ユークリッド原論をどう読むか(16)
頁末         目次

ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー102(中項面積の差に等しい正方形の辺上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第6の余線分)
  二つの中項面積の差に等しい正方形の辺の上の
  正方形
   に等し
 矩形
  有理線分上に
   つくられる
ならば,
  第6の余線分
   とする。



  ABを
  二つの中項面積の差に等しい正方形の辺CDを
  有理線分
   とし,
  AB上の正方形
   に等し
  CD上にCFを
   とする
 矩形CEが
   つくられた
とせよ。

 CFは
  第6の余線分
   であると
主張する。

  BGを
  ABへの付加
   とせよ。

そうすれば
 AG,GBは
  平方において通約
   できず,
  それらの上の正方形の和を中項面積
   とし,
  矩形AG,GBの2中項面積
   とし,
  AG,GB上の正方形の和を
  矩形AG,GBの2通約
   できないようにする
  線分
   である。
    [......(3)]

そこで
  CD上にAG上の正方形
   に等し
  CKを
   とする
 CHが,
  BG上の正方形
   に等し
 KLが
   つくられた
とせよ。
    [......(1)]

そうすれば
 CL全体は
  AG,GB上の正方形の和
   に等しい。
    [......(2)]

したがって
 CLも
  中項面積
   である。

そして
  有理線分CD上にCMを
   としてつくられている。

したがって
 CMは
  有理線分
   であり
  CDと長さにおいて通約
   できない。
    [......(5)]

そこで
 CLは
  AG,GB上の正方形の和
   に等しく,
そのうち
 CEは
  AB上の正方形
   に等し

から,
 残りのFLは
  矩形AG,GBの2
   に等しい。
[......(4)]

そして
 矩形AG,GBの2
  中項面積
   である。

したがって
 FLも
  中項面積
   である。

そして
  有理線分FE上にFMを
   としてつくられている。

それゆえ
 FMは
  有理線分
   であり
  CDと長さにおいて通約
   できない。
    [......(6)]

そして
 AG,GB上の正方形の和は
  矩形AG,GBの2通約
   できず,
 CLは
  AG,GB上の正方形の和に,
 FLは
  矩形AG,GBの2
   に等し

から,
 CLは
  FLと通約
   できない。

ところが
 CLが
  FLに対するように,
 CMが
  MFに
   対する

したがって
 CMは
  MFと長さにおいて通約
   できない。

そして
 両方とも
  有理線分
   である。

ゆえに
 CM,MFは
  平方においてのみ通約
   できる
  有理線分
   である。
   [......(10)]

したがって
 CFは
  余線分である。


次に
  第6の余線分
   でもある
と主張する.

 FLは
  矩形AG,GBの2
   に等し

から,
 FMが
  Nで2等分
   された
とし,
  Nを
   通り
  CDに平行
 NOが
   ひかれた
とせよ。
    [......(9)]

そうすれば
 FE,NLの双方は
  矩形AG,GB
   に等しい。
    [......(8)]

そして
 AG,GBは
  平方において通約
   できない

から,
 AG上の正方形
  GB上の正方形通約
   できない。

ところが
 CHは
  AG上の正方形
   に等しく,
 KLは
  GB上の正方形
   に等しい。
    [......(7)]

ゆえに
 CHは
  KLと通約
   できない。

ところが
 CHが
  KLに対するように,
 CKが
  KMに
   対する

それゆえ
 CKは
  KMと通約
   できない。
   [......(10)]

そして
 矩形AG,GBは
  AG,GB上の正方形比例中項
   であり,
 CHは
  AG上の正方形
   に等しく,
 KLは
  GB上の正方形
   に等しく,
 NLは
  矩形AG,GB
   に等し

から,
 NLは
  CH,KLの比例中項
   である。

したがって
 CHが
  NLに対するように,
 NLは
  KLに
   対する

そして
同じ理由で
 CM上の正方形
  MF上の正方形よりCMと通約
   できない
  線分上の正方形だけ
   大きい。

そして
 それらのいずれも
   定められた
  有理線分CDと通約
   できない。

したがって
 CFは
  第6の余線分
   である。


これが証明すべきことであった。
      目次   頁頭