ユークリッド原論をどう読むか(16)
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ユークリッド原論
第10巻
命題10ー98
(第1の中項余線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第2の余線分)
第1の中項余線分
の上の
正方形
に
等し
い
矩形
が
有理線分
上に
つくられる
ならば,
第2の余線分
を
幅
とする。
第1の中項余線分は、
定義の補足(命題10ー74)
による。
正方形は、
定義1ー22
による。
等しいは、
公理1ー7
による。
矩形は、
定義1ー22
による。
有理線分は、
定義10ー3の補足
による。
第2の余線分は、
定義10Vー2
による。
>幅は、
定義の補足(命題10ー20)
による。
ABを
第1の中項余線分
とし,
CDを
有理線分
とし,
AB上の
正方形
に
等し
く
CD上にCFを
幅
とする
CEが
つくられた
とせよ。
命題10ー27
(作図.2中項線分;矩形が有理面積、平方でのみ通約)
命題の補足2(定義10ー3)
(作図.任意の有理線分)、
命題6ー16の補足3
(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
による。
AB;第1の中項余線分、
AG;中項線分、
BG;中項線分、∩^^2 AG、
矩形(AG、GB);有理面積、
CD;有理線分、
点F(;矩形(CD、CF)=正方(_AB))
となっている。
CFは
第2の余線分
である
と主張する。
BGをABへの付加
とせよ。
前節
による。
AB;第1の中項余線分、
AG;中項線分、
BG;中項線分、∩^^2 AG、
矩形(AG、GB);有理面積、
となっている。
そうすれば
AG,GBは
平方においてのみ通約
でき,
有理面積
を
かこ
む
中項線分
である。
[......(1)]
前節、前々節、
定義の補足(命題10ー74)
(第1の中項余線分)
による。
AG∩^^2 GB、
矩形(AG、GB);有理面積、
AG、GB;中項線分
となっている。
CD上に
AG上の
正方形
に
等し
く
CKを
幅
とする
CHが,
GB上の
正方形
に
等し
く
KMを
幅
とする
KLが
つくられた
とせよ。
[......(4)]
命題6ー16の補足3
(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
による。
矩形CH(CD、CK)=正方(_AG)
矩形KL(CD、KM)=正方(_GB)
となっている。
そうすれば
CL全体は
AG,GB上の
正方形
の和に
等し
い。
[......(2)]
前節
による。
矩形CL=正方(_AG)+正方(_GB)
となっている。
それゆえ
CLは
中項面積
である。
前節、
(1)
、
命題10ー23の補足5
(平方で通約の中項線分の平方和は中項面積)
命題10ー23の系
(中項面積と通約なら中項面積)
による。
矩形CL;中項面積
となっている。
そして
有理線分
CD上に
CMを
幅
として
つくられている。
(4)
による。
矩形CL(CD、CM)
CD;有理線分
となっている。
したがって
CMは
有理線分
であり
CDと
長さにおいて通約
できない。
[......(9)]
前節、
命題10ー22
(中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約)
による。
CM;有理線分、
¬かつCD
となっている。
そして
CLは
AG,GB上の
正方形
の和に
等し
く,
そのうち
AB上の
正方形
は
CEに
等し
い
命題の設定
、
(4)
による。
矩形CL=正方(_AG)+正方(_GB)、
矩形CE=正方(_AG)
となっている。
から,
残りの
矩形
AG,GBの2
倍
は
FLに
等し
い。
[......(3)]
前節、
命題2ー7
(差の平方)
による。
矩形FL=2矩形(AG、GB)
となっている。
ところが
矩形
AG,GBの2
倍
は
有理面積
である。
(1)
、
定義10ー4の補足
(有理面積、無理面積)
による。
2矩形(AG、GB);有理面積
となっている。
したがって
FLは
有理面積
である。
[......(8)]
前節、前々節、
による。
矩形FL;有理面積
となっている。
そして
有理線分
FE上に
FMを
幅
として
つくられている。
(4)
による。
矩形FL(FE、FM)
となっている。
それゆえ
FΜも
有理線分
であり
CDと
長さにおいて通約
できる。
[......(10)]
前節、前々節、
命題10ー20
(有理線分上の有理面積の矩形幅は底辺と長さで通約)
命題10ー12
(通約量と通約なら通約)
による。
FE=CD;有理線分、
FM∩CD
となっている。
そこで
AG,GB上の
正方形
の和,
すなわち
CLは
中項面積
であり,
矩形
AG,GBの2
倍
,
すなわち
FLは
有理面積
である
(2)
(3)
(4)
(8)
による。
矩形CL=正方(_AG)+正方(_GB)
;中項面積、
矩形FL(AG、GB);有理面積
となっている。
から,
CLは
FLと
通約
できない。
前節、
命題10ー23の補足6
(有理面積と中項面積は非通約)
となっている。
矩形CL¬∩矩形FL
となっている。
ところが
CLが
FLに
対する
ように,
CMが
FMに
対する
。
(4)
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例) による。
矩形CL:矩形FL=CM:FM
となっている。
したがって
CMは
FMと
長さにおいて通約
できない。
前節、
命題10ー11
(4量比例で一方が通約なら他方も通約)
による。
CM¬∩FM
となっている。
そして
両方とも
有理線分
である。
(9)
(10)
による。
CM、FM;有理線分
となっている。
ゆえに
CM,MFは
平方において通約
できる
有理線分
である。
前節、前々節、
定義10ー3の補足
(有理線分)
による。
