ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー36(平方でのみ通約の有理線分の和は無理線分(二項線分))
二項線分 もし
 平方においてのみ通約できる
  二つの有理線分
 が加えられる
ならば,
 全体は無理線分であり,
 そして
 二項線分
とよばれる。



 平方においてのみ通約できる
  二つの有理線分AB,BC
 が加えられた
とせよ。

 AC全体は
 無理線分である
と主張する。

 ABは
 BCと平方においてのみ通約できる
から,
 長さにおいて通約できない。

そして
 ABがBCに対するように
 矩形ABCがBC上の正方形対する

から,
 矩形AB,BCは
 BC上の正方形通約できない。

ところが
 矩形AB,BCの2
 矩形AB,BCと通約でき,

 AB,BC上の正方形の和は
 BC上の正方形通約できる,

なぜなら
 AB,BCは
 平方においてのみ通約できる
  有理線分である
から。

したがって
 矩形AB,BCの2
 AB,BC上の正方形の和と通約できない。

そして
 合比により
 矩形AB,BCの2
  AB,BC上の二つの正方形との和,
 すなわち
 AC上の正方形は,
 AB,BC上の正方形の和
 と通約できない。

ところが
 AB,BC上の正方形の和は
 有理面積である。

したがって
 AC上の正方形
 無理面積である。

よって
 ACも無理線分であり,
 そして二項線分とよばれる。

これが証明すべきことであった。
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