ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー１１０（中項面積から通約できない中項面積を引いた残りの面積に等しい正方形の辺は第２の中項余線分か中項面積の差に等しい正方形の辺）
　　中項面積から全体と通約
　　　できない
　中項面積が
　　　ひかれる
ならば，
　残りの２種の無理線分，
　すなわち
　第２の中項余線分か
　または
　二つの中項面積の差に等しい正方形の辺が
　　　生ずる。

• 中項面積は、
  定義の補足２（命題１０ー２３）による。
• 通約は、
  定義１０ー１による。
• 無理線分は、
  定義１０ー４による。
• 第２の中項余線分は、
  定義の補足（命題１０ー７５）による。
• 二つの中項面積の差に等しい正方形の辺は、
  定義の補足(命題１０ー７８)による。

　　先の図形におけると同様に
　　中項面積ＢＣから
　　全体と通約
　　　できない
　中項面積ＢＤが
　　　ひかれた
とせよ。

• 　前命題と同様にということである。
  　２つの中項面積は、この段階では仮想的である。
  　命題１０ー１０８、命題１０ー１０９においては、
  　一般的な有理面積、中項面積を取ることが
  　原論が構成する世界において可能である。
  しかし、
  　命題１０ー１１０における
  　通約できない２つの中項面積を取ることは、
  　これまでの理論構成では、
  　命題１０ー２８（作図.２中項線分;矩形が中項面積、平方でのみ通約）、
  　命題１０ー３５（作図.２線分;平方で非通約，平方和が中項面積，矩形は中項面積で平方和と非通約）
  によって取る以外になく、
  　それは、
  　命題１０ー７５（中項線分から平方のみ通約で中項面積をかこむ中項線分を引くと第２の中項余線分）、
  　命題１０ー７８（平方和が中項面積、かこむ矩形が中項面積、平方で非通約の２線分の差は２中項面積の差に等しい正方形の辺）
  　に直結することになり、
  　本命題の結論を先取りすることになる
  から、
  　一般的に構成することができないのである。
  なお、さらに、
  　この後に以下の内容が入るであろう。
  　「有理線分ＦＧが
  　　　定められ，
  　　ＦＧ上にＢＣ
  　　　に等しい
  　矩形ＧＨが
  　　　つくられ，
  　　ＤＢ
  　　　に等しい
  　ＧＫが
  　　　つくられたとせよ。」
  　　　　[......(１)]
  
  • 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
    により、
    　ＦＧをとり、
    　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
    により、
    　ＦＨ、ＦＫをとる。
    
  
  
• 　矩形ＢＣ(ＡＢ、ＡＣ)、矩形ＢＤ(ＡＢ、ＡＤ)；中項面積、
  　矩形ＢＣ(ＡＢ、ＡＣ)¬∩矩形ＢＤ(ＡＢ、ＡＤ)
  　ＦＧ；有理線分、
  　矩形ＢＣ＝矩形ＧＨ
  　矩形ＤＢ＝矩形ＧＫ
  となっている。　
  

　ＥＣに等しい正方形の辺は
　　２種の無理線分の一，
　　すなわち
　　第２の中項余線分か
　　または
　　二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
　　　になる
と主張する。

　ＢＣ、ＢＤの双方は
　　中項面積
　　　であり，
　ＢＣは
　　ＢＤと通約
　　　できない

• 　前節
  による。
• 　矩形ＢＣ、矩形ＢＤ；中項面積、
  　矩形ＢＣ¬∩矩形ＢＤ
  となっている。

から，
その結果
　ＦＨ, ＦＫの双方は
　　有理線分
　　　であり
　　ＦＧと長さにおいて通約
　　　できないであろう。
　　　　[......(２)]

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー２０（有理線分上の有理面積の矩形幅は底辺と長さで通約）
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
• 　ＦＨ；有理線分、∩ＦＧ、
  　ＦＫ；有理線分、¬∩ＦＧ
  となっている。

そして
　ＢＣは
　　ＢＤと，
　　すなわち
　ＧＨは
　　ＧＫと通約
　　　できない

• 　命題の設定、 （１）
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＢＣ¬∩ＢＤ、
  　ＧＨ¬∩ＧＫ
  となっている。

