ユークリッド原論をどう読むか(16)
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ユークリッド原論
第10巻
命題10ー97
(余線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第1の余線分)
余線分
の上の
正方形
に
等し
い
矩形
が
有理線分
上に
つくられる
ならば,
第1の余線分
を
幅
とする。
余線分は、
定義の補足(命題10ー73)
による。
正方形は、
定義1ー22
による。
等しいは、
公理1ー7
による。
矩形は、
定義1ー22
による。
有理線分は、
定義10ー3の補足
による。
第1の余線分は、
定義10Vー1
による。
幅は、
定義の補足(命題10ー20)
による。
ABを
余線分
とし,
CDを
有理線分
とし,
AB上の
正方形
に
等し
く
CD上に
CFを
幅
とする
矩形
CEが
つくられた
とせよ。
命題の補足2(定義10ー3)
(作図.任意の有理線分)、
命題10ー6の系3
(作図.長さ・平方で通約可の線分)
命題1ー3
(作図・等しい線分を切り取る)
により、
余線分AB、
有理線分CD
をとり、
命題6ー16の補足3
(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
による。
AB;余線分
AG;有理線分、
BG;有理線分、∩^^2 AG
CD;有理線分
点F(;矩形(CD、CF)=正方(_AB))
となっている。
CFは
第1の余線分
である
と主張する。
BGを
ABへの付加
とせよ。
前節
による。
AB;余線分
AG;有理線分、
BG;有理線分、∩^^2 AG
となっている。
そうすれば
AG,GBは
平方においてのみ通約
できる
有理線分
である。
[......(1)]
前節
による。
AB、BG;有理線分 AB∩^^2 BG
となっている。
CD上に
AG上の
正方形
に
等し
く
矩形
CHが,
BG上の
正方形
に
等し
く
矩形
KLが
つくられた
とせよ。
[......(3)]
命題6ー16の補足3
(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
による。
矩形CH(;=正方(_AG))、
矩形KL(;=正方(_BG))
となっている。
そうすれば
CL全体は
AG,GB上の
正方形
の和に
等し
く,
[......(2)]
前節
による。
矩形CL=正方(_AG)+正方(_GB)
となっている。
そのうち
CEは
AB上の
正方形
に
等し
い。
命題の設定
による。
矩形CE=正方(_AB)
となっている。
ゆえに
残りのFLは
矩形
AG,GBの2
倍
に
等し
い。
[......(4)]
前節、前々節、
命題2ー7
(差の平方)
による。
矩形FL=2矩形(AG、GB)
となっている。
FMが
点
Nで2
等分
され,
Nを
通り
CDに
平行
に
NOが
ひかれた
とせよ。
[......(9)]
命題1ー10
(作図・線分の2等分)
命題1ー31
(作図・平行線)
による。
点N;2等分点(;FM)、
点O;交点(;DL、平行線(;N、CD))
となっている。
そうすれば
FO、LNの双方は
矩形
AG,GBに
等し
い。
[......(10)]
前節、前々節
による。
矩形FO=矩形LN=矩形(AG、GB)
となっている。
そして
AG,GB上の
正方形
の和は
有理面積
であり,
DMは
AG,GB上の
正方形
の和に
等し
い
[......(5)]
(1)
(2)
定義10ー4の補足
(有理面積、無理面積)
による。
正方(_AG)+正方(_GB);有理面積、
矩形DM=正方(_AG)+正方(_GB)
となっている。
から,
DMは
有理面積
である。
前節、
定義10ー4の補足
(有理面積、無理面積)
による。
矩形DM;有理面積
となっている。
そして
有理線分
CD上に
CMを
幅
として
つくられた。
(3)
による。
矩形DM;矩形(CD、CM)
となっている。
したがって
CMは
有理線分
であり
CDと
長さにおいて通約
できる。
[......(7)]
前節、
命題10ー20
(有理線分上の有理面積の矩形幅は底辺と長さで通約)
による。
CM;有理線分、
∩CD
となっている。
また
矩形
AG,GBの2
