ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー６６（二項線分と長さ通約の線分は同順位の二項線分）
二項線分の順位
　　二項線分と
　長さにおいて通約できる線分は
　　それ自身二項線分であり、
　　順位において同じである。

• 二項線分は、
  定義の補足（命題１０ー３６）による。
• 長さにおいて通約は、
  定義１０ー２の補足による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。
• 順位においては、
  　定義１０�Uー１〜６における順位である。 (以下、定義の補足（命題１０�Uー６６）(二項線分の順位)という。)
  

　ＡＢを
　　二項線分
とし、
　ＣＤを
　　ＡＢと長さにおいて通約できる
とせよ。
　ＣＤは
　　二項線分であり
　　ＡＢと順位において同じである
と主張する。

• 　二項線分の順位に応じて、
  　命題１０ー ４８、 ４９、 ５０、 ５１、 ５２、 ５３
  のいずれかにより、
  　二項線分ＡＢをとり、
  　命題１０ー６の系（作図.線分で数：数となる線分）
  により、
  　通約可能な線分ＣＤをとる。
• 　ＡＢ；二項線分、
  　ＣＤ∩ＡＢ
  となっている。

　ＡＢは
　　二項線分である

• 　命題の設定による。
• 　ＡＢ；二項線分
  となっている。

から、
　　Ｅでその項に分けられた
とし、
　　ＡＥを大きい項
とせよ。
　　　　　　　[......(４)]

• 　命題の設定による。
• 　ＡＥ、ＥＢ；有理線分、
  　ＡＥ¬∩ＥＢ、
  　Ｒ；指定有理線分
  　　ＡＥ∩Ｒ
  　　ＡＥ＞ＥＢ、
  　Ｘ(;正方(_Ｘ)＝正方(_ＡＥ)ー正方(_ＥＢ)、
  　　∩ＡＥ)
  となっている。

そうすれば
　ＡＥ、ＥＢは
　　平方においてのみ通約できる有理線分である。

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＡＥ∩^^2 ＥＢ
  　ＡＥ、ＥＢ；有理線分
  となっている。

　ＡＢが
　　ＣＤに対するように、
　ＡＥが
　　ＣＦに対するようにされた
とせよ。
　　　　　　[......(１)]

• 　推論の設定である。
• 　ＡＢ：ＣＤ＝ＡＥ：ＣＦ
  となっている。

そうすれば
　残りのＥＢが
　　残りのＦＤに対するように、
　ＡＢが
　　ＣＤに対する。
[......(２)]

• 　前節、
  　命題５ー１７（合比で比例なら分割比でも比例）
  による。
• 　ＥＢ：ＦＤ＝ＡＢ：ＣＤ
  となっている。

ところが
　ＡＢは
　　ＣＤと長さにおいて通約できる。

• 　命題の設定による。
• 　ＡＢ∩ＣＤ
  となっている。

したがって
　ＡＥも
　　ＣＦと、
　ＥＢも
　　ＦＤと通約できる。
[......(３)]

• 　前節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＡＥ∩ＣＦ、
  　ＥＢ∩ＦＤ
  となっている。

そして
　ＡＥ、ＥＢは
　　有理線分である。

• 　命題の設定による。
• 　ＡＥ、ＥＢ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＣＦ、ＦＤも
　　有理線分である。

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＣＦ、ＦＤ；有理線分
  となっている。

そして
　ＡＥが
　　ＣＦに対するように、
　ＥＢが
　　ＦＤに対する。

• 　（１） （２） （３）、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　ＡＥ：ＣＦ＝ＥＢ：ＦＤ
  となっている。

それゆえ
　いれかえて
　ＡＥが
　　ＥＢに対するように、
　ＣＦが
　　ＦＤに対する。

• 　前節、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  による。
• 　ＡＥ：ＥＢ＝ＣＦ：ＦＤ
  となっている。

ところが
　ＡＥ、ＥＢは
　　平方においてのみ通約できる。

• 　命題の設定による。
• 　ＡＥ∩^^2 ＥＢ
  となっている。

したがって
　ＣＦ、ＦＤも
　　平方においてのみ通約できる。

• 　前節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＣＦ∩^^2 ＦＤ
  となっている。

そして
　有理線分である。

• 　（４）による。
• 　ＣＦ、ＦＤ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＣＤは
　　二項線分である。

• 　前節、前々節、
  　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)
  による。
• 　ＣＤ；二項線分
  となっている。

次に
　順位においてＡＢと同じであると主張する。
　ＡＥ上の正方形は
　　ＥＢ上の正方形よりも
　　ＡＥと通約できる線分上の正方形
　　かまたは
　　ＡＥと通約できない線分上の正方形
　　だけ大きい。

• 　（４）により、
  　ＡＥ＞ＥＢ
  となり、
  　正方(_ＡＥ)＝正方(_ＥＢ)＋正方(_Ｘ)
  となる。
  
• 　Ｘ∩ＡＥか、Ｘ¬∩ＡＥかのいずれか
  が成立する。
• 場合分けになる。
  ＡＥ、Ｘ；通約できる場合(case01) 、
  ＡＥ、Ｘ；通約できない場合(case02) 、
  場合分け終了(case0e)

そこで
(case01)
もし
　ＡＥ上の正方形が
　　ＥＢ上の正方形より
　　ＡＥと通約できる線分上の正方形
　　だけ大き
ければ、

• 　場合分けである。
• 　正方(_ＡＥ)＝正方(_ＥＢ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ∩ＡＥ
  となっている。

