ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー４２（二項線分の分割は１通り）
　二項線分は
　　ただ一つの点でその項に分けられる。

• 二項線分は、
  定義の補足（命題１０ー３６）による。
• 点は、
  定義１ー１による。

　ＡＢが
　　Ｃでその項に分けられる二項線分
とせよ。

• 　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  による。
• 　ＡＢ；二項線分
  　点Ｃ(ＡＢ;ＡＣ、ＣＢ;有理線分)
  となっている。

そうすれば
　ＡＣ，ＣＢは
　　平方においてのみ通約できる
　　有理線分である。

• 　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)
  による。
• 　点Ｃ.ＡＢ
  　ＡＣ∩^^2 ＣＢ、
  　ＡＣ、ＣＢ；有理線分
  となっている。

　ＡＢは
　　他の点では
　　平方においてのみ通約できる二つの有理線分
　　に分けられない
と主張する。

もし可能ならば，
　ＡＤ，ＤＢが
　　Ｄにおいても平方においてのみ通約できる
　　二つの有理線分
　　に分けられたとせよ。

• 　背理法の仮定である。
• 　点Ｄ.ＡＢ、
  　ＡＤ∩^^2 ＤＢ、
  　ＡＤ、ＤＢ；有理線分
  としている。

そうすれば
　ＡＣがＤＢと同じでない
　　ことは明らかである。

• 　コメント(命題１０ー４２助)(点対称点の除外)
  による。
• 　ＡＣ＞ＤＢ
  となっている。

《もし可能ならば，
　同じであるとせよ。

• 　コメント(命題１０ー４２助)(点対称点の除外)
  参照のこと、
• 　以下、》まで、
  　削除としておく。

そうすれば
　ＡＤもＣＢと同じであろう。
そして
　ＡＣがＣＢに対するように，
　　ＢＤがＤＡに対するであろう，
そして
　ＡＢは
　　Ｃで分けられたと同じに
　　Ｄでも分けられるであろう。
これは仮定に反する。
したがって
　ＡＣは
　　ＤＢと同じではない。
》

• 　ここまで、
  　削除としておく。

このゆえに
　点Ｃ，Ｄは
　　二等分点[Ｅ]から等距離にない。

• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  により、
  　中点Ｅ(ＡＢ)
  をとり、
  　前節、
  　公理１ー８の補足２（等より大・小、大・小に等）
  による。
• 　ＣＥ＞ＤＥ
  となっている。

したがって
　ＡＣ，ＣＢ上の二つの正方形と
　　矩形ＡＣ，ＣＢの２倍との和，
　および
　ＡＤ，ＤＢ上の二つの正方形と
　　矩形ＡＤ，ＤＢの２倍との和は
　共に
　ＡＢ上の正方形に等しい

• 　命題２ー４（２分線分上の正方形）　
  による。
  
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)＋２矩形(ＡＣ,ＣＢ)
  　＝正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)＋２矩形(ＡＤ,ＤＢ)
  　＝正方(_ＡＢ)
  となっている。

から，
　ＡＣ，ＣＢ上の二つの正方形と
　ＡＤ，ＤＢ上の二つの正方形との差は
　　矩形ＡＤ，ＤＢの２倍と矩形ＡＣ，ＣＢの２倍
　　との差に等しい。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)
  　　ー{正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)}
  　＝２矩形(ＡＤ,ＤＢ)ー２矩形(ＡＣ,ＣＢ)
  となっている。

ところが
　ＡＣ，ＣＢ上の正方形の和と，
　ＡＤ，ＤＢ上の正方形の和とは
　　共に有理面積である

• 　命題の設定、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)；有理面積、
  　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)；有理面積
  となっている。

から，
　その差も有理面積である。

• 　前節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)
  　　ー{正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)}；有理面積
  となっている。

したがって
　矩形ＡＤ，ＤＢの２倍も
　　矩形形ＡＣ，ＣＢ２倍と，
　　共に中項面積である

• 　命題の設定、
  　命題１０ー２１（平方のみ通約可の有理線分の矩形と無理面積・無理線分）、
  　命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　２矩形(ＡＤ,ＤＢ)、２矩形(ＡＣ,ＣＢ)；中項面積

のに，
　有理面積だけ異なる。

• 　（１）、
  　前々節による。

これは不合理である，
なぜなら
　中項面積と中項面積の差は
　　有理面積ではない
から。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー２６（中項面積の差は無理面積）
  による。

よって
　二項線分は
　　異なった２点で分けられない。

• 　背理法による。

したがって
　ただ一つの点で分けられる。
これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー４２は、
  　ＡＢ；二項線分
  　点Ｃ(ＡＢ;ＡＣ、ＣＢ;有理線分)
  をとると、
  　本質的に分割点はＣのみ
  のことである。
• 命題１０ー４２は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-4補,補(題10-36)
  公準
  公理		1-3,1-8補2
  命題	1-10,補2(義10-3)	2-4,10-21,10-23系,10-26
  その他		背理法, コ(題10-42助)

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