から，
　ＨＦも
　　ＦＫと通約
　　　できない。

• 　前節、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＨＦ¬∩ＦＫ
  となっている。

したがって
　ＦＨ, ＦＫは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、 （２）
  による。
• 　ＦＨ∩^^2 ＦＫ
  となっている。

ゆえに
　ＦＫは
　　余線分
　　　である。
　　　　[......(４)]

• 　前節、
  　定義の補足(命題１０ー７３) (余線分)
  となっている。
• 　ＦＫ；余線分、
  　　ＦＨ、ＦＫ；有理線分、
  　　ＦＨ∩^^2 ＦＫ
  となっている。

そこで
［ ＨＦ上の正方形は
　　ＦＫ上の正方形より
　　ＨＦと通約
　　　できるか
または
　　通約
　　　できない

　　線分上の正方形だけ
　　　大きい。
　　　　[......(３)]
］

• 　前命題にならって、
  　この１文を挿入する。
  　場合分けを明示するためである。
• 　命題１０ー１４助（作図.線分上の正方形の差となる正方形の辺）
  による。
• 　正方(_ＨＦ)＝正方(_ＦＫ)＋正方(_Ｘ)、
  　Ｘ∩ＨＦ　ｘｏｒ　¬∩ＨＦ
  となっている。

もし
　ＦＨ上の正方形が
　　ＦＫ上の正方形より
　　ＨＦと通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きく

　ＦＨ, ＦＫのいずれも
　　　定められた
　　有理線分ＦＧと
　　長さにおいて通約
　　　できない
ならば，

• 　第１の場合である。
• 　前節、 （２）
  による。
• 　正方(_ＨＦ)＝正方(_ＦＫ)＋正方(_Ｘ)、
  　Ｘ∩ＨＦ
  　ＦＨ、ＦＫ¬∩ＦＧ
  となっている。

　ＫＨは
　　第３の余線分
　　　である。

• 　前節、 （４）
  　定義１０�Vー３（第３の余線分）
  による。
• 　ＫＨ；第３の余線分、
  　　ＦＨ、ＦＫ；有理線分、
  　　正方(_ＨＦ)＝正方(_ＦＫ)＋正方(_Ｘ)、
  　　Ｘ∩ＨＦ
  　　ＦＨ、ＦＫ¬∩ＦＧ
  となっている。

ところが
　ＫＬは
　　有理線分
　　　であり，

• 　（１）
  による。
• 　ＫＬ；有理線分
  となっている。

　　有理線分と第３の余線分によって
　　　かこまれる
　矩形は
　　無理面積
　　　であり，
　　それ
　　　に等しい
　正方形の辺は
　　無理線分
　　　であり，
　　第２の中項余線分
　　　とよばれる。

• 　命題１０ー９３（有理線分と第３の余線分の矩形に等しい正方形の辺は第２の中項余線分）
  による。

したがって
　　ＬＨ，
　　すなわち
　　ＥＣ
　　　に等しい
　正方形の辺は
　　第２の中項余線分
　　　である。

• 　前節、前々節、 （１）
  による。
• 　辺.正方(_；＝矩形ＬＨ＝矩形ＥＣ)；第２の中項余線分
  となっている。

ところが
もし
　ＦＨ上の正方形が
　　ＦＫ上の正方形より
　　ＨＦと通約
　　　できない
　　線分上の正方形だけ
　　　大きく

　ＨＦ、ＦＫのいずれも
　　ＦＧと長さにおいて通約
　　　できない

• 　第２の場合である。
• 　（２） （３）
  による。
• 　正方(_ＨＦ)＝正方(_ＦＫ)＋正方(_Ｘ)、
  　Ｘ∩ＨＦ
  　ＦＨ、ＦＫ¬∩ＦＧ
  となっている。

ならば，
　ＫＨは第６の余線分
　　である。

• 　前節、 （４）
  　定義１０�Vー６（第６の余線分）
  による。
• 　ＫＨ；第６の余線分
  　　ＦＨ、ＦＫ；有理線分、
  　　正方(_ＨＦ)＝正方(_ＦＫ)＋正方(_Ｘ)、
  　　Ｘ∩ＨＦ
  　　ＦＨ、ＦＫ¬∩ＦＧ
  となっている。

