ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー６０（二項線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第１の二項線分）
　二項線分上の正方形に等しい矩形は、
　　有理線分上につくられる
と、
　第１の二項線分を幅とする。

• 二項線分は、
  定義の補足（命題１０ー３６）による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 矩形は、
  定義１ー２２による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 第１の二項線分は、
  定義１０�Uー１による。
• 幅は、
  定義の補足（命題１０ー２０）による。

　ＡＢを
　　Ｃでその項に分けられ、
　　ＡＣを大きい項とする二項線分
とし、
　有理線分ＤＥが定められ、
　ＡＢ上の正方形に等しく
　ＤＥ上にＤＧを幅とする矩形ＤＥＦＧ
　がつくられた
とせよ。
　ＤＧは
　　第１の二項線分である
と主張する。

• 　命題１０ー１０（作図.平方のみ通約の線分・平方でも非通約の線分）
  により、
  　ＡＣ；有理線分、
  　ＣＢ；有理線分、∩^^2 ＡＣ、＜ＡＣ
  をとり、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  により、
  　ＤＥ；有理線分
  をとり、
  　命題１ー４５の補足２(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
  により
  　矩形(ＤＥ、ＤＧ；＝正方(_ＡＢ))
  をつくる。
• 　ＡＣ；有理線分、
  　ＣＢ；有理線分、∩^^2 ＡＣ、＜ＡＣ
  　ＤＥ；有理線分
  　矩形(ＤＥ、ＤＧ；＝正方(_ＡＢ))
  となっている。

　　ＤＥ上に
　ＡＣ上の正方形に等しくＤＨが、
　ＢＣ上の正方形に等しくＫＬが
　　つくられた
とせよ。
　　　　　　[......(１)]

• 　命題１ー４５の補足２(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
  により、
  　矩形ＤＨ(ＤＥ、ＤＫ；＝正方(_ＡＣ)）、
  　矩形ＫＬ(ＤＥ、ＫＭ；＝正方(_ＢＣ)）
  をとる。
• 　矩形ＤＨ＝正方(_ＡＣ)、
  　矩形ＫＬ＝正方(_ＢＣ)）
  となっている。

そうすれば
　残りの矩形ＡＣ、ＣＢの２倍は
　　ＭＦに等しい。

• 　前節、前々節、
  　命題２ー４（２分線分上の正方形）
  による。
• 　矩形ＭＦ＝２矩形(ＡＣ、ＣＢ)
  となっている。

　ＭＧが
　　Ｎで２等分され、
　　ＭＬ、ＨＦの双方に平行に
　ＮＱが
　　ひかれた
とせよ。

• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分）、
  により、
  　中点Ｎ(ＭＧ)
  をとり、
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  により、
  　交点Ｑ(ＥＦ、平行線(Ｎ、ＭＬ))
  をとる。
• 　ＭＮ＝ＮＧ、
  　ＮＱ//ＭＬ
  となっている。

そうすれば
　ＭＱ、ＮＦの双方は
　　矩形ＡＣＢに等しい。
　　　　　　[......(４)]

• 　前節、前々節による。
• 　矩形ＭＱ、矩形ＮＦ＝矩形(ＡＣＢ)
  となっている。

そして
　ＡＢは
　　Ｃでその項に分けられた二項線分
　　である
から、
　ＡＣ、ＣＢは
　　平方においてのみ通約できる有理線分
　である。

• 　命題の設定による。
  
• 　ＡＣ、ＣＢ；有理線分、
  　ＡＣ∩^^2 ＣＢ
  となっている。

したがって
　ＡＣ、ＣＢ上の正方形は
　　有理面積であり
　　互いに通約できる。

• 　前節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　正方(_ＡＣ)、正方(_ＣＢ)；有理面積
  　正方(_ＡＣ)∩正方(_ＣＢ)
  となっている。

ゆえに
　ＡＣ、ＣＢ上の正方形の和も
　　有理面積である。

• 　前節による。
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)；有理面積
  となっている。

そして
　　ＤＬに等しい。

• 　前節、 （１）による。
• 　矩形ＤＬ＝正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)
  となっている。

