ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー１１３（余線分上の有理面積矩形の幅は余線分各項と同じ比通約・同じ順位の項のニ項線分）
　　有理線分上の正方形
　　　に等しい
　矩形が
　　余線分の上に
　　　つくられる
ならば、
　　ニ項線分を幅
　　　とし、
　ニ項線分の二つの項は
　　余線分の二つの項と通約
　　　でき
かつ
　　同じ比
　　　をなし、
さらに
　　このようにして
　　　生じた
　ニ項線分は
　　余線分と同じ順位
　　　をもつ。

• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 矩形は、
  定義１ー２２による。
• 余線分は、
  定義の補足(命題１０ー７３)による。
• ニ項線分は、
  定義の補足（命題１０ー３６）による。
• 幅は、
  定義の補足（命題１０ー２０）による。
• 通約は、
  定義１０ー１による。
• 同じ比は、
  定義５ー５による。
• 順位は、
  　二項線分では、 定義の補足（命題１０ー６６）、
  　双中項線分では、 定義の補足(命題１０ー６７)、
  　余線分では、 定義の補足（命題１０ー１０３）、
  　中項余線分では、 定義の補足（命題１０ー１０４）による。

　　Ａを有理線分、ＢＤを余線分
　　　とし、
　　矩形ＢＤ、ＫＨを
　　Ａの上の正方形
　　　に等しくし、
したがって
　　有理線分Ａ上の正方形
　　　に等しい
　矩形が
　　余線分ＢＤ上に
　　　つくられ、
　　ＫＨを幅
　　　とするとせよ。

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  　命題１０ー１０（作図.平方のみ通約の線分・平方でも非通約の線分）
  　定義の補足(命題１０ー７３)(余線分)
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による．
• 　Ａ；有理線分、
  　ＢＤ；余線分、
  　　ＢＣ、ＤＣ；有理線分、
  　　ＢＣ∩^^2 ＤＣ、
  　辺ＫＨ.矩形(ＢＤ、ＫＨ；＝正方(_Ａ))、
  　
  となっている。

　ＫＨは
　　ニ項線分
　　　であり、
　その二つの項は
　　ＢＤのニつの項と通約
　　　でき
かつ
　　同じ比
　　　をなし、
さらに
　ＫＨは
　　ＢＤと同じ順位
　　　をもつ
と主張する。

　　ＤＣをＢＤへの付加
　　　とせよ。
　　　　[......(３)]

• 　定義の補足(命題１０ー７３)(余線分) による．
• 　ＢＤ；余線分、
  　　ＢＣ、ＤＣ；有理線分、
  　　ＢＣ∩^^2 ＤＣ、
  となっている。

　ＢＣ、ＣＤは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。
　　　　[......(１)]

• 　前節による．
• 　ＢＣ、ＤＣ；有理線分、
  　ＢＣ∩^^2 ＤＣ、
  となっている。

　矩形ＢＣ、Ｇも
　　Ａ上の正方形
　　　に等しくせよ。
　　　　[......(２)]

• 　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による．
• 　辺Ｇ.矩形(ＢＣ、Ｇ；＝正方(_Ａ))
  となっている。

ところが
　Ａ上の正方形は
　　有理面積
　　　である。

• 　命題の設定、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による．
• 　正方(_Ａ)；有理面積
  となっている。

したがって
　矩形ＢＣ、Ｇも
　　有理面積
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による．
• 　矩形(ＢＣ、Ｇ)；有理面積
  となっている。

そして
　　有理線分ＢＣ上に
　　　つくられた。

• 　前節、 （１）による．
• 　ＢＣ；有理線分、
  　矩形(ＢＣ、Ｇ)；有理面積
  となっている。

ゆえに
　Ｇは
　　有理線分
　　　であり、
　　ＢＣと長さにおいて通約
　　　できる。
　　　　[......(４)]

