ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー１０２（中項面積の差に等しい正方形の辺上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第６の余線分）
　　二つの中項面積の差に等しい正方形の辺の上の
　　正方形
　　　に等しい
　矩形が
　　有理線分上に
　　　つくられる
ならば，
　　第６の余線分を幅
　　　とする。

• 二つの中項面積の差に等しい正方形の辺は、
  定義の補足（命題１０ー７８）による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 矩形は、
  定義１ー２２による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 第６の余線分は、
  定義１０�Vー６による。
• 幅は、
  定義の補足（命題１０ー２０）による。

　　ＡＢを
　　二つの中項面積の差に等しい正方形の辺ＣＤを
　　有理線分
　　　とし，
　　ＡＢ上の正方形
　　　に等しく
　　ＣＤ上にＣＦを幅
　　　とする
　矩形ＣＥが
　　　つくられた
とせよ。

• 　命題１０ー３５（作図.２線分;平方で非通約，平方和が中項面積，矩形は中項面積で平方和と非通約）
  により、
  　　　２線分をとり、
  　　　大きい方をＡＧ、
  　　　小さい方をＢ’Ｇ’
  とし、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
  による。
  また、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
• 　Ｂ(ＡＧ；ＢＧ＝Ｂ’Ｇ’)、
  　ＡＧ¬∩^2 ＢＧ、
  　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＢＧ)；中項面積、
  　矩形(ＡＧ、ＧＢ)；中項面積
  　　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＢＧ)¬∩矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  　ＣＤ；有理線分、
  　矩形ＣＥ(ＣＤ、ＣＦ；＝正方(_ＡＢ))
  となっている。

　ＣＦは
　　第６の余線分
　　　であると
主張する。

　　ＢＧを
　　ＡＢへの付加
　　　とせよ。

• 　前節、
  による。
• 　ＡＧ¬∩^2 ＢＧ、
  　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＢＧ)；中項面積、
  　矩形(ＡＧ、ＧＢ)；有理面積
  　　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＢＧ)¬∩矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

そうすれば
　ＡＧ,ＧＢは
　　平方において通約
　　　できず，
　　それらの上の正方形の和を中項面積
　　　とし，
　　矩形ＡＧ,ＧＢの２倍を中項面積
　　　とし，
　　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の和を
　　矩形ＡＧ,ＧＢの２倍と通約
　　　できないようにする
　　線分
　　　である。
　　　　[......(３)]

• 　前節、前々節、
  による。
• 　ＡＧ¬∩^2 ＧＢ、
  　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)；中項面積、
  　矩形(ＡＧ、ＧＢ)；中項面積
  　　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＢＧ)¬∩矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

そこで
　　ＣＤ上にＡＧ上の正方形
　　　に等しく
　　ＣＫを幅
　　　とする
　ＣＨが，
　　ＢＧ上の正方形
　　　に等しく
　ＫＬが
　　　つくられた
とせよ。
　　　　[......(１)]

• 　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形) による。
  
• 　矩形ＣＨ(ＣＤ、ＣＫ；＝正方(_ＡＧ))、
  　矩形ＫＬ(ＣＤ、ＫＭ；＝正方(_ＢＧ))
  となっている。

そうすれば
　ＣＬ全体は
　　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の和
　　　に等しい。
　　　　[......(２)]

• 　前節、
  による。
• 　矩形ＣＬ＝正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)
  

したがって
　ＣＬも
　　中項面積
　　　である。

• 　前節、前節、
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　矩形ＣＬ；中項面積
  となっている。

そして
　　有理線分ＣＤ上にＣＭを幅
　　　としてつくられている。

• 　（１）による。
• 　矩形ＣＬ(ＣＤ、ＣＭ)
  となっている。

したがって
　ＣＭは
　　有理線分
　　　であり
　　ＣＤと長さにおいて通約
　　　できない。
　　　　[......(５)]

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
• 　ＣＭ；有理線分
  となっている。

そこで
　ＣＬは
　　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の和
　　　に等しく，
そのうち
　ＣＥは
　　ＡＢ上の正方形
　　　に等しい

• 　命題の設定、 （２）
  による。
• 　矩形ＣＬ＝正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)、
  　矩形ＣＥ＝正方(_ＡＢ)
  となっている。

から，
　残りのＦＬは
　　矩形ＡＧ,ＧＢの２倍
　　　に等しい。
[......(４)]

• 　前節、
  　命題２ー７（差の平方）
  による。
• 　矩形ＣＬ＝２矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

