３ により、
  　同種の量である。
• 相互に比をもつとは、
  　一方の、
  　他方に対する比が定まる
  　ということである。
  
• 割り切る、割り切られるという場合以外、
  　例えば
  　正方形の１辺と対角線という場合
  　（今日でいう無理数倍）
  　も想定しているので、
  　こういう表現になる。
• 正方形の１辺と対角線の場合は、
  対角線は、
  　そのまま、
  　すなわち１倍で、
  　１辺より大きく、
  １辺は
  　２倍されると
  　対角線より大きくなる。
  √２倍したらよいという議論は
  　そもそも前提から外れている。

定義５ー５（同じ比）
　第１の量と第３の量の同数倍が
　第２の量と第４の量の同数倍に対して、
　何倍されようと、同順にとられたとき、
　それぞれ
　共に大きいか、共に等しいか、
　または共に小さいとき、
第１の量は
　第２の量に対して
　第３の量が第４の量に対すると
　　同じ比にある
　といわれる。

• 同数倍とは、
  　倍は定義の補足（公理１ー５）によるので、
  　同じ個数分の和（同じ自然数倍）のことである。
  （以下、定義５ー５の補足（同数倍） という）
  
• 同順とは、
  　比と同じ順において比較する
  ということである。
  すなわち、
  　それぞれ同数倍された、
  　第１・第３と、第２・第４について、
  　第１と第２、第３と第４を比較する
  　ということである。
  
• 等しいは、公理１ー７ による。
• 正方形の対角線を１辺とする、
  　新たな正方形をつくり、
  　前者の正方形の１辺ａが
  　その対角線ｂに対してもつ比と、
  　後者の正方形の１辺ｃが
  　その対角線ｄに対してもつ比については、
  　次のように考えることになる。
  ａ、ｃの１４倍は
  　ｂ、ｄの１０倍より同時に小さく、
  　ａ、ｃの１５倍は
  　ｂ、ｄの１０倍より同時に大きい。
  以下、
  　１４１倍と１００倍、
  　１４２倍と１００倍、
  　１４１４倍と１０００倍、
  　１４１５倍と１０００倍
  　・・・
  　としてみると、
  　ともに等しい場合はないが、
  　大きいときはともに大きく、
  　小さいときはともに小さいので、
  　ａはｂに対して、
  　ｃがｄに対するのと同じ比にある
  　とする。
• 量については
  　等しいと表現するが、
  　比については
  　等しいとはいわず
  　　同じと表現している。
• 　定義５ー５の補足 、
  　公理１ー５の補足２
  により
  　等しいものの同数倍は等しく、
  　公理１ー６の補足３
  により
  　等しいものの同数等分は等しい
  ので、
  　約量に等しいものは約量であり、
  　倍量に等しいものは倍量であり、
  　等しいものの約量は約量であり、
  　等しいものの倍量は倍量である。
  　(以下、公理の補足２（定義５ー５）(約倍量に等しいものは約倍量など)という。)
  
  　この補足
  により
  　約量・倍量に関して
  　代入することができる
  　(以下、公理の補足３（定義５ー５） (約量(倍量)での代入の原理）という。)
  

定義５ー６（比例）
　同じ比をもつ《２》［いくつかの］量は
　比例する
　といわれる
　とせよ。

• 定義５ー３ により、
  　比は２量の関係である。
  同じ比をもつとは、
  　２量の関係が２つ以上あって、
  　その比が同じということである。
• 今日で言う
  　比例式の表現を想定していない。
  ａ、ｂ、ｃという量の列があり、 【・・・(1)】
  　ａがｂに対して、
  　　ｂがｃに対すると同じ比にあるとき、
  　「ａとｂ」と「ｂとｃ」とは比例する
  　ということにしようということである。

定義５ー７（大きい比）
　［定義５ー５ のように］同数倍された量のうち、
　第１の量の倍量が
　第２の量の倍量より大きいが、
　第３の量の倍量が第４の量の倍量より大きくないとき、
第１の量は
　第２の量に対して
　第３の量が第４の量に対するより
　　大きい比をもつ
　といわれる。

• 逆に、
  　定義５ー５ のように
  　　同数倍された量のうち、
  　第１の量の倍量が
  　第２の量の倍量より小さいが、
  　第３の量の倍量が第４の量の倍量より小さくないとき、
  第１の量は
  　第２の量に対して
  　第３の量が第４の量に対するより
  　　小さい比をもつ
  　といわれる。
  （以下、定義５ー７の補足（小さい比） という）
• 比の大小の定義に矛盾が生じないことは
  　次により証明される。
  ある倍数（個数）ｍ、ｍ’があって、
  　ｍＡ＞ｍ’ＢかつｍＣ＜＝ｍ’Ｄ
  また、
  　ある倍数ｎ、ｎ’があって、
  　ｎＣ＞ｎ’ＤかつｎＡ＜＝ｎ’Ｂ
  　となることはない。
  