• 　前節、
  　命題１０ー２０（有理線分上の有理面積の矩形幅は底辺と長さで通約）
  による．
• 　Ｇ；有理線分、
  　Ｇ∩ＢＣ
  となっている。

そこで
　矩形ＢＣ、Ｇは
　　矩形ＢＤ、ＫＨ
　　　に等しい

• 　命題の設定、 （２）
  による．
• 　矩形(ＢＣ、Ｇ)＝矩形(ＢＤ、ＫＨ)
  となっている。

から、
　ＣＢが
　　ＢＤ
　　　に対するように、
　ＫＨが
　　Ｇ
　　　に対する。
　　　　[......(５)]

• 　前節、
  　命題６ー１４（等積で等角な平行四辺形と逆比例）
  による．
• 　ＣＢ：ＢＤ＝ＫＨ：Ｇ
  となっている。

ところが
　ＢＣは
　　ＢＤより
　　　大きい。

• 　（３）による．
• 　ＢＣ＞ＢＤ
  となっている。

ゆえに
　ＫＨも
　　Ｇより
　　　大きい。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  　命題５ー１４（同じ比の前(後)項の大等小）
  による．
• 　ＫＨ＞Ｇ
  となっている。

　　ＫＥをＧ
　　　に等しくせよ。

• 　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
  による．
• 　ＫＥ＝Ｇ
  となっている。

[......(１０)]
そうすれば
　ＫＥは
　　ＢＣと長さにおいて通約
　　　できる。

• 　前節、 （４）
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による．
• 　ＫＥ∩ＢＣ
  となっている。

そして
　ＣＢが
　　ＢＤ
　　　に対するように、
　ＨＫが
　　ＫＥに
　　　対する

• 　前々節、 （５）
  　命題５ー７（同一量の比）
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による．
• 　ＣＢ：ＢＤ＝ＨＫ：ＫＥ
  となっている。

から、
　　反転比により
　ＢＣが
　　ＣＤに
　　　対するように、
　ＫＨが
　　ＨＥに
　　　対する。

• 　前節、
  　命題５ー１９の系の補足２(比例ならば反転も比例)
  による．
• 　ＢＣ：ＣＤ＝ＫＨ：ＨＥ
  となっている。

　ＫＨが
　　ＨＥに
　　　対するように、
　ＨＦが
　　ＦＥに
　　　対するようにされた
とせよ。
　　　　　　[......(７)]

• 　　命題６ー１０の補足(作図.線分比による線分の内分点・外分点)
  による．
• 　ＫＨ：ＨＥ＝ＨＦ：ＦＥ
  となっている。

そうすれば
　残りのＫＦが
　　ＦＨに
　　　対するように、
　ＫＨが
　　ＨＥに、
　　すなわち
　ＢＣが
　　ＣＤに
　　　対する。
　　　　　[......(６)]

• 　前節、
  　命題５ー１９（引き去りが比例なら残りも比例）
  による．
• 　ＫＦ（ＫＨーＨＦ）：ＦＨ（ＨＥーＦＥ）＝ＫＨ：ＨＥ
  　＝ＢＣ：ＣＤ
  となっている。

ところが
　ＢＣ、ＣＤは
　　平方においてのみ通約
　　　できる。

• 　（１）
  による．
• 　ＢＣ∩^^2 ＣＤ
  となっている。

ゆえに
　ＫＦ、ＦＨも
　　平方においてのみ通約
　　　できる。
　　　　[......(８)]

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による．
• 　ＫＦ∩^^2 ＦＨ
  となっている。

そして
　ＫＨが
　　ＨＥに
　　　対するように、
　ＫＦが
　　ＦＨに
　　　対し、
他方
　ＫＨが
　　ＨＥに
　　　対するように、
　ＨＦが
　　ＦＥに
　　　対する

