ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー７３（有理線分から平方のみ通約の有理線分を引くと余線分）
余線分
もし
　　有理線分から
　全体と平方においてのみ通約できる有理線分が
　　ひかれる
ならば、
　残りは
　　無理線分である。
　それを
　　余線分とよぶ。

• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 平方においてのみ通約は、
  定義の補足（命題１０ー１９助）による。
• 無理線分は、
  定義１０ー４による。
• 余線分は、
  　　有理線分から、
  　それと平方においてのみ通約できる有理線分を
  　　引いた残りの無理線分をいう。
  (以下、定義の補足(命題１０ー７３) (余線分)という。)
  

　　有理線分ＡＢから
　有理線分ＢＣが
　　ひかれ、
　ＢＣは
　　全体と平方においてのみ通約できる
とせよ。

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  による。
  
• 　ＡＢ；有理線分、
  　ＢＣ；有理線分、∩^^2 ＡＢ
  となっている。

　残りのＡＣは
　　余線分とよばれる無理線分である
と主張する。

　ＡＢは
　　ＢＣと長さにおいて通約できず、
　ＡＢが
　　ＢＣに対するように、
　ＡＢ上の正方形が
　　矩形ＡＢ、ＢＣに対する
から、
　ＡＢ上の正方形は
　　矩形ＡＢ、ＢＣと通約できない。

• 　前節、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
  
• 　正方(_ＡＢ)¬∩矩形(ＡＢ、ＢＣ)
  となっている。

ところが
　ＡＢ、ＢＣ上の正方形の和は
　　ＡＢ上の正方形と通約でき、
　矩形ＡＢ、ＢＣの２倍は
　　矩形ＡＢ、ＢＣと通約できる。

• 　命題の設定、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  　定義１０ー１（通約）
  による。
  
• 　正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)∩正方(_ＡＢ)、
  　２矩形(ＡＢ、ＢＣ)∩矩形(ＡＢ、ＢＣ)
  となっている。

そして
　ＡＢ、ＢＣ上の正方形の和は
　　矩形ＡＢ、ＢＣの２倍と
　　ＣＡ上の正方形
　　との和に等しい
から、
　ＡＢ、ＢＣ上の正方形の和は
　　残りのＡＣ上の正方形と通約できない。

• もし、
  　正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)∩正方(_ＡＣ)
  ならば、
  　前節、
  　命題２ー７（差の平方）
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  により、
  　矩形(ＡＢ、ＢＣ)∩正方(_ＡＢ)
  となり、
  　前々節の
  　正方(_ＡＢ)¬∩矩形(ＡＢ、ＢＣ)
  に矛盾することによる。
• 　正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)¬∩正方(_ＡＣ)
  となっている。

ところが
　ＡＢ、ＢＣ上の正方形の和は
　　有理面積である。
よって
　ＡＣは
　　無理線分である。

• 　前節、
  命題の設定、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  　定義１０ー４（面積の有理、無理、無理線分）
  による。
  
• 　ＡＣ：無理線分
  となっている。

そして
　余線分とよぱれる。

• 　前節、
  　定義の補足(命題１０ー７３) (余線分)
  による。
• 　ＡＣ：余線分
  となっている。

これが証明すぺきことであった。

• 命題１０ー７３は、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  により、
  　有理線分ＡＣ
  をとり、
  　命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
  により、
  　　ＡＣと平方においておいてのみ通約できる
  　有理線分ＢＣ
  をとり、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　　ＡＣからＢＣを引くと、
  　ＡＣは
  　　余線分と呼ばれる
  　　無理線分
  のことである。
  
• 命題１０ー７３は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-1,10-3補,10-4,補(題10-73)
  公準
  公理
  命題	1-3,補2(義10-3),10-6系3	2-7,6-1,10-11,10-15
  その他

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