ユークリッド原論をどう読むか（９514）
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ユークリッド原論

第５巻

命題５ー１４（同じ比の前(後)項の大等小）
もし
　第１の量が第２に対し、
　第３が第４に対すると同じ比をもち、
　第１が第３より大きければ、
　第２は第４より大きく、
　等しければ、等しく、
　小さければ、小さい。

• 量は、定義５ー１の補足 による。
• 対する・ようには 定義の補足３（命題５ー１１） による。
• 同じ比は、定義５ー５ による。
• 大きいは、公理１ー８ による。
• 等しいは、公理１ー７ による。
• 小さいは、公理１ー８の補足 による。

第１の量Ａが
　第２のＢに対し、
　第３のＣが第４のＤに対すると
　同じ比をもち、
　Ａが
　Ｃより大きいとせよ。

• 同じ比をもつ線分の作図（仮想的）は
  コメント２（命題５ー４）参照のこと。
• 　Ａ、Ｂ
  に対して、
  　Ｃ(;;Ｃ＜Ａ)、
  　Ｄ(;;Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ)
  をとっている。

ＢもＤより大きい
　と主張する。
　
ＡはＣより大きく、
　Ｂは別の任意の量であるから、

• 命題の設定 による。
• 　Ａ＞Ｃ
  となっている。

　ＡはＢに対し、
　ＣがＢに対するよりも
　大きい比をもつ。

• 命題５ー８（量の大小と比の大小）
  による。
• 　Ａ：Ｂ＞Ｃ：Ｂ
  となっている。

ところが
　ＡがＢに対するように、
　ＣがＤに対する。

• 命題の設定 による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  となっている。

それゆえ
　ＣもＤに対し、
　ＣがＢに対するより
　大きい比をもつ。【・・・(1)】

• 命題５ー１３（大きい比に同じ比は大きい）
  による。
• 　Ｃ：Ｄ＞Ｃ：Ｂ
  となっている。

ところが
　同一の量が
　それに対して大きい比をもつ量は
　小さい。

• 命題５ー８（量の大小と比の大小）
  である。

ゆえに
　ＤはＢより小さい。

• (1) ,命題５ー８（量の大小と比の大小）
  による。
• 　Ｄ＜Ｂ
  となっている。

したがって
　ＢはＤより大きい。

• 公理１ー８の補足（小さい）
  による。

　
同様にしてもし
　ＡがＣに等しければ、
　ＢもＤに等しく、
　ＡがＣより小さければ、
　ＢもＤより小さいであろう
　ことを証明しうる。

• 　Ａ(＜、＝)Ｃ
  ならば、
  　Ｂ(＜、＝)Ｄ
  となっている。

よってもし
　第１の量が第２に対し、
　第３が第４に対すると
　同じ比をもち、
　第１が第３より大きければ、
　第２は第４より大きく、
　等しければ、等しく、
　小さければ、小さい
　であろう。 これが証明すべきことであった。

• 命題５ー１４は、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ に対して、
  　Ａ(＜、＝、＞)Ｃ
  ならば、
  　Ｂ(＜、＝、＞)Ｄ
  のことである。
• 命題５ー１４は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理		1-8補
  命題		5-8,5-13
  その他		コ2(題5-4)

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