ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー１０３（余線分と長さ通約の線分は同順位の余線分）
余線分の順位
　　余線分と長さにおいて通約
　　　できる
　線分は
　　余線分
　　　であり，
　　順位においても同じ
　　　である。

• 余線分は、
  定義の補足(命題１０ー７３)による。
• 長さにおいて通約は、
  定義１０ー２の補足による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。
• 余線分の順位 とは、
  　定義１０�Vー１〜６における順位である。 (以下、定義の補足（命題１０ー１０３）(余線分の順位)という。)
  

　　ＡＢを余線分
　　　とし，
　　ＣＤを
　　ＡＢと長さにおいて通約
　　　できるようにせよ。

• 　余線分の順位に応じて、
  　命題１０ー ８５、 ８６、 ８７、 ８８、 ８９、 ９０、
  のいずれかにより、
  　余線分ＡＢをとり、
  　命題１０ー６の系（作図.線分で数：数となる線分）
  により、
  　通約可能な線分ＣＤをとる。
  
• 　ＡＢ；余線分、
  　ＣＤ∩ＡＢ
  となっている。

　ＣＤも
　　余線分
　　　であり
　　ＡＢと順位において同じ
　　　である
と主張する。
　ＡＢは
　　余線分
　　　である

• 　命題の設定である。
• 　ＡＢ：余線分
  となっている。

から，
　　ＢＥをそれへの付加
　　　とせよ。
　　　　[......(２)]

• 　命題の設定による。
• 　ＡＥ、ＢＥ；有理線分、
  　ＡＥ∩^^2 ＢＥ
  となっている。

そうすれば
　ＡＥ,ＥＢは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。

• 　前節による。
• 　ＡＥ、ＢＥ；有理線分、
  　ＡＥ∩^^2 ＢＥ
  となっている。

そして
　　ＢＥのＤＦに
　　　対する
　比が
　　ＡＢのＣＤに
　　　対する
　　比と同じ
　　　であるようにされた
とせよ。
　　　　[......(１)]

• 　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  による。
• 　ＡＢ：ＣＤ＝ＢＥ：ＤＦ
  となっている。

そうすれば
　ーつの項が
　　一つの項に対するように，
　全体が
　　全体に
　　　対する。

• 　命題５ー１２（比例する前項の和と後項の和）
  による。

ゆえに
　ＡＥ全体が
　　ＣＦ全体に対するように，
　ＡＢが
　　ＣＤに
　　　対する。

• 　前節
  による。
• 　ＡＥ：ＣＦ＝ＡＢ：ＣＤ
  となっている。
  　同様に、
  　ＡＥ：ＣＦ＝ＢＥ：ＤＦ
  となっている。　

ところが
　ＡＢは
　　ＣＤと長さにおいて通約
　　　できる。

• 　命題の設定
  による。
• 　ＡＢ∩ＣＤ
  となっている。

ゆえに
　ＡＥも
　　ＣＦと，
　ＢＥも
　　ＤＦと通約
　　　できる。
　　　　[......(５)]

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＡＥ∩ＣＦ、
  　ＢＥ∩ＤＦ
  となっている。

そして
　ＡＥ,ＥＢは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。

• 　命題の設定
  による。
• 　ＡＥ、ＥＢ；有理線分、
  　ＡＥ∩^^2 ＥＢ
  となっている。

したがって
　ＣＦ、ＦＤも
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＣＦ∩^^2 ＦＤ
  となっている。

そこで
　ＡＥが
　　ＣＦに対するように，
　ＢＥが
　　ＤＦに
　　　対する

• 　（１）
  による。
• 　ＡＥ：ＣＦ＝ＢＥ：ＤＦ
  となっている。

から，
　　　いれかえて
　ＡＥが
　　ＥＢに対するように，
　ＣＦが
　　ＦＤ
　　　に対する。
　　　　[......(３)]

• 　前節、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  による。
• 　ＡＥ：ＥＢ＝ＣＦ：ＦＤ
  となっている。

そして
　ＡＥ上の正方形は
　　ＥＢ上の正方形より
　　ＡＥと通約
　　　できる
　　線分上の正方形か
または
　　通約
　　　できない
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい。
　　　　[......(４)]

• 　（２）
  　命題１０ー１４助（作図.線分上の正方形の差となる正方形の辺）
  による。
• 　正方(_ＡＥ)＝正方(_ＥＢ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ∩ＡＥ、
  または、
  　Ｘ¬∩ＡＥ
  となっている。

そこで
もし
　ＡＥ上の正方形が
　　ＥＢ上の正方形より
　　ＡＥと通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい
ならば，
　ＣＦ上の正方形も
　　ＦＤ上の正方形より
　　ＣＦと通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい。
　　　　[......(６)]

