ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー１００（劣線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第４の余線分）
　　劣線分の上の正方形
　　　に等しい
　矩形が
　　有理線分上に
　　　つくられる
ならば，
　　第４の余線分を幅
　　　とする。

• 劣線分は、
  定義の補足（命題１０ー７６）による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 矩形は、
  定義１ー２２による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 第４の余線分は、
  定義１０�Vー４による。
• 幅は、
  定義の補足（命題１０ー２０）による。

　　ＡＢを劣線分，
　　ＣＤを有理線分
　　　とし，
　　ＡＢ上の正方形
　　　に等しく
　　有理線分ＣＤ上にＣＦを幅
　　　とする
　矩形ＣＥが
　　　つくられた
とせよ。

• 　命題１０ー３３（作図.２線分；平方で非通約、平方和が有理面積、矩形が中項面積）
  　により、
  　　　２線分をとり、
  　　　大きい方をＡＧ、
  　　　小さい方をＢ’Ｇ’
  とし、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
  による。
  また、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
  
• 　Ｂ(ＡＧ；ＢＧ＝Ｂ’Ｇ’)、
  　ＡＧ¬∩^2 ＢＧ、
  　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＢＧ)；有理面積、
  　矩形(ＡＧ、ＧＢ)；中項面積
  
  　ＣＤ；有理線分、
  　矩形ＣＥ(ＣＤ、ＣＦ；＝正方(_ＡＢ))
  となっている。

　ＣＦは
　　第４の余線分
　　　である
と主張する。

　　ＢＧをＡＢへの付加
とせよ。

• 　前節、
  による。
• 　ＡＧ¬∩^2 ＢＧ、
  　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＢＧ)；有理面積、
  　矩形(ＡＧ、ＧＢ)；中項面積
  となっている。

そうすれば
　ＡＧ，ＧＢは
　　平方において通約
　　　できず，
　　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の和を有理面積
　　　とし，
　　矩形ＡＧ，ＧＢの２倍を中項面積
　　　とする。
　　　　[......(１)]

• 　前節
  による。
• 　ＡＧ¬∩^2 ＢＧ、
  　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＢＧ)；有理面積、
  　矩形(ＡＧ、ＧＢ)；中項面積
  となっている。

　　ＣＤ上にＡＧ上の正方形
　　　に等しく
　　ＣＫを幅
　　　とする
　矩形ＣＨが，
　　ＢＧ上の正方形
　　　に等しく
　　ＫＭを幅
　　　とする
　ＫＬが
　　　つくられた
とせよ。
　　　　[......(２)]

• 　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
• 　矩形ＣＨ(ＣＤ、ＣＫ；＝正方(_ＡＧ))、
  　矩形ＫＬ(ＣＤ、ＫＭ；＝正方(_ＢＧ))
  となっている。

そうすれば
　ＣＬ全体は
　　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の和
　　　に等しい。
　　　　[......(３)]

• 　前節
  による。
• 　矩形ＣＬ＝正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)
  となっている。

そして
　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の和は
　　有理面積
　　　である。

• 　（１）
  による。
• 　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)；有理面積
  となっている。

ゆえに
　ＣＬも
　　有理面積
　　　である。
　　　　[......(５)]

• 　前節、前々節
  による。
• 　矩形ＣＬ；有理面積
  となっている。

そして
　　有理線分ＣＤ上に
　　ＣＭを幅として
　　　つくられている。

• 　（２）
  による。
• 　矩形ＣＬ(ＣＤ、ＣＭ)
  となっている。

したがって
　ＣＭも
　　有理線分
　　　であり
　　ＣＤと長さにおいて通約
　　　できる。
　　　　[......(６)]

• 　前節、
  　命題１０ー２０（有理線分上の有理面積の矩形幅は底辺と長さで通約）
  による。
• 　ＣＭ；有理線分、
  　ＣＭ∩ＣＤ
  となっている。

そして
　ＣＬ全体は
　　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の和
　　　に等しく，
そのうち
　ＣＥは
　　ＡＢ上の正方形
　　　に等しい

• 　命題の設定、 （３）
  による。
• 　矩形ＣＬ＝正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)、
  　矩形ＣＥ＝正方(_ＡＢ)
  となっている。

から，
　のこりのＦＬは
　　矩形ＡＧ,ＧＢの２倍
　　　に等しい。
　　　　[......(４)]

• 　前節、
  　命題２ー７（差の平方）
  による。
• 　矩形ＦＬ＝２矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

そこで
　ＦＭが
　　点Ｎで２等分
　　　された
とし，
　　Ｎを
　　　通り
　　ＣＤ,ＭＬのいずれかに平行に
　ＮＯが
　　　ひかれた
とせよ。
　　　　[......(９)]

• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  による。
• 　中点Ｎ(ＦＭ)、
  　交点Ｏ(ＤＬ、平行線(Ｎ、ＣＤ))
  となっている。

そうすれば
　ＦＯ,ＮＬの双方は
　　矩形ＡＧ,ＧＢ
　　　に等しい。
　　　　[......(８)]