• 　（６） （７）
  による．
• 　ＫＨ：ＨＥ＝ＫＦ：ＦＨ、
  　ＫＨ：ＨＥ＝ＨＦ：ＦＥ
  となっている。

から、
　ＫＦが
　　ＦＨに
　　　対するように、
　ＨＦが
　　ＦＥに
　　　対する。
　　　　[......(９)]

• 　前節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による．
• 　ＫＦ：ＦＨ＝ＨＦ：ＦＥ
  となっている。

したがって
　第１項が
　　第３項に
　　　対するように、
　第１項の上の正方形が
　　第２項の上の正方形に
　　　対する。

• 　命題６ー２０の系 (系.相似四辺形の比は対応辺の比の２乗)
  　定義５ー９（２乗の比）
  による．

それゆえ
　ＫＦが
　　ＦＥに
　　　対するように、
　ＫＦ上の正方形が
　　ＦＨ上の正方形に
　　　対する。

• 　前節、前々節、
  による．
• 　ＫＦ：ＦＥ＝正方(_ＫＦ)：正方(_ＦＨ)
  となっている。

ところが
　ＫＦ、ＦＨは
　　平方において通約
　　　できる

• 　（８）による．
• 　ＫＦ∩^^2 ＦＨ
  となっている。

から、
　ＫＦ上の正方形は
　　ＦＨ上の正方形と通約
　　　できる。

• 　前節、
  　定義１０ー２（平方において通約）
  による．
• 　
  となっている。

したがって
　ＫＦも
　　ＦＥと長さにおいて通約
　　　できる。

• 　前節、 （９）、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による．
• 　ＫＦ∩ＦＥ
  となっている。

ゆえに
　ＫＦは
　　ＫＥと長さにおいて通約
　　　できる。

• 　前節、
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  による．
• 　ＫＦ∩ＫＥ
  となっている。

ところが
　ＫＥは
　　有理線分
　　　であり
　　ＢＣと長さにおいて通約
　　　できる。

• 　（１） （１０）
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による．
• 　ＫＥ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＫＦも
　　有理線分
　　　であり
　　ＢＣと長さにおいて通約
　　　できる。
　　　[......(１１)]

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による．
• 　
  となっている。

そして
　ＢＣが
　　ＣＤに
　　　対するように、
　ＫＦが
　　ＦＨに
　　　対する

• 　（６）による．
• 　ＢＣ：ＣＤ＝ＫＦ：ＦＨ
  となっている。

から、
いれかえて
　ＢＣが
　　ＫＦに
　　　対するように、
　ＤＣが
　　ＦＨに
　　　対する。
　　　[......(１２)]

• 　前節、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  による．
• 　ＢＣ：ＫＦ＝ＤＣ：ＦＨ
  となっている。

ところが
　ＢＣは
　　ＫＦと通約
　　　できる。

• 　（１１）
  による．
• 　ＢＣ∩ＫＦ
  となっている。

したがって
　ＦＨも
　　ＣＤと長さにおいて通約
　　　できる。
　　　[......(１３)]

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による．
• 　ＦＨ∩ＣＤ
  となっている。

そして
　ＢＣ、ＣＤは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。

• 　（１）
  による．
• 　ＢＣ∩^^2 ＣＤ
  となっている。

ゆえに
　ＫＦ、ＦＨも
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による．
• 　ＫＦ∩^^2 ＦＨ
  となっている。

よって
　ＫＨは
　　ニ項線分
　　　である。
　　　[......(１４)]

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー３６） (二項線分)
  による．
• 　ＫＨ；二項線分、
  　　ＫＦ、ＦＨ；有理線分、
  　　ＫＦ∩^^2 ＦＨ
  となっている。

［ＢＣ上の正方形は
　　ＣＤ上の正方形より
　　ＢＣと通約
　　　できる
　　線分上の正方形か

または、
　　ＢＣと通約
　　　できない
　　線分上の正方形

　　　だけ大きい。
　　 　(場合分け終了)］
　

• 　　排中率
  により
  　　　場合分けしている。
• 　正方(_ＢＣ)＝正方(_ＣＤ)＋正方(_Ｘ)
  　　Ｘ∩ＢＣ
  　または
  　　Ｘ¬∩ＢＣ
  となっている。

