ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論
第10巻
命題10ー60
(二項線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第1の二項線分)
二項線分
上の
正方形
に
等し
い
矩形
は、
有理線分
上につくられる
と、
第1の二項線分
を
幅
とする。
二項線分は、
定義の補足(命題10ー36)
による。
正方形は、
定義1ー22
による。
等しいは、
公理1ー7
による。
矩形は、
定義1ー22
による。
有理線分は、
定義10ー3の補足
による。
第1の二項線分は、
定義10Uー1
による。
幅は、
定義の補足(命題10ー20)
による。
ABを
Cでその項に分けられ、
ACを
大き
い項とする
二項線分
とし、
有理線分
DEが定められ、
AB上の
正方形
に
等し
く
DE上にDGを
幅
とする
矩形
DEFG
がつくられた
とせよ。
DGは
第1の二項線分
である
と主張する。
命題10ー10
(作図.平方のみ通約の線分・平方でも非通約の線分)
により、
AC;有理線分、
CB;有理線分、∩^^2 AC、<AC
をとり、
命題の補足2(定義10ー3)
(作図.任意の有理線分)
により、
DE;有理線分
をとり、
命題1ー45の補足2
(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
により
矩形(DE、DG;=正方(_AB))
をつくる。
AC;有理線分、
CB;有理線分、∩^^2 AC、<AC
DE;有理線分
矩形(DE、DG;=正方(_AB))
となっている。
DE上に
AC上の
正方形
に
等し
くDHが、
BC上の
正方形
に
等し
くKLが
つくられた
とせよ。
[......(1)]
命題1ー45の補足2
(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
により、
矩形DH(DE、DK;=正方(_AC))、
矩形KL(DE、KM;=正方(_BC))
をとる。
矩形DH=正方(_AC)、
矩形KL=正方(_BC))
となっている。
そうすれば
残りの
矩形
AC、CBの2倍は
MFに
等し
い。
前節、前々節、
命題2ー4
(2分線分上の正方形)
による。
矩形MF=2矩形(AC、CB)
となっている。
MGが
Nで2
等分
され、
ML、HFの双方に
平行
に
NQが
ひかれた
とせよ。
命題1ー10
(作図・線分の2等分)、
により、
中点N(MG)
をとり、
命題1ー31
(作図・平行線)
により、
交点Q(EF、平行線(N、ML))
をとる。
MN=NG、
NQ//ML
となっている。
そうすれば
MQ、NFの双方は
矩形
ACBに
等し
い。
[......(4)]
前節、前々節による。
矩形MQ、矩形NF=矩形(ACB)
となっている。
そして
ABは
Cでその項に分けられた
二項線分
である
から、
AC、CBは
平方においてのみ通約
できる
有理線分
である。
命題の設定
による。
AC、CB;有理線分、
AC∩^^2 CB
となっている。
したがって
AC、CB上の
正方形
は
有理面積
であり
互いに
通約
できる。
前節、
定義10ー4の補足
(有理面積、無理面積)
による。
正方(_AC)、正方(_CB);有理面積
正方(_AC)∩正方(_CB)
となっている。
ゆえに
AC、CB上の
正方形
の和も
有理面積
である。
前節による。
正方(_AC)+正方(_CB);有理面積
となっている。
そして
DLに
等し
い。
前節、
(1)
による。
矩形DL=正方(_AC)+正方(_CB)
となっている。
したがって
DLも
有理面積
である。
前節、前々節による。
矩形DL;有理面積
となっている。
そして
有理線分
DE上にある。
矩形DL=矩形(DE、DM)
となっている。
それゆえ
DMは
有理線分
であり
DEと
長さにおいて通約
できる。
[......(2)]
前節、前々節、
命題10ー19
(長さで通約な有理線分の矩形は有理面積)
による。
DM;有理線分、∩DE
となっている。
また
AC、CBは
平方においてのみ
通約
できる
有理線分
である
命題の設定
による。
AC∩^^2 CB
となっている。
から、
矩形
AC、CBの2
倍
、
すなわち
MFは
中項面積
である。
前節、
命題10ー21
(平方のみ通約可の有理線分の矩形と無理面積・無理線分)
定義の補足2(命題10ー23)
(中項面積)
による。
矩形MF=2矩形(AC、CB);中項面積
となっている。
そして
有理線分
ML上にある。
矩形MF=矩形(ML、MG)
となっている。
したがって
MGも
有理線分
であり、
ML、
すなわちDE
と
長さにおいて通約
できない。
[......(3)]
前節、
定義の補足2(命題10ー23)
(中項面積)、
命題10ー22
(中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約)
による。
MG;有理線分、¬∩ML、DE
となっている。
ところが
MDも
有理線分
であり、
EDと
長さにおいて通約
できる。
(2)
による。
MD;有理線分、∩ED
となっている。
したがって
DMは
MGと
長さにおいて通約
できない。
前節、前々節、
命題10ー13
(通約量と非通約なら非通約)
による。
DM¬∩MG
となっている。
そして
それらは
有理線分
である。
(2)
(3)
による。
DM、MG;有理線分
となっている。
したがって
DM、MGは
平方においてのみ
通約
