ユークリッド原論をどう読むか(16)
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ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー110(中項面積から通約できない中項面積を引いた残りの面積に等しい正方形の辺は第2の中項余線分か中項面積の差に等しい正方形の辺)
  中項面積から全体と通約
   できない
 中項面積
   ひかれる
ならば,
 残りの2種の無理線分
 すなわち
 第2の中項余線分
 または
 二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
   生ずる。



  先の図形におけると同様に
  中項面積BCから
  全体と通約
   できない
 中項面積BDが
   ひかれた
とせよ。

 ECに等しい正方形の辺は
  2種の無理線分の一,
  すなわち
  第2の中項余線分
  または
  二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
   になる
と主張する。

 BC、BDの双方は
  中項面積
   であり,
 BCは
  BDと通約
   できない

から,
その結果
 FH, FKの双方は
  有理線分
   であり
  FGと長さにおいて通約
   できないであろう。
    [......(2)]

そして
 BCは
  BDと,
  すなわち
 GHは
  GKと通約
   できない

から,
 HFも
  FKと通約
   できない。

したがって
 FH, FKは
  平方においてのみ通約
   できる
  有理線分
   である。

ゆえに
 FKは
  余線分
   である。
    [......(4)]

そこで
HF上の正方形
  FK上の正方形より
  HFと通約
   できる

または
  通約
   できない

  線分上の正方形だけ
   大きい。
    [......(3)]

もし
 FH上の正方形
  FK上の正方形より
  HFと通約
   できる
  線分上の正方形だけ
   大き


 FH, FKのいずれも
   定められた
  有理線分FGと
  長さにおいて通約
   できない
ならば,

 KHは
  第3の余線分
   である。

ところが
 KLは
  有理線分
   であり,

  有理線分第3の余線分によって
   かこまれる
 矩形
  無理面積
   であり,
  それ
   に等し
 正方形
  無理線分
   であり,
  第2の中項余線分
   とよばれる。

したがって
  LH,
  すなわち
  EC
   に等し
 正方形
  第2の中項余線分
   である。

ところが
もし
 FH上の正方形
  FK上の正方形より
  HFと通約
   できない
  線分上の正方形だけ
   大き


 HF、FKのいずれも
  FGと長さにおいて通約
   できない

ならば,
 KHは第6の余線分
  である。

そして
  有理線分第6の余線分によって
   かこまれる
  矩形
   に等し
 正方形
  ニつの中項面積の差に等しい正方形の辺
   である。

したがって
  LH
  すなわち
  EC
   に等し
 正方形
  二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
   である。

これが証明すべきことであった。
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