ユークリッド原論をどう読むか（１６）
頁末 　　 前 　　 次 　 目次

ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー１０１（中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第５の余線分）
　　中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺の上の
　　正方形
　　　に等しい
　矩形が
　　有理線分上に
　　　つくられる
ならば，
　　第５の余線分を幅
　　　とする。

• 中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺は、
  定義の補足（命題１０ー７７）による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 矩形は、
  定義１ー２２による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 第５の余線分は、
  定義１０�Vー５による。
• 幅は、
  定義の補足（命題１０ー２０）による。

　　ＡＢを
　　中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺、
　　ＣＤを
　　有理線分
　　　とし，
　　ＡＢ上の正方形
　　　に等しく
　　ＣＤ上にＣＦを幅
　　　とする
　ＣＥが
　　　つくられた
とせよ。

• 　命題１０ー３４（作図.２線分；平方で非通約、平方和が中項面積、矩形が有理面積）
  により、
  　　　２線分をとり、
  　　　大きい方をＡＧ、
  　　　小さい方をＢ’Ｇ’
  とし、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
  による。
  また、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
• 　Ｂ(ＡＧ；ＢＧ＝Ｂ’Ｇ’)、
  　ＡＧ¬∩^2 ＢＧ、
  　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＢＧ)；中項面積、
  　矩形(ＡＧ、ＧＢ)；有理面積
  　ＣＤ；有理線分、
  　矩形ＣＥ(ＣＤ、ＣＦ；＝正方(_ＡＢ))
  となっている。

　ＣＦは
　　第５の余線分
　　　である
と主張する。

　ＢＧをＡＢへの付加
とせよ。

• 　前節、
  による。
• 　ＡＧ¬∩^2 ＢＧ、
  　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＢＧ)；中項面積、
  　矩形(ＡＧ、ＧＢ)；有理面積
  となっている。

そうすれば
　ＡＧ,ＧＢは
　　平方において通約
　　　できず，
　　それらの上の正方形の和を中項面積
　　　とし，
　　それらによって
　　　かこまれる
　　矩形を有理面積
　　　とする
　　線分
　　　である。
　　　　[......(１)]

• 　前節、前々節、
  による。
• 　ＡＧ¬∩^2 ＧＢ、
  　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)；中項面積、
  　矩形(ＡＧ、ＧＢ)；有理面積
  となっている。

　　ＣＤ上にＡＧ上の正方形
　　　に等しく
　ＣＨが，
　　ＧＢ上の正方形
　　　に等しく
　ＫＬが
　　　つくられた
とせよ。
　　　　[......(２)]

• 　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
• 　矩形ＣＨ(ＣＤ、ＣＫ；＝正方(_ＡＧ))、
  　矩形ＫＬ(ＣＤ、ＫＭ；＝正方(_ＢＧ))
  となっている。

そうすれば
　ＣＬ全体は
　　ＡＧ，ＧＢ上の正方形の和
　　　に等しい。
　　　　[......(３)]

• 　前節、
  による。
• 　矩形ＣＬ＝正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)
  となっている。

ところが
　ＡＧ，ＧＢ上の正方形の和は
　　中項面積
　　　である。

• 　（１）
  による。
• 　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)；中項面積
  となっている。

それゆえ
　ＣＬは
　　中項面積
　　　である。
　　　　[......(５)]

• 　前節、前々節、
  による。
• 　矩形ＣＬ；中項面積
  となっている。

そして
　　有理線分ＣＤ上にＣＭを幅
　　　としてつくられている。

• 　（２）
  による。
• 　矩形ＣＬ(ＣＤ、ＣＭ)
  となっている。

したがって
　ＣＭは
　　有理線分
　　　であり
　　ＣＤと通約
　　　できない。
　　　　[......(７)]

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
• 　ＣＭ；有理面積、
  　ＣＭ¬∩ＣＤ
  となっている。

そして
　ＣＬ全体は
　　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の和
　　　に等しく，
そのうち
　ＣＥは
　　ＡＢ上の正方形
　　　に等しい

• 　（３） 命題の設定
  による。
• 　矩形ＣＬ＝正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)、
  　ＣＥ＝正方(_ＡＢ)
  となっている。

から，
　残りのＦＬは
　　矩形ＡＧ,ＧＢの２倍
　　　に等しい。
　　　　[......(４)]

• 　前節、
  　命題２ー７（差の平方）
  による。
• 　矩形ＦＬ＝２矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

そこで
　ＦＭが
　　Ｎで２等分
　　　されたとし，
　　Ｎを
　　　通り
　　ＣＤ,ＭＬのいずれかに平行に
　ＮＯが
　　　ひかれた
とせよ。
　　　[......(１０)]

• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  による。
• 　中点Ｎ(ＦＭ)、
  　交点Ｏ(ＤＬ、平行線(Ｎ、ＣＤ))
  となっている。

　ＦＯ，ＮＬの双方は
　　矩形ＡＧ,ＧＢ
　　　に等しい。
　　　　[......(９)]

• 　前節、前々節、
  　公理１ー６の補足３（等しいもののｎ等分、ｎ等分に等しいもの）
  による。
• 　矩形ＦＯ、矩形ＮＬ＝矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