• 　前節、前々節、
  　公理１ー６の補足３（等しいもののｎ等分、ｎ等分に等しいもの）
  による。
• 　矩形ＦＯ＝矩形ＮＬ＝矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

そして
　矩形ＡＧ,ＧＢの２倍は
　　中項面積
　　　であり
　　ＦＬ
　　　に等しい

• 　（１） （４）
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　２矩形(ＡＧ、ＧＢ)；中項面積、
  　矩形ＦＬ＝２矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

から，
　ＦＬも
　　中項面積
　　　である。

• 　前節、
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　矩形ＦＬ；中項面積
  となっている。

そして
　　有理線分ＦＥ上にＦＭを幅として
　　　つくられている。

• 　（２）
  による。
• 　矩形ＦＬ(ＦＥ、ＦＭ)
  となっている。

したがって
　ＦＭは
　　有理線分
　　　であり
　　ＣＤと長さにおいて通約
　　　できない。
　　　　[......(７)]

• 　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
• 　ＦＭ；有理面積、
  　ＦＭ¬∩ＣＤ
  となっている。

そして
　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の和は
　　有理面積，
　矩形ＡＧ,ＧＢの２倍は
　　中項面積
　　　である

• 　（１）
  による。
• 　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)；有理面積、
  　２矩形(ＡＧ、ＧＢ)；中項面積
  となっている。

から，
　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の和は
　　矩形ＡＧ,ＧＢの２倍と通約
　　　できない。

• 　前節、
  　命題１０ー２３の補足６(有理面積と中項面積は非通約)
  による。
• 　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)¬∩２矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

ところが
　ＣＬは
　　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の和
　　　に等しく，
　ＦＬは
　　矩形ＡＧ,ＧＢの２倍
　　　に等しい。

• 　（３） （４）
  による。
• 　矩形ＣＬ＝正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)、
  　矩形ＦＬ＝２矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

したがって
　ＣＬは
　　ＦＬと通約
　　　できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　矩形ＣＬ¬∩矩形ＦＬ
  となっている。

ところが
　ＣＬが
　　ＦＬに対するように，
　ＣＭが
　　ＭＦに
　　　対する。

• 　（２）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　矩形ＣＬ：矩形ＦＬ＝ＣＭ：ＭＦ
  となっている。

ゆえに
　ＣＭは
　　ＭＦと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＣＭ¬∩ＭＦ
  となっている。

そして
　両方とも
　　有理線分
　　　である。

• 　（６） （７）
  による。
• 　ＣＭ、ＭＦ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＣＭ,ＭＦは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）、
  　定義の補足（命題１０ー１９助）(平方においてのみ通約)
  による。
• 　ＣＭ∩^^2 ＭＦ
  となっている。

それゆえ
　ＣＦは
　　余線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義の補足(命題１０ー７３)(余線分)
  による。
• 　ＣＦ；余線分
  となっている。

　　第４の余線分
　　　でもある
と主張する。

　ＡＧ,ＧＢは
　　平方において通約
　　　できない

• 　（１）
  による。
• 　ＡＧ¬∩^2 ＧＢ
  となっている。

から，
　ＡＧ上の正方形は
　　ＧＢ上の正方形と通約
　　　できない。

• 　前節
  による。
• 　正方(_ＡＧ)¬∩正方(_ＧＢ)
  となっている。

そして
　ＣＨは
　　ＡＧ上の正方形
　　　に等しく，
　ＫＬは
　　ＧＢ上の正方形
　　　に等しい。

• 　（２）による。
• 　矩形ＣＨ＝正方(_ＡＧ)、
  　矩形ＫＬ＝正方(_ＧＢ)
  となっている。

したがって
　ＣＨは
　　ＫＬと通約
　　　できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　矩形ＣＨ¬∩矩形ＫＬ
  となっている。

ところが
　ＣＨが
　　ＫＬに対するように，
　ＣＫが
　　ＫＭに
　　　対する。

• 　（２）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　矩形ＣＨ：矩形ＫＬ＝ＣＫ：ＫＭ
  となっている。

ゆえに
　ＣＫは
　　ＫＭと長さにおいて通約
　　　できない。
　　　[......(１０)]

• 　前節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＣＫ¬∩ＫＭ
  となっている。

そして
　矩形ＡＧ,ＧＢは
　　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の比例中項
　　　であり，
　ＡＧ上の正方形は
　　ＣＨに，
　ＧＢ上の正方形は
　　ＫＬに，
　矩形ＡＧ,ＧＢは
　　ＮＬに
　　　等しい

• 　（２） （８）、
  　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）、
  　定義の補足３（命題６ー８）(比例中項)
  による。
• 　矩形(ＡＧ、ＧＢ)＝比例中項（正方(_ＡＧ)、正方(_ＧＢ)、
  　正方(_ＡＧ)＝矩形ＣＨ、
  　正方(_ＧＢ)＝矩形ＣＨ、
  　矩形ＮＬ＝矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