できる
有理線分
である。
前節、前々節による。
DM∩^^2 MG
となっている。
ゆえに
DGは
二項線分
である。
前節、
定義の補足(命題10ー36)
(二項線分)
による。
DG;二項線分
となっている。
次に
第1の二項線分
でもある
ことを証明しなければならない。
矩形
ACBは
AC、CB上の
正方形
の
比例中項
である
定義の補足3(命題6ー8) (比例中項)
による。
矩形(ACB)=比例中項(AC、CB)
となっている。
から、
MQも
DH、KLの
比例中項
である。
(1)
(4)
による。
矩形MQ=比例中項(矩形DH、矩形KL)
となっている。
したがって
DHが
MQに
対するように
、
MQが
KLに対する、
前節による。
矩形DH:矩形MQ=矩形MQ:矩形KL
となっている。
すなわち
DKが
MNに
対するように
、
MNが
MKに対する。
前節、
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
による。
DK:MN=MN:MK
となっている。
したがって
矩形
DK、KMは
MN上の
正方形
に
等し
い。
[......(5)]
前節、
命題6ー17
(比例3線分と外項矩形、中項正方形)
による。
矩形(DK、KM)=正方(_MN)
となっている。
そして
AC上の
正方形
は
CB上の
正方形
と
通約
できる
命題の設定
による。
正方(_AC)∩正方(_CB)
となっている。
から、
DHも
KLと
通約
できる。
(1)
による。
矩形DH∩矩形KL
となっている。
したがって
DKも
KMと
通約
できる。
[......(6)]
前節、
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
による。
DK∩KM
となっている。
そして
AC、CB上の
正方形
は
矩形
AC、CBの2
倍
より
大き
い
命題2ー7
(差の平方)
による。
正方(_AC)+正方(_CB)>2矩形(AC、CB)
となっている。
から、
DLも
MFより
大き
い。
(1)(4)による。
矩形DL>矩形MF
となっている。
したがって
DMも
MGより
大き
い。
[......(7)]
前節、
命題5ー14
(同じ比の前(後)項の大等小)
による。
DM>MG
となっている。
そして
矩形
DK、KMは
MN上の
正方形
に、
すなわち
MH上の
正方形
の4分の1
に
等し
く、
(5)
による。
矩形(DK、KM)=正方(_MN)
=1/4 正方(_MH)
となっている。
DKは
KMと
通約
できる。
(6)
による。
DK∩KM
となっている。
ところが
もし
二つの不等な線分が
あり、
小さい線分上の
正方形
の4分の1
に
等し
くて
正方形
だけ欠けている
平行
四辺形が
大き
い線分上につくられ、
それを
通約
できる部分
に分ける
ならば、
大き
い線分上の
正方形
は
小さい線分上の
正方形
より
大き
い線分と
通約
できる線分上の
正方形
だけ
大き
い。
命題10ー17
(上の正方形の差が大と通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割(コ)の辺は通約) による。
したがって
DM上の
正方形
は
MG上の
正方形
よりも
DMと
通約
できる線分上の
正方形
だけ
大き
い。
前節、前々節による。
正方(_DM)=正方(_MG)+正方(_X)
X∩DM
となっている。
そして
DM、MGは
有理線分
であり、
(2)
(3)
による。
DM、MG;有理線分
となっている。
大き
い項DMは
定められた
有理線分
DEと
長さにおいて通約
できる。
(7)(2)による。
DM;>MG、∩DE
となっている。
よって
DGは
第1の二項線分
である。
前節、
定義10Uー1
(第1の二項線分)
による。
DG;第1の二項線分
となっている。
これが証明すべきことであった。
命題10ー60
は、
命題10ー10(作図.平方のみ通約の線分・平方でも非通約の線分)
により、
AC;有理線分、
CB;有理線分、∩^^2 AC、<AC
をとり、
命題の補足2(定義10ー3)(作図.任意の有理線分)
により、
DE;有理線分
をとり、
命題1ー45の補足2(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
により
矩形(DE、DG;=正方(_AB))
をつくると、
AC;有理線分、
CB;有理線分、∩^^2 AC、<AC
DE;有理線分
矩形(DE、DG;=正方(_AB))
となり、
命題1ー45の補足2(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
により、
矩形DH(DE、DK;=正方(_AC))、
矩形KL(DE、KM;=正方(_BC))
をとると、
DM;>MG、∩DE
正方(_DM)=正方(_MG)+正方(_X)
X∩DM
DM、MG;有理線分
となり、
DG;第1の二項線分
となっている。
のことである。
命題10ー60
は推論用命題である。
前提
作図・構成
推論
定義
10-4補
,
補2(題10-23)
,
補(題10-36)
,
10U-1
公準
公理
命題
1-10
,
1-31
,
1-45補2
,
補2(義10-3)
,
10-10
2-4
,
2-7
,
5-14
,
6-1
,
6-17
,
10-13
,
10-17
,
10-19
,
10-21
,
10-22
その他
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