　ＣＦ上の正方形も
　　ＦＤ上の正方形より
　　ＣＦと通約できる線分上の正方形
　　だけ大きいであろう。

• 　前節、
  　命題１０ー１４（比例４項の各辺で正方形の差の通約が対応）
  による。
• 　正方(_ＣＦ)＝正方(_ＦＤ)＋正方(_Ｙ)
  　Ｙ∩ＣＦ
  となっている。

そして

• 場合分けになる。
  ＡＥ、Ｒ；通約できる場合(case11) 、
  ＥＢ、Ｒ；通約できる場合(case12) 、
  ＡＥ、ＥＢともＲと通約できない場合(case13) 、
  場合分け終了(case1e)

[case11]
もし
　ＡＥが
　　定められた有理線分と通約できる
ならば、
　ＣＦも
　　それと通約できるであろう。

• 　（３）、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
• 　ＣＦ∩Ｒ
  となっている。

そして
このゆえに
　ＡＢ、ＣＤの双方は
　　第１の二項線分である、
　　すなわち
　　順位において同じである。

• 　前節、 場合分け(case01)の条件、
  　定義１０�Uー１（第１の二項線分）
  による。
• 　ＡＢ、ＣＤ；第１の二項線分
  となっている。

[case12]
ところが
もし
　ＥＢが
　　定められた有理線分と通約できる
ならば、
　ＦＤも
　　それと通約でき、

• 　（３）、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
• 　ＥＢ、ＦＤ∩Ｒ
  となっている。

このゆえに
また
　ＡＢと順位において同じであろう。
なぜなら
　それらの双方は
　　第２の二項線分である
から。

• 　前節、
  　定義１０�Uー２（第２の二項線分）
  による。
• 　ＡＢ、ＣＤ；第２の二項線分
  となっている。

[case13]
ところが
もし
　ＡＥ、ＥＢのいずれも
　　定められた有理線分と通約できない
ならば、
　ＣＦ、ＦＤのいずれも
　　それと通約できないであろう。

• 　（３）、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
• 　ＥＢ、ＦＤ¬∩Ｒ
  となっている。

そして
　双方は
　　第３の二項線分である。

• 　前節、
  　定義１０�Uー３（第３の二項線分）
  による。
• 　ＡＢ、ＣＤ；第３の二項線分
  となっている。

[case1e]
そして
[case02]
もし
　ＡＥ上の正方形が
　　ＥＢ上の正方形より
　　ＡＥと通約できない線分上の正方形
　　だけ大きい

• 　場合分けである。
• 　正方(_ＡＥ)＝正方(_ＥＢ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ∩ＡＥ
  となっている。

ならば、
　ＣＦ上の正方形も
　　ＦＤ上の正方形より
　　ＣＦと通約できない線分上の正方形だけ大きい。

• 　前節、
  　命題１０ー１４（比例４項の各辺で正方形の差の通約が対応）
  による。
• 　正方(_ＣＦ)＝正方(_ＦＤ)＋正方(_Ｙ)
  　Ｙ¬∩ＣＦ
  となっている。

そして

• 場合分けになる。
  ＡＥがＲと通約できる場合(case21) 、
  ＥＢがＲと通約できる場合(case22) 、
  ＡＥ、ＥＢともＲと通約できない場合(case23) 、
  場合分け終了(case2e)

[case21]
もし
　ＡＥが
　　定められた有理線分と通約できる
ならば、
　ＣＦも
　　それと通約でき、

• 　（３）、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
• 　ＡＥ、ＣＦ∩Ｒ
  となっている。

　双方は
　　第４の二項線分である。

• 　前節、 場合分け(case02)の条件、
  　定義１０�Uー４（第４の二項線分）
  による。
• 　ＡＢ、ＣＤ；第４の二項線分
  となっている。

ところが
[case22]
もし
　ＥＢが
　　通約できる
ならば、
　ＦＤも通約でき、

• 　（３）、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
• 　ＥＢ、ＦＤ∩Ｒ
  となっている。

　双方は
　　第５の二項線分であろう。

• 　前節、 場合分け(case02)の条件、
  　定義１０�Uー５（第５の二項線分）
  による。
• 　ＡＢ、ＣＤ；第５の二項線分
  となっている。

そして
[case23]
もし
　ＡＥ、ＥＢのいずれも
　　通約できない
ならば、
　ＣＤ、ＦＤのいずれも
　定められた有理線分と通約できず、

• 　（３）、
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
• 　ＣＤ、ＦＤ¬∩Ｒ
  となっている。

　双方は
　　第６の二項線分であろう。

• 　前節、 場合分け(case02)の条件、
  　定義１０�Uー６（第６の二項線分）
  による。
• 　ＡＢ、ＣＤ；第６の二項線分
  となっている。

[case2e]
[case0e]
よって
　　二項線分と
　長さにおいて通約できる線分は
　　二項線分であり
　　順位において同じである。

• 　[case11]〜[case23]による。
• 　ＣＤ；二項線分、（同順位）ＡＢ
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー６６は、
  　命題１０ー ４８、 ４９、 ５０、 ５１、 ５２、 ５３
  のいずれかにより、
  　二項線分ＡＢをとり、
  　命題１０ー６の系（作図.線分で数：数となる線分）
  により、
  　通約可能な線分ＣＤをとると、
  　ＣＤ；二項線分、（同順位）ＡＢ
  のことである。
• 命題１０ー６６は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-3補,補(題10-36),10�U-1,10�U-2,10�U-3,10�U-4,10�U-5,10�U-6
  公準
  公理
  命題	10-6系	5-11,5-16,5-17,10-11,10-12,10-14
  その他		２段階の場合分け

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