  (以下、命題の補足２(定義５ー７) (比の大小の定義の無矛盾性)という）
  背理法の仮定として、
  　そのようなｍ、ｍ’、ｎ、ｎ’があったとする。
  　定義の補足（公理１ー５）（同じもののｎ倍） 、
  　公理１ー４の補足３（大きい（小さい）ものどうしを加える）
  により
  　ｍｎＡ＞ｍ’ｎＢかつｍｎＣ＜＝ｍ’ｎＤ
  また
  　ｍｎＡ＜＝ｍｎ’ＢかつｍｎＣ＞ｍｎ’Ｄ
  となる。
  ｍｎＡ＞ｍ’ｎＢであり
  　ｍｎＡ＜＝ｍｎ’Ｂであるから、
  公理１ー８の補足３（大きい・小さいものより大きい・小さい）
  により
  　ｍ’ｎＢ＜ｍｎ’Ｂとなり、
  　ｍ’ｎ＜ｍｎ’となる。【・・・(1)】
  同様にして
  　ｍｎ’Ｄ＜ｍ’ｎＤとなり、
  　ｍｎ’＜ｍ’ｎとなる。【・・・(2)】
  (1)(2)、
  公理１ー８の補足３（大きい・小さいものより大きい・
  小さい） により
  　ｍ’ｎ＜ｍｎ’＜ｍ’ｎ
  となるが、これは不可能である。
  背理法により、
  　命題の補足のｍ、ｍ’、ｎ、ｎ’は存在しないことが
  　証明された。
  これにより、
  　比の大小の定義に
  　矛盾が生じないことがわかる。
  
• 　定義５ー５（同じ比）、
  　定義５ー７（大きい比）、
  　定義５ー７の補足（小さい比）
  　命題の補足２(定義５ー７)(比の大小の定義の無矛盾性)
  により、
  　比は、
  　他の比に対して、
  　同じ
  か
  　大きい
  か
  　小さい。
  (以下、公理の補足３（定義５ー７） (比は等か大か小)という。)
  

定義５ー８（比例は３項以上）
　比例は
　少なくとも３つの項をもつ。

• （比例）項とは、
  　量の列における
  　要素のことである。
  ３つの項の場合は、
  　定義５ー６･･･(1) のような１つの列である。
  ４つの項の場合は、
  　「ａがｂに対するように、
  　ｃがｄに対する。」
  　となるが、
  　ａ，ｂという列とＣ，Ｄという列の
  　２つの列を考えている。
  （以下、定義５ー８の補足（(比例)項）という）

定義５ー９（２乗の比）
　３つの量が比例するとき、
第１の量は
　第３の量に対して
　第２の量に対する比の
　　２乗の比をもつ
　といわれる。

• ３つの量は、
  　ａ、ｂ、ｃのような量の列である。
• １辺ａの正方形の対角線ｂを１辺とする、
  　新たな正方形をつくり、
  　その対角線ｃとして、
  　ａ、ｂ、ｃという量の列は比例している。
  今日的には、
  　ａ：ｂ＝ｂ：ｃ＝√(2)
  　であるとき
  　ａ：ｃ＝２
  　ということであるが、
  　原論の立場では
  　√(2)は数とは見なしていない。
  原論は√(2)を数と見なさず、
  　比例論を展開していくのである。

＜いろいろな比＞
定義５ー１０（３乗の比）
　４つの量が比例するとき、
第１の量は
　第４の量に対して
　第２の量に対する比の
　　３乗の比をもつ
　といわれる。
そして
　何個の量が比例しようと
　常に
　つぎつぎに同様である。

• ここにいう４つの量は、
  　ａ、ｂ、ｃ、ｄのような１つの量の列である。

定義５ー１１（対応する量）
　［比例において］前項は前項に対し、
　後項は後項に対し
　対応する量
　と呼ばれる。

• 前項とは、
  　比を考えるときの前項である。
  すなわち、
  　ａのｂに対する比という場合の
  　ａのことである。
  いわゆる、
  　比べられる量のことである。
  （以下、定義５ー１１の補足（前項） という）
• 後項とは、
  　比を考えるときの後項である。
  すなわち、
  　ａのｂに対する比という場合の
  　ｂのことである。
  いわゆる、
  　基になる量のことである。
  （以下、定義５ー１１の補足２（後項） という）

定義５ー１２（錯比）
　［比例において］錯比とは
　前項に対し前項［の比］を、
　後項に対し後項［の比］を
　とることである。

• 原論においては、
  　錯比を考え得るのは、
  　２つの量の列が、
  　同一の量である場合に限られる。
  長さの面積に対する比というものは
  　想定されていない。
  