したがって
　ＤＬも
　　有理面積である。

• 　前節、前々節による。
• 　矩形ＤＬ；有理面積
  となっている。

そして
　　有理線分ＤＥ上にある。

• 　矩形ＤＬ＝矩形(ＤＥ、ＤＭ)
  となっている。

それゆえ
　ＤＭは
　　有理線分であり
　　ＤＥと長さにおいて通約できる。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１９（長さで通約な有理線分の矩形は有理面積）
  による。
• 　ＤＭ；有理線分、∩ＤＥ
  となっている。　

また
　ＡＣ、ＣＢは
　　平方においてのみ通約できる有理線分
　　である

• 　命題の設定による。
• 　ＡＣ∩^^2 ＣＢ
  となっている。

から、
　矩形ＡＣ、ＣＢの２倍、
　すなわち
　ＭＦは
　　中項面積である。

• 　前節、
  　命題１０ー２１（平方のみ通約可の有理線分の矩形と無理面積・無理線分）
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 　矩形ＭＦ＝２矩形(ＡＣ、ＣＢ)；中項面積
  となっている。

そして
　　有理線分ＭＬ上にある。

• 　矩形ＭＦ＝矩形(ＭＬ、ＭＧ)
  となっている。

したがって
　ＭＧも
　　有理線分であり、
　　ＭＬ、
　　すなわちＤＥ
　　と長さにおいて通約できない。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
• 　ＭＧ；有理線分、¬∩ＭＬ、ＤＥ
  となっている。

ところが
　ＭＤも
　　有理線分であり、
　　ＥＤと長さにおいて通約できる。

• 　（２）による。
• 　ＭＤ；有理線分、∩ＥＤ
  となっている。

したがって
　ＤＭは
　　ＭＧと長さにおいて通約できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＤＭ¬∩ＭＧ
  となっている。

そして
　それらは有理線分である。

• 　（２） （３）による。
• 　ＤＭ、ＭＧ;有理線分
  となっている。

したがって
　ＤＭ、ＭＧは
　　平方においてのみ通約できる有理線分
　　である。

• 　前節、前々節による。
• 　ＤＭ∩^^2 ＭＧ
  となっている。

ゆえに
　ＤＧは
　　二項線分である。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)
  による。
• 　ＤＧ；二項線分
  となっている。

次に
　　第１の二項線分でもある
ことを証明しなければならない。
　矩形ＡＣＢは
　　ＡＣ、ＣＢ上の正方形の比例中項
　　である

• 　定義の補足３（命題６ー８） (比例中項)
  による。
• 　矩形(ＡＣＢ)＝比例中項(ＡＣ、ＣＢ)
  となっている。

から、
　ＭＱも
　　ＤＨ、ＫＬの比例中項である。

• 　（１） （４）による。
• 　矩形ＭＱ＝比例中項(矩形ＤＨ、矩形ＫＬ)
  となっている。

したがって
　ＤＨが
　　ＭＱに対するように、
　ＭＱが
　　ＫＬに対する、

• 　前節による。
• 　矩形ＤＨ：矩形ＭＱ＝矩形ＭＱ：矩形ＫＬ
  となっている。

すなわち
　ＤＫが
　　ＭＮに対するように、
　ＭＮが
　　ＭＫに対する。

• 　前節、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＤＫ：ＭＮ＝ＭＮ：ＭＫ
  となっている。

したがって
　矩形ＤＫ、ＫＭは
　　ＭＮ上の正方形に等しい。
　　　　　　[......(５)]

• 　前節、
  　命題６ー１７（比例３線分と外項矩形、中項正方形）
  による。
• 　矩形(ＤＫ、ＫＭ)＝正方(_ＭＮ)
  となっている。

そして
　ＡＣ上の正方形は
　　ＣＢ上の正方形と通約できる

• 　命題の設定による。
• 　正方(_ＡＣ)∩正方(_ＣＢ)
  となっている。

から、
　ＤＨも
　　ＫＬと通約できる。

• 　（１）による。
• 　矩形ＤＨ∩矩形ＫＬ
  となっている。

したがって
　ＤＫも
　　ＫＭと通約できる。
　　　　　　[......(６)]