そして
　矩形ＡＧ,ＧＢの２倍は
　　有理面積
　　　であり
　　ＦＬ
　　　に等しい

• 　（１） （４）
  による。
• 　２矩形(ＡＧ、ＧＢ)；有理面積、
  　矩形ＦＬ＝２矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

から，
　ＦＬは
　　有理面積
　　　である。
　　　　[......(６)]

• 　前節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　矩形ＦＬ；有理面積
  となっている。

そして
　　有理線分ΕＦ上にＦＭを幅
　　　としてつくられている。

• 　命題の設定、 （２）
  による。
• 　矩形ＦＬ(ＥＦ，ＦＭ)
  となっている。

したがって
　ＦＭは
　　有理線分
　　　であり
　　ＣＤと長さにおいて通約
　　　できる。
　　　　[......(８)]

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー２０（有理線分上の有理面積の矩形幅は底辺と長さで通約）
  による。
• 　ＦＭ；有理線分、
  　ＦＭ∩ＣＤ
  となっている。

そして
　ＣＬは
　　中項面積
　　　であり，
　ＦＬは
　　有理面積
　　　である

• 　（５） （６）
  による。
• 　矩形ＣＬ；中項面積、
  　矩形ＦＬ；有理面積
  となっている。

から，
　ＣＬは
　　ＦＬと通約
　　　できない。

• 　前節、
  　命題１０ー２３の補足６(有理面積と中項面積は非通約)
  による。
• 　ＣＬ¬∩ＦＬ
  となっている。

ところが
　ＣＬが
　　ＦＬに対するように，
　ＣＭが
　　ＭＦに
　　　対する。

• 　命題の設定、 （２）
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　矩形ＣＬ：矩形ＦＬ＝ＣＭ：ＭＦ
  となっている。

したがって
　ＣＭは
　　ＭＦと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＣＭ¬∩ＭＦ
  となっている。

そして
　両方とも
　　有理線分
　　　である。

• 　（７） （８）
  による。
• 　ＣＭ、ＭＦ；有理線分
  となっている。

ゆえに
　ＣＭ,ＭＦは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＣＭ、ＭＦ；有理線分、
  　ＣＭ∩^^2 ＭＦ
  となっている。

したがって
　ＣＦは
　　余線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義の補足(命題１０ー７３)(余線分)
  による。
• 　ＣＦ；余線分
  となっている。

次に
　　第５の余線分
　　　でもある
と主張する。

同様にして
　矩形ＣＫＭが
　　ＮＭ上の正方形に，
　　すなわち
　　ＦＭ上の正方形の４分の１
　　　に等しい
ことを証明しうる。
　　　[......(１１)]

• 　前命題１０ー１００と同様に
  ということであり、
  　以下のようになる。
  
  「矩形ＡＧ,ＧＢは
  　　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の比例中項
  　　　であり，
  　ＡＧ上の正方形は
  　　ＣＨに，
  　ＧＢ上の正方形は
  　　ＫＬに，
  　矩形ＡＧ,ＧＢは
  　　ＮＬに
  　　　等しい
  
  • 　（２） （９）、
    　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）、
    　定義の補足３（命題６ー８）(比例中項)
    による。
    
  • 　矩形(ＡＧ、ＧＢ)＝比例中項（正方(_ＡＧ)、正方(_ＧＢ)、
    　正方(_ＡＧ)＝矩形ＣＨ、
    　正方(_ＧＢ)＝矩形ＣＨ、
    　矩形ＮＬ＝矩形(ＡＧ、ＧＢ)
    となっている。
  から，
  　ＮＬは
  　　ＣＨ,ＫＬの比例中項
  　　　である。
  
  • 　前節、
    　命題６ー１７の補足２(等しいものの比例中項は等しい)
    による。
  • 　ＮＬ＝比例中項（矩形ＣＨ、矩形ＫＬ)
    となっている。
  
  それゆえ
  　ＣＨが
  　　ＮＬに対するように，
  　ＮＬが
  　　ＫＬに
  　　　対する。
  
  • 　前節、
    　定義の補足３（命題６ー８）(比例中項)
    による。
  • 　矩形ＣＨ：矩形ＮＬ＝矩形ＮＬ：矩形ＫＬ
    となっている。
  
  ところが
  　ＣＨが
  　　ＮＬに対するように，
  　ＣＫが
  　　ＮＭに，
  　ＮＬが
  　　ＫＬに対するように，
  　ＮＭが
  　　ＫＭに
  　　　対する。
  
  • 　（２） （１０）、
    　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
    による。
  • 　矩形ＣＨ：矩形ＮＬ＝ＣＫ：ＮＭ
    　矩形ＮＬ：矩形ＫＬ＝ＮＭ：ＫＭ
    となっている。
  
  したがって
  　ＣＫが
  　　ＭＮに対するように，
  　ＭＮが
  　　ＫＭに
  　　　対する。
  
  • 　前節、前々節、
    　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
    による。
  • 　ＣＫ：ＭＮ＝ＭＮ：ＫＭ
    となっている。
  
