ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー４（作図.３量以上の最大公約量）
（３量の公約量は最大公約量の約量）　
（作図.４量以上の最大公約量）
（４量以上の公約量は最大公約量の約量）　

　３つの通約できる量が与えられた
とき、
　それらの最大公約量を見いだす
こと。

• 通約は、
  定義１０ー１による。
• 量は、
  定義５ー１の補足による。
• 最大公約量は、
  定義の補足（命題１０ー３）による。

　３つの与えられた
　通約できる量をＡ、Ｂ、Ｃ
とせよ。

• 　「量（について）・・・とせよ」は、
  　コメント６（命題５ー１）
  　参照のこと。
  「通約できる量を表す線分の作図（仮想的）」は、
  コメント３(命題１０ー３）
  　参照のこと。
  

このとき
　Ａ、Ｂ、Ｃの最大公約量を見いださねばならぬ。

　２つの量Ａ、Ｂの最大公約量がとられた
とし、
　それをＤ
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　命題１０ー３（作図.最大公約量）
  による。
  
• 　Ｄ｜（Ａ、Ｂ）（最大）
  となっている。

そうすれば
　ＤはＣを
　割り切るか
　あるいは
　割り切らないか
である。

まず
　割り切る
とせよ。

• 　場合分けの１である。
• 　Ｄ｜Ｃ
  となっている。

そうすれば
　ＤはＣを割り切り、
　Ａ、Ｂをも割り切る

• 　（ａ）による。
• 　Ｄ｜（Ａ、Ｂ）（最大）
  となっている。

から、
　ＤはＡ、Ｂ、Ｃを割り切る。

したがって
　ＤはＡ、Ｂ、Ｃの公約量である。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー３）（公約量・最大公約量）
  による。

そして
　最大でもある
ことは明らかである。

なぜなら
　量Ｄより大きい量はＡ、Ｂを割り切らない
から。

• 　（ａ）、
  　定義５ー１の補足２（割り切る）
  による。
  
• 　「なぜなら・・・であるから」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  　参照のこと。
  
• 　Ｄ｜（Ａ、Ｂ、Ｃ）（最大）
  となっている。

次に
　ＤがＣを割り切らない
とせよ。

• 　場合分けの２である。
• 　Ｄ¬｜Ｃ
  となっている。

まず
　Ｃ、Ｄが通約できる
と主張する。

なぜなら
　Ａ、Ｂ、Ｃは通約できる
から、

• 　命題の設定による。
• 　「なぜなら・・・であるから」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  　参照のこと。
  
• 　Ａ∩Ｂ∩Ｃ
  となっている。

　何らかの量がそれらを割り切り、

• 　定義１０ー１（通約）
  による。

　それは
　もちろんＡ、Ｂを割り切る
であろう。

したがって
　Ａ、Ｂの最大公約量Ｄをも割り切る
であろう。

• 　最大公約量は
  　命題１０ー３（作図.最大公約量）
  による
  
• 　Ｄ｜（Ａ、Ｂ）（最大）
  となっている。

そして
　それはＣをも割り切る。

したがって
　この量はＣ、Ｄを割り切る
であろう。

• 　前節、前々節による。

ゆえに
　Ｃ、Ｄは通約できる。

そこで
　それらの最大公約量がとられた
とし、
　それをＥ
とせよ。
　　　　　　[......(ｂ)]

• 　前節、
  　命題１０ー３（作図.最大公約量）
  による。
  
• 　Ｅ｜（Ｃ、Ｄ）（最大）
  となっている。

そうすれば
　ＥはＤを割り切り、

• 　前節による。
• 　Ｅ｜Ｄ
  となっている。

他方
　ＤはＡ、Ｂを割り切る

• 　（ａ）による。
• 　Ｄ｜（Ａ、Ｂ）（最大）
  となっている。

から、
　ＥもＡ、Ｂを割り切る
であろう。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー３の補足（倍量の倍量は倍量）
  による。
  