そして
　　有理線分と第６の余線分によって
　　　かこまれる
　　矩形
　　　に等しい
　正方形の辺は
　　ニつの中項面積の差に等しい正方形の辺
　　　である。

• 　命題１０ー９６（有理線分と第６の余線分の矩形に等しい正方形の辺は中項面積の差に等しい正方形の辺）
  による。

したがって
　　ＬＨ
　　すなわち
　　ＥＣ
　　　に等しい
　正方形の辺は
　　二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
　　　である。

• 　前節、前々節、 （１）
  による。
• 　辺.正方(_；＝矩形ＬＨ＝矩形ＥＣ)；二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 　　本命題
  により、
  　　中項面積から
  　　通約
  　　　できない
  　　中項面積を
  　　　引いた
  　残りの面積に等しい正方形の辺は
  　　第２の中項余線分か
  　　中項面積の差に等しい正方形の辺
  　　　のみである
  ことがわかり、
  　　通約
  　　　できない
  　　２つの中項面積を
  　　　作図する
  場合、
  　　第２の中項余線分か
  　　中項面積の差に等しい正方形の辺を
  　　　考慮すれば十分である
  ことがわかり、
  　　現実的に
  　　　作図できるようになる。
  すなわち、
  　第２の中項余線分
  となる場合は以下による。
  　命題１０ー２８（作図.２中項線分;矩形が中項面積、平方でのみ通約）
  により、
  　２中項線分
  をとり、
  　大きい方をＦＨ、
  　小さい方をＦＫ
  として、
  　ＫＨ＝ＦＨーＦＫ
  をとると、
  　命題１０ー７５（中項線分から平方のみ通約で中項面積をかこむ中項線分を引くと第２の中項余線分）
  により
  　ＫＨは第２の中項余線分
  となり、
  　命題２ー７（差の平方）
  により、
  　正方(_ＫＨ)
  　　＝正方(_ＦＨ)＋正方(_ＦＫ)ー２矩形(ＦＨ、ＦＫ)
  となり、
  　命題１０ー２８（作図.２中項線分;矩形が中項面積、平方でのみ通約）の設定
  により、
  　正方(_ＦＨ)＋正方(_ＦＫ)と２矩形(ＦＨ、ＦＫ)は
  　　通約できない中項面積
  となる。
  また、
  　中項面積の差に等しい正方形の辺
  となる場合は、以下による。
  　命題１０ー３５（作図.２線分;平方で非通約，平方和が中項面積，矩形は中項面積で平方和と非通約）
  により、
  　２線分を
  とり、
  　大きい方をＡＢ、
  　小さい方をＢＣ
  として、
  　ＫＨ＝ＦＨーＦＫ
  をとると、
  　命題１０ー７８（平方和が中項面積、かこむ矩形が中項面積、平方で非通約の２線分の差は２中項面積の差に等しい正方形の辺）
  により
  　ＫＨは中項面積の差に等しい正方形の辺
  となり、
  　命題２ー７（差の平方）
  により、
  　正方(_ＫＨ)
  　　＝正方(_ＦＨ)＋正方(_ＦＫ)ー２矩形(ＦＨ、ＦＫ)
  となり、
  　命題１０ー３５（作図.２線分;平方で非通約，平方和が中項面積，矩形は中項面積で平方和と非通約）の設定
  により、
  　正方(_ＦＨ)＋正方(_ＦＫ)と２矩形(ＦＨ、ＦＫ)は
  　　通約できない中項面積
  となる。 　
• 命題１０ー１１０は、
  　　何等かの方法
  により、
  　　通約
  　　　できない
  　　２つの中項面積、矩形ＢＣ、ＢＤを
  とり、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  により、
  　ＦＧをとり、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　ＦＨ(；矩形(ＦＧ、ＦＨ)＝矩形ＢＣ)、
  　ＦＫ(；矩形(ＦＧ、ＦＫ)＝矩形ＢＤ)
  をとると、
  　辺.正方(_；＝矩形ＬＨ＝矩形ＥＣ)；二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
  のことである。
  
• 命題１０ー１１０は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		補(題10-73),10�V-3,10�V-6
  公準
  公理
  命題	6-16補3,補2(義10-3),10-14助	6-1,10-13,10-20,10-22,10-93,10-96
  その他		場合分け

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