倍
は
中項面積
であり,
FLは
矩形
AG,GBの2
倍
に
等し
い
[......(6)]
(1)
、
(4)
命題10ー21
(平方のみ通約可の有理線分の矩形と無理面積・無理線分)
による。
2矩形(AG、GB);中項面積、
矩形FL=2矩形(AG、GB)
となっている。
から,
FLは
中項面積
である。
前節、
定義の補足2(命題10ー23)
(中項面積)
による。
矩形FL;中項面積
となっている。
そして
有理線分
CD上に
FMを
幅
として
つくられている。
命題の設定
、
(3)
による。
矩形FL(CD、FM)、
CD;有理線分
となっている。
それゆえ
FMは
有理線分
であり
CDと
長さにおいて通約
できない。
[......(8)]
前節、前々節、
命題10ー22
(中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約)
による。
FM;有理線分、
¬∩CD
となっている。
そして
AG,GB上の
正方形
の和は
有理面積
であり,
(5)
による。
正方(_AG)+正方(_GB);有理面積
となっている。
矩形
AG,GBの2
倍
は
中項面積
である
(6)
による。
2矩形(AG、GB);中項面積
となっている。
から,
AG,GB上の
正方形
の和は
矩形
AG,GBの2
倍
と
通約
できない。
前節、
命題10ー23の補足6
(有理面積と中項面積は非通約)
による。
正方(_AG)+正方(_GB)¬∩2矩形(AG、GB)
となっている。
そして
CLは
AG,GB上の
正方形
の和に,
FLは
矩形
AG,GBの2
倍
に
等し
い。
(5)
(6)
による。
矩形CL=正方(_AG)+正方(_GB)、
矩形FL=2矩形(AG、GB)
となっている。
したがって
DMは
FLと
通約
できない。
前節、前々節、
命題10ー13
(通約量と非通約なら非通約)
による。
矩形DM=矩形CL¬∩矩形FL
となっている。
ところが
DMが
FLに
対する
ように,
CMが
FMに
対する
。
命題の設定
、
(3)
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
による。
矩形DM:矩形FL=CM:FM
となっている。
ゆえに
CMは
FMと
長さにおいて通約
できない。
前節、
命題10ー11
(4量比例で一方が通約なら他方も通約)
による。
CM¬∩FM
となっている。
そして
両方とも
有理線分
である。
(7)
(8)
による。
CM、FM;有理線分
となっている。
それゆえ
CM,MFは
平方においてのみ通約
できる
有理線分
である。
前節、前々節、
定義の補足(命題10ー19助)
(平方においてのみ通約)
による。
CM∩^^2 FM
となっている。
したがって
CFは
余線分
である。
前節、
定義の補足(命題10ー73)
(余線分)
による。
CF:余線分
となっている。
次に
第1の余線分
でもある
と主張する。
矩形
AG,GBは
AG,GB上の
正方形
の
比例中項
であり,
[......(12)]
(3)
命題10ー22助
(2線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例)
による。
矩形(AG、GB)=比例中項(正方(_AG)、正方(_GB)
となっている。
CHは
AG上の
正方形
に
等し
く,
KLは
BG上の
正方形
に
等し
く,
NLは
矩形
AG,GBに
等し
い
(3)
(10)
による。
矩形CH=正方(_AG)、
矩形KL=正方(_BG)、
矩形NL=矩形(AG、GB)
となっている。
から,
NLも
CH,KLの
比例中項
である。
前節、
(10)
(12)
命題6ー17の補足2
(等しいものの比例中項は等しい)
による。
矩形NL;比例中項(矩形CH、矩形KL)
となっている。
したがって
CHが
NLに
対する
ように,
NLが
KLに
対する
。
前節、
定義の補足3(命題6ー8)
(比例中項)
による。
矩形CH:矩形NL=矩形NL:矩形KL
となっている。
ところが
CHが
NLに
対する
ように,
CKが
NMに
対する
。
そして
NLが
KLに
対する
ように,
NMが
KMに
対する
。
(3)
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