から，
　ＮＬは
　　ＣＨ,ＫＬの比例中項
　　　である。

• 　前節、
  　命題６ー１７の補足２(等しいものの比例中項は等しい)
  による。
• 　ＮＬ＝比例中項（矩形ＣＨ、矩形ＫＬ)
  となっている。

それゆえ
　ＣＨが
　　ＮＬに対するように，
　ＮＬが
　　ＫＬに
　　　対する。

• 　前節、
  　定義の補足３（命題６ー８）(比例中項)
  による。
• 　矩形ＣＨ：矩形ＮＬ＝矩形ＮＬ：矩形ＫＬ
  となっている。

ところが
　ＣＨが
　　ＮＬに対するように，
　ＣＫが
　　ＮＭに，
　ＮＬが
　　ＫＬに対するように，
　ＮＭが
　　ＫＭに
　　　対する。

• 　（２） （９）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　矩形ＣＨ：矩形ＮＬ＝ＣＫ：ＮＭ
  　矩形ＮＬ：矩形ＫＬ＝ＮＭ：ＫＭ
  となっている。

したがって
　ＣＫが
　　ＭＮに対するように，
　ＭＮが
　　ＫＭに
　　　対する。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　ＣＫ：ＭＮ＝ＭＮ：ＫＭ
  となっている。

ゆえに
　矩形ＣＫ,ＫＭは
　　ＭＮ上の正方形に，
すなわち
　　ＦＭ上の正方形の４分の１
　　　に等しい。

• 　前節、
  　命題６ー１７（比例３線分と外項矩形、中項正方形）、
  　命題６ー２０の系(系.相似四辺形の比は対応辺の比の２乗)
  による。
• 　矩形(ＣＫ、ＫＭ)＝正方(_ＭＮ)
  　　＝１／４ 正方(_ＦＭ)
  となっている。

そこで
　ＣＭ,ＭＦは
　　不等な２線分
　　　であり，
　　ＭＦ上の正方形の４分の１
　　　に等しく，
　　正方形だけ
　　　欠けている
　矩形ＣＫ,ＫＭが
　　ＣＭ上に
　　　つくられ，
　　それを通約
　　　でき＜る＞［ない］
　　二つの部分に
　　　分ける

• 　前節、 命題の設定、 （２） （１０）
  による。
• 　ＣＭ＞ＭＦ、
  　矩形(ＣＫ、ＫＭ)＝１／４ 正方(_ＭＦ)
  　ＣＫ¬∩ＫＭ
  となっている。

から，
　ＣＭ上の正方形は
　　ＭＦ上の正方形より
　　ＣＭと通約
　　　できない
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい。

• 　前節、
  　命題１０ー１８（上の正方形の差が大と非通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は非通約）
  による。
• 　正方(_ＣＭ)＝正方(_ＭＦ)＋正方(_Ｘ)、
  　Ｘ¬∩ＣＭ
  となっている。

そして
　ＣＭ全体は
　　　定められた
　　有理線分ＣＤと
　　長さにおいて通約
　　　できる。

• 　（６）
  による。
• 　ＣＭ∩ＣＤ
  となっている。

したがって
　ＣＦは
　　第４の余線分
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０�Vー４（第４の余線分）
  による。
• 　ＣＦ；第４の余線分
  となっている。

よつて
　劣線分の上の正方形は
　　云々

• 　「は
  　　云々」は
  　以下のことが想定される。
  　　「に等しい
  　矩形が
  　　有理線分上に
  　　　つくられる
  ならば，
  　　第４の余線分を幅
  　　　とする。」
• 　前節
  による。

• 命題１０ー１００は、
  　命題１０ー３３（作図.２線分；平方で非通約、平方和が有理面積、矩形が中項面積）
  　により、
  　　　２線分をとり、
  　　　大きい方をＡＧ、
  　　　小さい方をＢ’Ｇ’
  とし、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　Ｂ(ＡＧ；ＢＧ＝Ｂ’Ｇ’)、
  　ＡＧ¬∩^2 ＢＧ、
  　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＢＧ)；有理面積、
  　矩形(ＡＧ、ＧＢ)；中項面積
  　ＣＤ；有理線分、
  　矩形ＣＥ(ＣＤ、ＣＦ；＝正方(_ＡＢ))
  とし、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　矩形ＣＨ(ＣＤ、ＣＫ；＝正方(_ＡＧ))、
  　矩形ＫＬ(ＣＤ、ＫＭ；＝正方(_ＢＧ))
  とし、
  　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  により、
  　中点Ｎ(ＦＭ)、
  　交点Ｎ(ＤＬ、平行線(Ｎ、ＣＤ))
  とすれば、
  　ＣＭ、ＭＦ；有理線分、
  　ＣＭ∩^^2 ＭＦ、
  　正方(_ＣＭ)＝正方(_ＭＦ)＋正方(_Ｘ)、
  　　Ｘ¬∩ＣＭ
  　ＣＭ∩ＣＤ
  　ＣＦ；第４の余線分
  のことである。
• 命題１０ー１００は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		補3(題6-8),10-3補,補(題10-19助),補(題10-73),10�V-4
  公準
  公理		1-6補3
  命題	1-3,1-10,1-31,6-16補3,補2(義10-3),10-33	2-7,5-11,6-1,6-17,6-17補2,6-20系,10-11,10-13,10-18,10-20,10-22,10-22助,10-23系,10-23補6
  その他

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