そこで
もし
　ＢＣ上の正方形が
　　ＣＤ上の正方形より
　　ＢＣと通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい
ならば、

• 　第１の場合分けである。
• 　正方(_ＢＣ)＝正方(_ＣＤ)＋正方(_Ｘ)
  　　Ｘ∩ＢＣ
  となっている。

　ＫＦ上の正方形も
　　ＦＨ上の正方形より
　　ＫＦと通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きいであろう。

• 　前節、
  　命題１０ー１４（比例４項の各辺で正方形の差の通約が対応）
  による．
• 　正方(_ＫＦ)＝正方(_ＦＨ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ∩ＫＦ
  となっている。

そして
もし
　ＢＣが
　　　定められた
　　有理線分と長さにおいて通約
　　　できる
ならば、

• 　推論上の仮定である。
• 　ＢＣ∩Ｚ
  となっている。

　ＫＦも
　　そう
　　　であり、

• 　前節、 （１１）、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
• 　ＫＦ∩Ｚ
  となっている。

もし
　ＣＤが
　　　定められた
　　有理線分と長さにおいて通約
　　　できる
ならば、

• 　推論上の仮定である。
• 　ＣＤ∩Ｚ
  となっている。

　ＦＨも
　　そう
　　　であり、

• 　前節、 （１３）、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
• 　ＦＨ∩Ｚ
  となっている。

もし
　ＢＣ、ＣＤが
　　いずれも通約
　　　できない
ならば、

• 　推論上の仮定である。
• 　ＢＣ、ＣＤ¬∩Ｚ
  となっている。

　ＫＦ、ＦＨのいずれも
　　通約
　　　できない。

• 　前節、 （１１） （１３）、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
• 　ＫＦ、ＦＨ¬∩Ｚ
  となっている。

ところが
もし
　ＢＣ上の正方形が
　　ＣＤ上の正方形より
　　ＢＣと通約
　　　できない
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい
ならば、

• 　第２の場合分けである。
• 　正方(_ＢＣ)＝正方(_ＣＤ)＋正方(_Ｘ)、
  　Ｘ¬∩ＢＣ
  となっている。

　ＫＦ上の正方形も
　　ＦＨ上の正方形より
　　ＫＦと通約
　　　できない
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい。

• 　前節、
  　命題１０ー１４（比例４項の各辺で正方形の差の通約が対応）
  による．
• 　正方(_ＫＦ)＝正方(_ＦＨ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ¬∩ＫＦ
  となっている。

そして
もし
　ＢＣが
　　　定められた
　　有理線分と長さにおいて通約
　　　できる
ならば、

• 　推論上の仮定である。
• 　ＢＣ∩Ｚ
  となっている。

　ＫＦも
　　そう
　　　であり、

• 　前節、 （１１）、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
• 　ＫＦ∩Ｚ
  となっている。

もし
　ＣＤが
　　通約
　　　できる
ならば、

• 　推論上の仮定である。
• 　ＣＤ∩Ｚ
  となっている。

　ＦＨも
　　そう
　　　であり、

• 　前節、 （１３）、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
• 　ＦＨ∩Ｚ
  となっている。

もし
　ＢＣ、ＣＤのいずれも
　　通約
　　　できない
ならば、

• 　推論上の仮定である。
• 　ＢＣ、ＣＤ¬∩Ｚ
  となっている。

　ＫＦ、ＦＨのいずれも
　　通約
　　　できない。

• 　前節、 （１１）、 （１３）、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
• 　ＫＦ、ＦＨ¬∩Ｚ
  となっている。

