ユークリッド原論をどう読むか（２）
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ユークリッド原論
第１巻
命題１ー１６（外角と内対角）
外角･内対角
「なぜなら・・・であるから」
すべての三角形において
辺の一つが延長される
とき、
外角は
内対角のいずれよりも大きい。
-
三角形は定義１ー１９の補足２による。
-
辺は定義１ー１９の補足による。
-
外角とは、
三角形のある角について、
それをなす２辺のうち
一方の辺を延長したものと
他方の辺とがなす角のことである。
内対角とは、
三角形のある角について、
それ以外の２つの角のことである。
２つある内対角のうち、
一方は共通となる辺（直線）について同じ側にある
こととなり、
他方は共通となる辺について反対側にある
こととなる。
（以下、定義の補足（命題１ー１６）という。）
ＡＢＣを三角形
とし、
その一辺ＢＣがＤまで延長された
とせよ。
外角ＡＣＤは
内対角ＣＢＡ、ＢＡＣのいずれよりも大きい
と主張する。
ＡＣがＥにおいて２等分され、
-
命題１ー１０（作図・線分の２等分）
による。
-
Ｅ;中点(ＡＣ)
をとっている。
ＢＥが結ばれ、
-
公準１ー１（作図.直線）
による。
-
線分(Ｂ,Ｅ)
をとっている。
一直線をなしてＦまで延長され、
-
公準１ー２（作図.直線の延長）
による。
-
点Ｆ[延長ＢＥ]
をとっている。
ＥＦがＢＥに等しくされ、
-
命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
による。
論理的には、
一直線をなして十分延長しておいて、
命題１ー３
により
ＥＦがＢＥに等しくなる
ように
Ｆをとる
ことになる。
-
ＥＦ＝ＢＥ
となっている。
ＦＣが結ばれ、
- 公準１ー１（作図.直線）
による。
-
線分(Ｆ,Ｃ)
をとっている。
ＡＣがＧまで延長された
とせよ。
【・・・(a)】
- 公準１ー２（作図.直線の延長）
による。
-
点Ｇ[延長ＡＣ]
をとっている。
そうすれば、
ＡＥはＥＣにＢＥはＥＦに等しい
から、
- (a)
による。
-
ＡＥ＝ＥＣ、
ＢＥ＝ＥＦ
となっている。
２辺ＡＥ、ＥＢは
２辺ＣＥ、ＥＦにそれぞれ等しい。
そして
角ＡＥＢは角ＦＥＣに等しい。
なぜなら
対頂角である
から。
-
(a)
,
命題１ー１５（対頂角）
による。
-
「なぜなら・・・であるから(for)」と
簡潔な論拠を後から示している。
以下、コメント２（命題１ー１６）(なぜなら…であるから)という。
コメント（命題１ー４）を参照のこと。
-
(ＡＥ,ＥＢ)＝(ＣＥ,ＥＦ)
∠ＡＥＢ＝∠ＦＥＣ
となっている。
ゆえに
底辺ＡＢは底辺ＦＣに等しく、
三角形ＡＢＥは三角形ＣＦＥに等しく、
残りの２角は残りの２角に、
すなわち
等しい辺が対する角はそれぞれ等しい。
-
命題１ー４（２辺挟角相等）
による。
-
ＡＢ＝ＦＣ、
△ＡＢＥ≡△ＣＦＥ
となっている。
したがって
角ＢＡＥは角ＥＣＦに等しい。
【・・・(1)】
ところが
角ＥＣＤは角ＥＣＦより大きい。
-
ＥはＢＤについてＡと同じ側にあり、
Ｆも同じ側にある。
また、
ＦはＡＣについてＤと同じ側にある。
したがってＦは角ＡＣＤの内部にある。
公理１ー８（大きい）
による。
-
∠ＥＣＤ＝∠ＥＣＦ
となっている。
それゆえ
角ＡＣＤは角ＢＡＥより大きい。
同様にして
ＢＣが２等分される
とき、
角ＢＣＧすなわち角ＡＣＤが
角ＡＢＣより大きい
ことも証明される。
よって
すべての三角形において
辺の一つが延長される
とき、
外角は内対角のいずれよりも大きい。
これが証明すべきことであった。
- 命題1-16は、
△ＡＢＣ
において、
外角ＡＣＤ＞内対角ＣＢＡ、ＢＡＣ
のことである。
- 命題1-16は推論用命題である。
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