• 　Ｅ｜（Ａ、Ｂ）
  となっている。

そして
　それはＣをも割り切る。

• 　（ｂ）による。
• 　Ｅ｜Ｃ
  となっている。

したがって
　ＥはＡ、Ｂ、Ｃを割り切る。

• 　前節、前々節による。
• 　Ｅ｜（Ａ、Ｂ、Ｃ）
  となっている。

それゆえ
　ＥはＡ、Ｂ、Ｃの公約量
である。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー３）（公約量・最大公約量）
  による。
  

次に
　最大でもある
と主張する。

なぜなら
もし可能ならば

• 　背理法の仮定を述べようとしている。
• 　「なぜならもし」は、
  　コメント（命題１ー４）
  　参照のこと。
  

　Ｅより大きい何らかの量Ｆがある
とし、
　それがＡ、Ｂ、Ｃを割り切る
とせよ。

• 　背理法の仮定である。
• 　Ｆ＞Ｅ、
  　Ｆ｜（Ａ、Ｂ、Ｃ）
  となっている。

そうすれば
　ＦはＡ、Ｂ、Ｃを割り切る

• 　前節による。

から、
　Ａ、Ｂをも割り切り、
　Ａ、Ｂの最大公約量をも割り切る
であろう。

• 　前節、
  　命題５ー３の補足（倍量の倍量は倍量）
  による。

そして
　Ａ、Ｂの最大公約量はＤである。

• 　（ａ）による。

したがって
　ＦはＤを割り切る。

• 　前節、前々節による。
• 　Ｆ｜Ｄ
  となっている。

そして
　Ｃをも割り切る。

• 　背理法の仮定による。
• 　Ｆ｜Ｃ
  となっている。

したがって
　ＦはＣ、Ｄを割り切る。

• 　前節、前々節による。

それゆえ
　ＦはＣ、Ｄの最大公約量をも割り切る
であろう。

• 　前節、
  　命題１０ー３の系２（公約量は最大公約量を割り切る）
  による。
  

　それはＥである。

• 　（ｂ）による。
• 　Ｅ｜（Ｃ、Ｄ）（最大）
  となっている。

したがって
　ＦはＥを割り切る
であろう、

• 　前節、前々節による。
• 　Ｆ｜Ｅ
  となっている。

すなわち
　大きい量が小さい量を割り切る
であろう。

• 　前節、
  背理法の仮定による。

　これは不可能である。

• 　定義５ー１の補足２（割り切る）
  による。

したがって
　量Ｅより大きいいかなる量も
　Ａ、Ｂ、Ｃを割り切らない。

• 　背理法による。

ゆえに
もし
　ＤがＣを割り切らない
ならば、
　ＥがＡ、Ｂ、Ｃの最大公約量
であり、
もし
　割り切る
ならば、
　Ｄ自身がそう
である。

• 　場合分けの２つが終了

よって
　３つの通約できる量が与えられた
とき、
　それらの最大公約量が見いだされた。

系
これから
　次のことが明らかである、
すなわち
もし
　１つの量が３つの量を割り切る
ならば、
　それらの最大公約量をも割り切る
であろう。

(以下、命題１０ー４の系（３量の公約量は最大公約量の約量）という。)

同様にして
　もっと多くの量についても
　最大公約量がとられる
であろう。

(以下、命題１０ー４の補足２ （作図.４量以上の最大公約量）という。）

そして
　この系が通用する
であろう。

(以下、命題１０ー４の補足３ （４量以上の公約量は最大公約量の約量）という。)
　これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー４は、
  　Ａ∩Ｂ∩Ｃ、
  のとき、
  　Ｄ｜Ａ、Ｂ（最大公約量）、
  　Ｅ｜Ｃ、Ｄ（最大公約量）
  ならば
  　Ｅ｜Ａ、Ｂ、Ｃ（最大公約量）
  のことである。
  
  
• 命題１０ー４の系（３量の公約量は最大公約量の約量）

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	10-4
  その他

• 命題１０ー４の補足２ （作図.４量以上の最大公約量）

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	10-4
  その他

• 命題１０ー４の補足３ （４量以上の公約量は最大公約量の約量）

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		10-4系
  その他

• 命題１０ー４は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		5-1補2,10-1,補(題10-3)
  公準
  公理
  命題	10-3	5-3補,10-3系2
  その他	コ6(題5-1),コ3(題10-3)	コ(題1-4),コ2(題1-16),場合分け,背理法

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