［場合分け終了］

よって
　ＫＨは
　　ニ項線分
　　　であり、
　その項ＫＦ、ＦＨは
　　余線分の項ＢＣ、ＣＤと通約
　　　でき、
かつ
　　同じ比
　　　をなし、
さらに
　ＫＨは
　　ＢＣと同じ順位を
　　　もつであろう。

• 　（６）
  （１４）、
  　各場合での結論
  による．
• 　
  　ＫＨ；余線分
  　　ＫＦ、ＦＨ；有理線分、
  　　ＫＦ∩^^2 ＦＨ
  　正方(_ＢＣ)＝正方(_ＣＤ)＋正方(_Ｘ)
  　　Ｘ∩ＢＣ、
  　　　ＢＣ∩Ｚ→ＫＦ∩Ｚ、
  　　　ＣＤ∩Ｚ→ＦＨ∩Ｚ、
  　　　ＢＣ、ＣＤ¬∩Ｚ→ＫＦ、ＦＨ¬∩Ｚ、
  　　Ｘ¬∩ＢＣ、
  　　　ＢＣ∩Ｚ→ＫＦ∩Ｚ、
  　　　ＣＤ∩Ｚ→ＦＨ∩Ｚ、
  　　　ＢＣ、ＣＤ¬∩Ｚ→ＫＦ、ＦＨ¬∩Ｚ、
  　ＫＦ：ＦＨ＝ＢＣ：ＣＤ
  となり、
  　ＢＣとＥＦは
  　　同じ順位
  となっている。

これが証明すべきことであ った。

• 命題１０ー１１３は、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  　命題１０ー１０（作図.平方のみ通約の線分・平方でも非通約の線分）
  　定義の補足(命題１０ー７３) (余線分)
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　Ａ；有理線分、
  　ＢＤ；余線分、
  　　ＢＣ、ＤＣ；有理線分、
  　　ＢＣ∩^^2 ＤＣ、
  　辺ＫＨ.矩形(ＢＤ、ＫＨ；＝正方(_Ａ))、
  をとり、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　辺Ｇ.矩形(ＢＣ、Ｇ；＝正方(_Ａ))
  をとり、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
  により、
  　Ｅ（ＫＨ；ＫＥ＝Ｇ）
  をとり、
  　命題６ー１０の補足(作図.線分比による線分の内分点・外分点)
  により、
  　Ｆ（ＫＨ；ＫＨ：ＨＥ＝ＨＦ：ＦＥ）
  をとると、
  　ＫＨ；二項線分
  　　ＫＦ、ＦＨ；有理線分、
  　　ＫＦ∩^^2 ＦＨ
  　正方(_ＢＣ)＝正方(_ＣＤ)＋正方(_Ｘ)
  　　Ｘ∩ＢＣ、
  　　　ＢＣ∩Ｚ→ＫＦ∩Ｚ、
  　　　ＣＤ∩Ｚ→ＦＨ∩Ｚ、
  　　　ＢＣ、ＣＤ¬∩Ｚ→ＫＦ、ＦＨ¬∩Ｚ、
  　　Ｘ¬∩ＢＣ、
  　　　ＢＣ∩Ｚ→ＫＦ∩Ｚ、
  　　　ＣＤ∩Ｚ→ＦＨ∩Ｚ、
  　　　ＢＣ、ＣＤ¬∩Ｚ→ＫＦ、ＦＨ¬∩Ｚ、
  　ＫＦ：ＦＨ＝ＢＣ：ＣＤ
  となり、
  　ＢＣとＫＨは
  　　同じ順位
  のことである。
• 命題１０ー１１３は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		5-9,10-2,10-3補,10-4補,補(題10-36),補(題10-73)
  公準
  公理
  命題	1-3,6-10補,6-16補3,補2(義10-3),10-10	5-7,5-11,5-14,5-16,5-19,5-19系補2,6-14,6-20系,10-11,10-12,10-14,10-15,10-20
  その他	場合分け

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