• 中村他訳の原論においては、
  いれかえる という表現で
  　錯比を意味する も場合と、
  　乱比例を意味する 場合がある。
  どちらも
  　「いれかえて」と
  　同じ動詞で表現されているが
  　Euclid's Elements
  （Clark University Professor D.E.Joyceの
  http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html）
  　においては、
  　錯比は、
  　they are also proportional alternately
  　というように表現され、
  　乱比例は、
  　the proportion of them is perturbed
  　というように表現され、
  　明確に区別される。
  （以下、コメント（定義５ー１２）(いれかえる)という。）
• ａに対しｂの比をとるは、
  　定義５ー４ により、
  　ｂがａに対してもつ比を
  　考えることである。

定義５ー１３（逆比）
　逆比とは
　後項を前項とし、
　前項を後項として
　とることである。

• 後項の、
  　前項に対する比を考えることである。
• 錯比のように、
  　比例において考えているのではない。

定義５ー１４（比の複合・合比）　比の複合とは
　前項と後項との和を
　後項そのものに対して
　とることである。

• 合比ともいう。
• 前項と後項との和の、
  　後項に対する比を考えることである。
• 線分で示された量の和の作図は
  　公準１ー２により
  　加えられる量の線分を十分に延長し、
  　命題１ー３の補足により、
  　加える線分に等しい線分を
  　端点をあわせ継ぎ足せばよい
  （以下、命題の補足（定義５ー１４） （作図.量の和）という。）

定義５ー１５（比の分割・分割比）
　比の分割とは
　前項と後項の差を
　後項そのものに対して
　とることである。

• 分割比ともいう。
• 前項と後項との差の、
  　後項に対する比を考えることである。
• 線分で示された量の差の作図は
  　差し引かれる量の線分から、
  　命題１ー３の補足により、
  　差し引く線分に等しい線分を
  　端点をあわせ引き去ればよい
  （以下、命題の補足（定義５ー１５） （作図.量の差）という。）

定義５ー１６（比の反転）
　比の反転とは
　前項を
　前項と後項の差に対して
　とることである。

• 前項の、
  　前項と後項との差に対する
  　比を考えることである。

定義５ー１７（等間隔比）
　等間隔比とは
　いくつかの量と、
　それと同じ個数で、
　かつ
　２個ずつとられるとき、
　　同じ比をなす
　　他の量とがあり、
　第１の量において
　　初項が末項に対するように、
　第２の量において
　　初項が末項に対する場合である。
いいかえれば
　内項をぬかして
　外項をとることである。 　

• 個数という表現が
  　ここで初めて登場する。
  個数 とは、
  　１個、２個と
  　数えることができる
  　量における大きさである。
  （以下、定義５ー１７の補足（個数）という。）
• 項数が同じである
  　２つの量の列が
  　考えられている。
• ２つの量の列において、
  　対応する２個づつの項は
  　同じ比をなしている。
• 初項の、
  　末項に対する比が
  　同じであるということである。
• 例えば、
  　第１の量の列が
  　　１、２、６、３
  　第２の量の列が
  　　２、４、１２、６
  　となる場合である。

定義５ー１８（乱比例）
　乱比例とは
　３つの量と
　それらと同じ個数の
　　他の量とがあり、
　［最初の比例では、］
　第１の量において
　　前項が次項に対するように、
　第２の量において
　　前項が次項に対し、
　［次の比例では、］
　第１の量において
　　［最初の比例の］次項が第３項に対するように、
　第２の量において
　　第３項が［最初の比例の］前項に対する場合である。

• 項数が３である量の列が２つ考えられている。
• 乱比例について述べていると考えられる
  　命題５ー２１ 、２３ においては、
  　Ａ、Ｂ、Ｃという量と
  　Ｄ、Ｅ、Ｆという量において、
  　Ａ：Ｂ＝Ｅ：Ｆ、Ｂ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ
  　という場合を扱っている。
  これから考えると、
  　最初の比例において、
  　第１の量では前項Ａと後項Ｂ、
  　第２の量では前項Ｅと後項Ｆ、
  　次の比例においては、
  　最初の比例に登場したものを受けて、
  　第１の量では後項Ｂと第３の項Ｃ、
  　第２の量では第３の項Ｄと前項Ｅ、
  　という意味であろう。
  確かに、「いれかわっている」。
  以上の意味になるように、少し本文を補足してある。
• 例えば、
  　第１の量の列が
  　　１、２、３
  　第２の量の列が
  　　２、３、６
  　となる場合である。
• 「いれかえる」は、
  　コメント（定義５ー１２）参照のこと。

• 命題の補足（定義５ー２）（作図.倍量）

  前提	作図	推論
  定義
  公準	1-2
  公理
  命題	1-3補
  その他

• 命題の補足２(定義５ー７) (比の大小の定義の無矛盾性)

  前提	作図	推論
  定義		補(理1-5)
  公準
  公理		1-4補3,1-8補3
  命題
  その他		背理法

• 命題の補足（定義５ー１４） （作図.量の和）

  前提	作図	推論
  定義
  公準	1-2
  公理
  命題	1-3補
  その他

• 命題の補足（定義５ー１５） （作図.量の差）

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	1-3補
  その他

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