ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー60(二項線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第1の二項線分)
 二項線分上の正方形等し矩形は、
  有理線分上につくられる
と、
 第1の二項線分とする。



 ABを
  Cでその項に分けられ、
  ACを大きい項とする二項線分
とし、
 有理線分DEが定められ、
 AB上の正方形等し
 DE上にDGをとする矩形DEFG
 がつくられた
とせよ。
 DGは
  第1の二項線分である
と主張する。


  DE上に
 AC上の正方形等しくDHが、
 BC上の正方形等しくKLが
  つくられた
とせよ。
      [......(1)]

そうすれば
 残りの矩形AC、CBの2倍は
  MFに等しい。

 MGが
  Nで2等分され、
  ML、HFの双方に平行
 NQが
  ひかれた
とせよ。

そうすれば
 MQ、NFの双方は
  矩形ACBに等しい。
      [......(4)]

そして
 ABは
  Cでその項に分けられた二項線分
  である
から、
 AC、CBは
  平方においてのみ通約できる有理線分
 である。
したがって
 AC、CB上の正方形
  有理面積であり
  互いに通約できる。

ゆえに
 AC、CB上の正方形の和も
  有理面積である。

そして
  DLに等しい。

したがって
 DLも
  有理面積である。

そして
  有理線分DE上にある。

それゆえ
 DMは
  有理線分であり
  DEと長さにおいて通約できる。
      [......(2)]

また
 AC、CBは
  平方においてのみ通約できる有理線分
  である

から、
 矩形AC、CBの2
 すなわち
 MFは
  中項面積である。

そして
  有理線分ML上にある。

したがって
 MGも
  有理線分であり、
  ML、
  すなわちDE
  と長さにおいて通約できない。
      [......(3)]

ところが
 MDも
  有理線分であり、
  EDと長さにおいて通約できる。

したがって
 DMは
  MGと長さにおいて通約できない。

そして
 それらは有理線分である。

したがって
 DM、MGは
  平方においてのみ通約できる有理線分
  である。

ゆえに
 DGは
  二項線分である。

次に
  第1の二項線分でもある
ことを証明しなければならない。
 矩形ACBは
  AC、CB上の正方形比例中項
  である

から、
 MQも
  DH、KLの比例中項である。

したがって
 DHが
  MQに対するように
 MQが
  KLに対する、

すなわち
 DKが
  MNに対するように
 MNが
  MKに対する。

したがって
 矩形DK、KMは
  MN上の正方形等しい。
      [......(5)]

そして
 AC上の正方形
  CB上の正方形通約できる

から、
 DHも
  KLと通約できる。

したがって
 DKも
  KMと通約できる。
      [......(6)]

そして
 AC、CB上の正方形
  矩形AC、CBの2より大き

から、
 DLも
  MFより大きい。

したがって
 DMも
  MGより大きい。
       [......(7)]

そして
 矩形DK、KMは
  MN上の正方形に、
  すなわち
  MH上の正方形の4分の1
  に等しく、

 DKは
  KMと通約できる。

ところが
もし
 二つの不等な線分が
  あり、
  小さい線分上の正方形の4分の1
  に等しくて
 正方形だけ欠けている平行四辺形が
  大きい線分上につくられ、
  それを通約できる部分
  に分ける
ならば、
 大きい線分上の正方形
  小さい線分上の正方形より
  大きい線分と通約できる線分上の正方形
  だけ大きい。

したがって
 DM上の正方形
  MG上の正方形よりも
  DMと通約できる線分上の正方形
  だけ大きい。

そして
 DM、MGは
  有理線分であり、

 大きい項DMは
  定められた有理線分DEと
  長さにおいて通約できる。

よって
 DGは
  第1の二項線分である。

これが証明すべきことであった。
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