ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー３６（平方でのみ通約の有理線分の和は無理線分(二項線分)）
二項線分 もし
　平方においてのみ通約できる
　　二つの有理線分
　が加えられる
ならば，
　全体は無理線分であり，
　そして
　二項線分
とよばれる。

• 平方においてのみ通約は、
  定義の補足（命題１０ー１９助）による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 無理線分は、
  定義１０ー４による。
• 二項線分は、
  　平方においてのみ通約できる
  　　二つの有理線分の和(無理線分)
  　のことをいう。
  (以下、定義の補足（命題１０ー３６） (二項線分)という。)

　平方においてのみ通約できる
　　二つの有理線分ＡＢ，ＢＣ
　が加えられた
とせよ。

• 　命題１０ー１０（作図.平方のみ通約の線分・平方でも非通約の線分）
  による。
• 　有理線分ＡＢ、
  　有理線分ＢＣ(;∩^^2 ＡＢ)
  をとっている。

　ＡＣ全体は
　無理線分である
と主張する。

　ＡＢは
　ＢＣと平方においてのみ通約できる
から，
　長さにおいて通約できない。

• 　定義の補足（命題１０ー１９助） (平方においてのみ通約)
  による。
• 　ＡＢ¬∩ＢＣ
  となっている。

そして
　ＡＢがＢＣに対するように，
　矩形ＡＢＣがＢＣ上の正方形に対する

• 　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）
  による。
• 　ＡＢ：ＢＣ＝矩形(ＡＢ,ＢＣ)：正方(_ＢＣ)
  となっている。

から，
　矩形ＡＢ，ＢＣは
　ＢＣ上の正方形と通約できない。

• 　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　矩形(ＡＢ,ＢＣ)¬∩正方(_ＢＣ)
  となっている。

ところが
　矩形ＡＢ，ＢＣの２倍は
　矩形ＡＢ，ＢＣと通約でき，

• 　定義１０ー１（通約）
  による。
  
• 　２矩形(ＡＢ,ＢＣ)∩矩形(ＡＢ,ＢＣ)
  となっている。

　ＡＢ，ＢＣ上の正方形の和は
　ＢＣ上の正方形と通約できる，

• 　命題の設定、
  　定義の補足（命題１０ー１９助） (平方においてのみ通約)、
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  による。
  
• 　正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)∩正方(_ＢＣ)
  となっている。

なぜなら
　ＡＢ，ＢＣは
　平方においてのみ通約できる
　　有理線分である
から。

• 　「なぜなら・・・から」は
  　コメント２（命題１ー１６）を参照のこと。
  

したがって
　矩形ＡＢ，ＢＣの２倍は
　ＡＢ，ＢＣ上の正方形の和と通約できない。

• 　前々節、前々々節、前々々々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　２矩形(ＡＢ,ＢＣ)¬∩ 正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)
  となっている。

そして
　合比により
　矩形ＡＢ，ＢＣの２倍と
　　ＡＢ，ＢＣ上の二つの正方形との和，
　すなわち
　ＡＣ上の正方形は，
　ＡＢ，ＢＣ上の正方形の和
　と通約できない。

• 　前節、
  　命題２ー４（２分線分上の正方形）
  　命題１０ー１６（非通約量はその和・差とも非通約）
  による。
  
• 　「合比により」は、
  　２矩形(ＡＢ,ＢＣ)：正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)
  　という比から、
  　２矩形(ＡＢ,ＢＣ)＋正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)
  　　：正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)
  　という比に考察を移すことをいう。
  　推論の根拠を示しているのではない。
  
• 　正方(_ＡＣ)¬∩ 正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)
  となっている。
  

ところが
　ＡＢ，ＢＣ上の正方形の和は
　有理面積である。

• 　命題の設定、
  　定義１０ー４の補足 （有理面積、無理面積）
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  による。
  
• 　正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)；有理面積
  となっている。
  

したがって
　ＡＣ上の正方形は
　無理面積である。

• 　定義１０ー４の補足 （有理面積、無理面積）
  による。
  
• 　正方(_ＡＣ)；無理面積
  となっている。
  

よって
　ＡＣも無理線分であり，
　そして二項線分とよばれる。

• 　定義１０ー４（面積の有理、無理、無理線分）
  による。
  
• 　ＡＣ；無理線分
  となっている。
  

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー３６は、
  　有理線分ＡＢ、
  　有理線分ＢＣ(;∩^^2 ＡＢ)
  をとれば、
  　ＡＣ全体は無理線分
  のことである。
• 命題１０ー３６は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-1,10-4,10-4補,補(題10-19助)
  公準
  公理
  命題	10-10	2-4,10-11,10-13,10-15,10-16,10-22助
  その他		コ2(題1-16)

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