• 　（３） （４）
  　命題１０ー１４（比例４項の各辺で正方形の差の通約が対応）
  による。
• 　正方(_ＡＥ)＝正方(_ＥＢ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ∩ＡＥ、
  ならば、
  　正方(_ＣＦ)＝正方(_ＦＤ)＋正方(_Ｙ)
  　Ｙ∩ＣＦ、
  となっている。

そして
もし
　ＡＥが
　　　定められた
　　有理線分と長さにおいて通約
　　　できる
ならば，
　ＣＦも
　　そう
　　　であり，
　　　　[......(７)]

• 　（５）
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。 この場合、
  　（２）
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  により、
  　ＢＥ¬∩Ｚ
  となっている。
• 　ＡＥ∩Ｚ；指定有理線分
  ならば、
  　ＣＦ∩Ｚ
  となっている。

もし
　ＢＥが
　　通約
　　　できる
ならば，
　ＤＦも
　　そう
　　　であり，
　　　　[......(８)]

• 　（５）
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。 この場合、
  　（２）
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  により、
  　ＡＥ¬∩Ｚ
  となっている。
• 　ＢＥ∩Ｚ；指定有理線分
  ならば、
  　ＤＦ∩Ｚ
  となっている。

そして
もし
　ＡＥ,ＥＢのいずれも
　　通約
　　　できない
ならば，
　ＣＦ，ＦＤのいずれも
　　通約
　　　できない。
　　　　[......(９)]

• 　（５）
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＡＥ、ＥＢ¬∩Ｚ；指定有理線分
  ならば、
  　ＣＦ、ＦＤ¬∩Ｚ
  となっている。

ところが
もし
　ＡＥ上の正方形が
　　ＡＥと通約
　　　できない
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい
ならば，
　ＣＦ上の正方形も
　　ＦＤ上の正方形より
　　ＣＦと通約
　　　できない
　　線分上の正方形だけ
　　　大きいであろう。
　　　[......(１０)]

• 　（３） （４）
  　命題１０ー１４（比例４項の各辺で正方形の差の通約が対応）
  による。
• 　正方(_ＡＥ)＝正方(_ＥＢ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ¬∩ＡＥ、
  ならば、
  　正方(_ＣＦ)＝正方(_ＦＤ)＋正方(_Ｙ)
  　Ｙ¬∩ＣＦ、
  となっている。

そして
もし
　ＡＥが
　　　定められた
　　有理線分と
　　長さにおいて通約
　　　できる
ならば，
　ＣＦも
　　そう
　　　であり，
　　　[......(１１)]

• 　（５）
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。
  この場合、
  　（２）
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  により、
  　ＢＥ¬∩Ｚ
  となっている。
• 　ＡＥ∩Ｚ；指定有理線分
  ならば、
  　ＣＦ∩Ｚ
  となっている。

もし
　ＢＥが
　　通約
　　　でき《ない》［る］
ならば，
　ＤＦも
　　そう
　　　であり，
　　　[......(１２)]

• 　（５）
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約）
  による。 この場合、
  　（２）
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  により、
  　ＡＥ¬∩Ｚ
  となっている。
• 　ＢＥ∩Ｚ；指定有理線分
  ならば、
  　ＤＦ∩Ｚ
  となっている。

もし
　ＡＥ，ＥＢのいずれも
　　通約
　　　できない
ならば，
　ＣＦ，ＦＤのいずれも
　　通約
　　　できない。
　　　[......(１３)]

• 　（５）
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＡＥ、ＥＢ¬∩Ｚ；指定有理線分
  ならば、
  　ＣＦ、ＦＤ¬∩Ｚ
  となっている。

よって
　ＣＤは
　　余線分
　　　であり，
　　ＡＢと順位において同じ
　　　である。

• 　（６） （７） （８） （９） （１０） （１１） （１２） （１３）、
  　定義１０�Vー１、 ２、 ３、 ４、 ５、 ６
  による。
• 　（６） （７）なら、ＡＢ、ＣＤとも第１の余線分
  　（６） （８）なら、ＡＢ、ＣＤとも第２の余線分
  　（６） （９）なら、ＡＢ、ＣＤとも第３の余線分
  　（１０） （１１） なら、ＡＢ、ＣＤとも第４の余線分
  　（１０） （１２） なら、ＡＢ、ＣＤとも第５の余線分
  　（１０） （１３） なら、ＡＢ、ＣＤとも第６の余線分
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー１０３は、
  　命題１０ー ８５、 ８６、 ８７、 ８８、 ８９、 ９０、
  のいずれかにより、
  　余線分ＡＢをとり、
  　命題１０ー６の系（作図.線分で数：数となる線分）
  により、
  　通約可能な線分ＣＤをとると、
  　ＣＤ；余線分、（同順位）ＡＢ
  のことである。
• 命題１０ー１０３は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10�V-1,10�V-2,10�V-3,10�V-4,10�V-5,10�V-6
  公準
  公理
  命題	6-12,10-6系,10-8510-8610-8710-8810-89,10-90	5-12,5-16,10-11,10-12,10-13,10-14助,10-14
  その他

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