CM∩^^2 MF
となっている。
したがって
CFは
余線分
である。
前節、前々節、
定義の補足(命題10ー73)
(余線分)
による。
CF;余線分
となっている。
次に
第2の余線分
でもある
と主張する。
FMが
Nで2
等分
され,
Nを
通り
CDに
平行
に
NOが
ひかれた
とせよ。
[......(6)]
命題1ー10
(作図・線分の2等分)、
命題1ー31
(作図・平行線)
命題1ー30の補足
(交線に平行な線)
による。
中点N(FM)、
交点O(平行線(N、CD)、DL)
となっている。
そうすれば
FO,NLの双方は
矩形
AG,GBに
等し
い。
[......(5)]
前節、
(3)
公理1ー6の補足3
(等しいもののn等分、n等分に等しいもの)
による。
矩形FO=矩形NL
=矩形(AG、GB)
となっている。
そして
矩形
AG,GBは
AG,GB上の
正方形
の
比例中項
であり,
AG上の
正方形
は
CHに,
矩形
AG,GBは
NLに,
BG[上]の
正方形
は
KLに
等し
い
(4)
(5)
命題10ー22助
(2線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例)
による。
矩形CH=正方(_AG)
矩形(AG、GB)=比例中項(正方(_AG)、正方(_GB)
矩形KL=正方(_BG)
となっている。
から,
NLも
CH,KLの
比例中項
である。
[......(7)]
前節、
命題6ー17の補足2
(等しいものの比例中項は等しい)
による。
矩形NL=比例中項(CH、KL)
となっている。
したがって
CHが
NLに
対する
ように,
NLが
KLに
対する
。
前節、
定義の補足3(命題6ー8)
(比例中項)
による。
矩形CH:矩形NL=矩形NL:矩形KL
となっている。
ところが
CHが
NLに
対する
ように,
CKが
NMに
対し
,
NLが
KLに
対する
ように,
NMが
MKに
対する
。
(6)
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
による。
矩形CH:矩形NL=CK:NM
矩形NL:矩形KL=NM:MK
となっている。
したがって
CKが
NMに
対する
ように,
NMが
KMに
対する
。
前節、前々節、
命題5ー11
(同一の比に同じ比)
による。
CK:NM=NM:KM
となっている。
それゆえ
矩形
CK,KMは
NM上の
正方形
に,
すなわち
FM上の
正方形
の4
分の1
に
等し
い。
前節、
(6)
命題6ー17
(比例3線分と外項矩形、中項正方形)
による。
矩形(CK、KM)=正方(_NM)
=1/4 正方(_FM)
となっている。
そこで
CM,MFは
不等な2
線分
であり,
MF上の
正方形
の4
分の1
に
等し
くて
正方形
だけ
欠けている
矩形
CK,KMが
大きい
線分
CM上に
つくられ,
それを
通約
できる
二つの部分に
分ける
前節、
(1)
(4)
による。
矩形(CK、KM)=1/4 正方(_MF)
CK∩KM
となっている。
から,
CM上の
正方形
は
MF上の
正方形
より
CMと
長さにおいて通約
できる
線分
上の
正方形
だけ
大きい。
前節、
命題10ー17
(上の正方形の差が大と通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割(コ)の辺は通約)
による。
正方(_CM)=正方(_MF)+正方(_X)
X∩CM
となっている。
そして
付加された
線分
FMは
定められた
有理線分
CDと
長さにおいて通約
できる。
(10)
による。
FM∩CD;有理線分
となっている。
したがって
CFは
第2の余線分
である。
前節、前々節、
定義10Vー2
(第2の余線分)
による。
CF;第2の余線分
FM∩CD;有理線分
正方(_CM)=正方(_MF)+正方(_X)
X∩CM
となっている。
よって
第1の中項余線分
の上の
正方形
に
等し
い
矩形
が
有理線分
上に
つくられる
ならば,
第2の余線分
を
幅
とする。
前節、
による。
これが証明すべきことであった。
命題10ー98
は、
命題10ー27
(作図.2中項線分;矩形が有理面積、平方でのみ通約)
命題の補足2(定義10ー3)
(作図.任意の有理線分)、
命題6ー16の補足3
(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
により、
AB;第1の中項余線分、
AG;中項線分、
BG;中項線分、∩^^2 AG、
矩形(AG、GB);有理面積、
CD;有理線分、
点F(;矩形(CD、CF)=正方(_AB))
をとり、
命題6ー16の補足3
(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
により、
矩形CH(CD、CK)=正方(_AG)
矩形KL(CD、KM)=正方(_GB)
をとり、
命題1ー10
(作図・線分の2等分)、
命題1ー31
(作図・平行線)
命題1ー30の補足
(交線に平行な線)
により、
中点N(FM)、
交点O(平行線(N、CD)、DL)
をとると、
FM∩CD;有理線分
正方(_CM)=正方(_MF)+正方(_X)
X∩CM
となり、
CF;第2の余線分
のことである。
命題10ー98
は推論用命題である。
前提
作図・構成
推論
定義
補3(題6-8)
,
10-3補
,
10-4補
,
補(題10-73)
,
補(題10-74)
,
10V-2
公準
公理
1-6補3
命題
1-10
,
1-31
,
6-16補3
,
補2(義10-3)
,
10-27
1-30補
,
2-7
,
5-11
,
6-1
,
6-17
,
6-17補2
,
10-11
,
10-12
,
10-17
,
10-20
,
10-22
,
10-22a
,
10-23系
,
10-23補5
,
10-23補6
その他
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