  ゆえに
  　矩形ＣＫ,ＫＭは
  　　ＭＮ上の正方形に，
  すなわち
  　　ＦＭ上の正方形の４分の１
  　　　に等しい。
  
  • 　前節、
    　命題６ー１７（比例３線分と外項矩形、中項正方形）、
    　命題６ー２０の系(系.相似四辺形の比は対応辺の比の２乗)
    による。
    
  • 　矩形(ＣＫ、ＫＭ)＝正方(_ＭＮ)
    　　＝１／４ 正方(_ＦＭ)
    となっている。
  」
  以上である。
  
• 　矩形(ＣＫ、ＫＭ)＝正方(_ＭＮ)
  　　＝１／４ 正方(_ＦＭ)
  となっている。

そして
　ＡＧ上の正方形は
　　ＧＢ上の正方形と通約
　　　できず，
　ＡＧ上の正方形は
　　ＣＨに，
　ＧＢ上の正方形は
　　ＫＬ
　　　に等しい

• 　（１） （２）
  による。
• 　正方(_ＡＧ)¬∩正方(_ＧＢ)、
  　正方(_ＡＧ)＝矩形ＣＨ、
  　正方(_ＧＢ)＝矩形ＫＬ
  となっている。

から，
　ＣＨは
　　ＫＬと通約
　　　できない。

• 　前節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＣＨ¬∩ＫＬ
  となっている。

ところが
　ＣＨが
　　ＫＬに対するように，
　ＣＫが
　　ＫＭに
　　　対する。

• 　（２）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＣＨ：ＫＬ＝ＣＫ：ＫＭ
  となっている。

したがって
　ＣＫは
　　ＫＭと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、前節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＣＫ¬∩ＫＭ
  となっている。

そこで
　ＣＭ，ＭＦは
　　不等な２線分
　　　であり，
　　ＦＭ上の正方形の４分の１
　　　に等しく
　　正方形だけ
　　　欠けている
　矩形が
　　ＣＭ上に
　　　つくられ，
　　それを通約
　　　できない
　　二つの部分に
　　　分ける

• 　前節、 命題の設定、 （２） （１１）
  による。
• 　ＣＭ＞ＦＭ、
  　矩形(ＣＫ、ＫＭ)＝１／４　正方(_ＦＭ)
  　ＣＫ¬∩ＫＭ
  となっている。

から，
　ＣＭ上の正方形は
　　ＭＦ上の正方形より
　　ＣＭと通約
　　　できない
　　線分上の正方形
　　　だけ大きい。

• 　前節、
  　命題１０ー１８（上の正方形の差が大と非通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は非通約）
  による。
• 　正方(_ＣＭ)＝正方(_ＭＦ)＋正方(_Ｘ)、
  　Ｘ¬∩ＣＭ
  となっている。

そして
　　　付加された
　線分ＦＭは
　　　定められた
　　有理線分ＣＤと通約
　　　できる。

• 　（８）
  による。
• 　ＦＭ∩ＣＤ
  となっている。

したがって
　ＣＦは
　　第５の余線分
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０�Vー５（第５の余線分）
  による。
• 　ＣＦ：第５の余線分
  　　正方(_ＣＭ)＝正方(_ＭＦ)＋正方(_Ｘ)、
  　　Ｘ¬∩ＣＭ
  　　ＦＭ∩ＣＤ、
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー１０１は、
  　命題１０ー３４（作図.２線分；平方で非通約、平方和が中項面積、矩形が有理面積）
  　により、
  　　　２線分をとり、
  　　　大きい方をＡＧ、
  　　　小さい方をＢ’Ｇ’
  とし、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　Ｂ(ＡＧ；ＢＧ＝Ｂ’Ｇ’)、
  　ＡＧ¬∩^2 ＢＧ、
  　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＢＧ)；中項面積、
  　矩形(ＡＧ、ＧＢ)；有理面積
  　ＣＤ；有理線分、
  　矩形ＣＥ(ＣＤ、ＣＦ；＝正方(_ＡＢ))
  とし、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　矩形ＣＨ(ＣＤ、ＣＫ；＝正方(_ＡＧ))、
  　矩形ＫＬ(ＣＤ、ＫＭ；＝正方(_ＢＧ))
  とし、
  　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  により、
  　中点Ｎ(ＦＭ)、
  　交点Ｎ(ＤＬ、平行線(Ｎ、ＣＤ))
  とすれば、
  　ＣＭ、ＭＦ；有理線分、
  　ＣＭ∩^^2 ＭＦ、
  　正方(_ＣＭ)＝正方(_ＭＦ)＋正方(_Ｘ)、
  　　Ｘ¬∩ＣＭ
  　ＦＭ∩ＣＤ
  　ＣＦ；第５の余線分
  のことである。
  
• 命題１０ー１０１は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		補3(題6-8),10-3補,10-4補,補(題10-73),10�V-5
  公準
  公理		1-6補3
  命題	1-3,1-10,1-31,6-16補3,10-34	2-7,5-11,6-1,6-17,6-17補2,6-20系,10-11,10-13,10-18,10-20,10-22助,10-22,10-23補6
  その他

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