• 　前節、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＤＫ∩ＫＭ
  となっている。

そして
　ＡＣ、ＣＢ上の正方形は
　　矩形ＡＣ、ＣＢの２倍より大きい

• 　命題２ー７（差の平方）
  による。
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)＞２矩形(ＡＣ、ＣＢ)
  となっている。

から、
　ＤＬも
　　ＭＦより大きい。

• 　（１）（４）による。
• 　矩形ＤＬ＞矩形ＭＦ
  となっている。

したがって
　ＤＭも
　　ＭＧより大きい。
　　　　　　　[......(７)]

• 　前節、
  　命題５ー１４（同じ比の前(後)項の大等小）
  による。
• 　ＤＭ＞ＭＧ
  となっている。

そして
　矩形ＤＫ、ＫＭは
　　ＭＮ上の正方形に、
　　すなわち
　　ＭＨ上の正方形の４分の１
　　に等しく、

• 　（５）による。
• 　矩形(ＤＫ、ＫＭ)＝正方(_ＭＮ)
  　　＝１／４　正方(_ＭＨ)
  となっている。

　ＤＫは
　　ＫＭと通約できる。

• 　（６）による。
• 　ＤＫ∩ＫＭ
  となっている。

ところが
もし
　二つの不等な線分が
　　あり、
　　小さい線分上の正方形の４分の１
　　に等しくて
　正方形だけ欠けている平行四辺形が
　　大きい線分上につくられ、
　　それを通約できる部分
　　に分ける
ならば、
　大きい線分上の正方形は
　　小さい線分上の正方形より
　　大きい線分と通約できる線分上の正方形
　　だけ大きい。

• 　命題１０ー１７（上の正方形の差が大と通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は通約） による。

したがって
　ＤＭ上の正方形は
　　ＭＧ上の正方形よりも
　　ＤＭと通約できる線分上の正方形
　　だけ大きい。

• 　前節、前々節による。
• 　正方(_ＤＭ)＝正方(_ＭＧ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ∩ＤＭ
  となっている。

そして
　ＤＭ、ＭＧは
　　有理線分であり、

• 　（２） （３）による。
• 　ＤＭ、ＭＧ;有理線分
  となっている。

　大きい項ＤＭは
　　定められた有理線分ＤＥと
　　長さにおいて通約できる。

• 　（７）（２）による。
• 　ＤＭ；＞ＭＧ、∩ＤＥ
  となっている。

よって
　ＤＧは
　　第１の二項線分である。

• 　前節、
  　定義１０�Uー１（第１の二項線分）
  による。
• ＤＧ；第１の二項線分
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー６０は、
  　命題１０ー１０（作図.平方のみ通約の線分・平方でも非通約の線分）
  により、
  　ＡＣ；有理線分、
  　ＣＢ；有理線分、∩^^2 ＡＣ、＜ＡＣ
  をとり、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  により、
  　ＤＥ；有理線分
  をとり、
  　命題１ー４５の補足２(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
  により
  　矩形(ＤＥ、ＤＧ；＝正方(_ＡＢ))
  をつくると、
  　ＡＣ；有理線分、
  　ＣＢ；有理線分、∩^^2 ＡＣ、＜ＡＣ
  　ＤＥ；有理線分
  　矩形(ＤＥ、ＤＧ；＝正方(_ＡＢ))
  となり、
  　命題１ー４５の補足２(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
  により、
  　矩形ＤＨ(ＤＥ、ＤＫ；＝正方(_ＡＣ)）、
  　矩形ＫＬ(ＤＥ、ＫＭ；＝正方(_ＢＣ)）
  をとると、
  　ＤＭ；＞ＭＧ、∩ＤＥ
  　正方(_ＤＭ)＝正方(_ＭＧ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ∩ＤＭ
  　ＤＭ、ＭＧ;有理線分
  となり、
  　ＤＧ；第１の二項線分
  となっている。
  のことである。
• 命題１０ー６０は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-4補,補2(題10-23),補(題10-36),10�U-1
  公準
  公理
  命題	1-10,1-31,1-45補2,補2(義10-3),10-10	2-4,2-7,5-14,6-1,6-17,10-13,10-17,10-19,10-21,10-22
  その他

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