による。
矩形CH:矩形NL=CK:NM
矩形NL:矩形KL=NM:KM
となっている。
したがって
矩形
CK,KMは
NM上の
正方形
に,
すなわち
FM上の
正方形
の4
分の1
に
等し
い。
[......(11)]
前節、前々節、
(9)
命題6ー17
(比例3線分と外項矩形、中項正方形) による。
矩形(CK、KM)=正方(_NM)
=1/4 正方(_FM)
となっている。
そして
AG上の
正方形
は
GB上の
正方形
と
通約
できる
(1)
による。
正方(_AG)∩正方(_GB)
となっている。
から,
CHも
KLと
通約
できる。
前節、
(3)
命題10ー12
(通約量と通約なら通約)
による。
矩形CH∩矩形KL
となっている。
ところが
CHが
KLに
対する
ように,
CKが
KMに
対する
。
(3)
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
による。
矩形CH:矩形KL=CK:KM
となっている。
ゆえに
CKは
KMと
通約
できる。
前節、前々節
による。
CK∩KM
となっている。
そこで
CM,MFは
不等な2線分
であり,
FM上の
正方形
の4
分の1
に
等し
くて
正方形
だけ
欠けている
矩形
CK,KMが
CM上に
つくられ,
CKは
KMと
通約
できる
前節、
命題の設定
、
(3)
(11)
による。
CM≠MF、
矩形(CK、KM)=1/4 正方(_FM)
CK∩KM
となっている。
から,
CM上の
正方形
は
MF上の
正方形
より,
CMと
長さにおいて通約
できる
線分
上の
正方形
だけ
大きい。
前節、
命題10ー17
(上の正方形の差が大と通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割(コ)の辺は通約)
による。
正方(_CM)=正方(_MF)+正方(_X)
X∩CM
となっている。
そして
CMは
定められた
有理線分
CDと
長さにおいて通約
できる。
(7)
による。
CM∩CD;指定有理線分
となっている。
ゆえに
CFは
第1の余線分
である。
前節、前々節、
定義10Vー1
(第1の余線分)
による。
CF;第1の余線分
となっている。
よって
余線分
の上の
正方形
に
等し
い
矩形
が
有理線分
上に
つくられる
ならば,
第1の余線分
を
幅
とする。
前節
による。
命題10ー97
は、
命題の補足2(定義10ー3)
(作図.任意の有理線分)、
命題10ー6の系3
(作図.長さ・平方で通約可の線分)
命題1ー3
(作図・等しい線分を切り取る)
命題6ー16の補足3
(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
により、
AB;余線分
AG;有理線分、
BG;有理線分、∩^^2 AG
CD;有理線分
点F(;矩形(CD、CF)=正方(_AB))
をとり、
命題6ー16の補足3
(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
により、
矩形CH(;=正方(_AG))、
矩形KL(;=正方(_BG))
をとり、
命題1ー10
(作図・線分の2等分)
命題1ー31
(作図・平行線)
により、
点N;2等分点(;FM)、
点O;交点(;DL、平行線(;N、CD))
をとれば、
CM∩^^2 FM、
正方(_CM)=正方(_MF)+正方(_X)
X∩CM
CM∩CD;指定有理線分
となり、
定義10Vー1
(第1の余線分)
により、
CF;第1の余線分
のことである。
命題10ー97
は推論用命題である。
前提
作図・構成
推論
定義
補3(題6-8)
,
10-4補
,
補(題10-19助)
,
補2(題10-23)
,
補(題10-73)
,
10V-1
公準
公理
命題
1-3
,
1-10
,
1-31
,
6-16補3
,
補2(定義10-3)
,
10-6系3
2-7
,
6-1
,
6-17
,
6-17補2
,
10-11
,
10-12
,
10-13
,
10-17
,
10-20
,
10-21
,
10-22
,
10-22助
,
10-23補6
その他
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