そして
　矩形ＡＧ,ＧＢの２倍は
　　中項面積
　　　である。

• 　（３）による。
• 　２矩形(ＡＧ、ＧＢ)；中項面積
  となっている。

したがって
　ＦＬも
　　中項面積
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　矩形ＦＬ；中項面積
  となっている。

そして
　　有理線分ＦＥ上にＦＭを幅
　　　としてつくられている。

• 　命題の設定、 （１）
  による。
• 　矩形ＦＬ(ＦＥ、ＥＭ)
  となっている。

それゆえ
　ＦＭは
　　有理線分
　　　であり
　　ＣＤと長さにおいて通約
　　　できない。
　　　　[......(６)]

• 　前節、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
• 　ＦＭ；有理線分、
  　ＦＭ¬∩ＣＤ
  となっている。

そして
　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の和は
　　矩形ＡＧ,ＧＢの２倍と通約
　　　できず，
　ＣＬは
　　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の和に，
　ＦＬは
　　矩形ＡＧ,ＧＢの２倍
　　　に等しい

• 　（２） （３） （４）
  による。
• 　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)¬∩２矩形(ＡＧ、ＧＢ)、
  　矩形ＣＬ＝正方(_ＡＧ)＋正方(_ＧＢ)、
  　矩形ＦＬ＝２矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

から，
　ＣＬは
　　ＦＬと通約
　　　できない。

• 　前節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　矩形ＣＬ¬∩矩形ＦＬ
  となっている。

ところが
　ＣＬが
　　ＦＬに対するように，
　ＣＭが
　　ＭＦに
　　　対する。

• 　命題の設定、 （１）
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　矩形ＣＬ：矩形ＦＭ＝ＣＭ：ＭＦ
  となっている。

したがって
　ＣＭは
　　ＭＦと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＣＭ¬∩ＭＦ
  となっている。

そして
　両方とも
　　有理線分
　　　である。

• 　（５） （６）
  による。
• 　ＣＭ、ＭＦ；有理線分
  となっている。

ゆえに
　ＣＭ,ＭＦは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。
　　　[......(１０)]

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＣＭ∩^^2 ＭＦ
  　ＣＭ、ＭＦ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＣＦは
　　余線分である。

• 　前節、
  　定義の補足(命題１０ー７３)(余線分)
  による。
• 　ＣＦ；余線分
  となっている。

次に
　　第６の余線分
　　　でもある
と主張する．

　ＦＬは
　　矩形ＡＧ,ＧＢの２倍
　　　に等しい

• 　（４）
  による。
• 　矩形ＦＬ＝２矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

から，
　ＦＭが
　　Ｎで２等分
　　　された
とし，
　　Ｎを
　　　通り
　　ＣＤに平行に
　ＮＯが
　　　ひかれた
とせよ。
　　　　[......(９)]

• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  による。
• 　中点Ｎ(ＦＭ)、
  　交点Ｏ(ＤＬ、平行線(Ｎ、ＣＤ))
  となっている。

そうすれば
　ＦＥ,ＮＬの双方は
　　矩形ＡＧ,ＧＢ
　　　に等しい。
　　　　[......(８)]

• 　前節、 （４）
  　公理１ー６の補足３（等しいもののｎ等分、ｎ等分に等しいもの）
  による。
• 　矩形ＦＯ＝矩形ＮＬ
  　　＝矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

そして
　ＡＧ,ＧＢは
　　平方において通約
　　　できない

• 　（３）
  による。
• 　ＡＧ¬∩^2 ＧＢ
  となっている。

から，
　ＡＧ上の正方形は
　　ＧＢ上の正方形と通約
　　　できない。

• 　前節
  による。
• 　正方(_ＡＧ)¬∩正方(_ＧＢ)
  となっている。

ところが
　ＣＨは
　　ＡＧ上の正方形
　　　に等しく，
　ＫＬは
　　ＧＢ上の正方形
　　　に等しい。
　　　　[......(７)]

• 　（１）
  による。
• 　矩形ＣＨ＝正方(_ＡＧ)、 　矩形ＫＬ＝正方(_ＧＢ)
  となっている。

ゆえに
　ＣＨは
　　ＫＬと通約
　　　できない。

• 　前節、前々節
  による。
• 　矩形ＣＨ¬∩矩形ＫＬ
  となっている。

ところが
　ＣＨが
　　ＫＬに対するように，
　ＣＫが
　　ＫＭに
　　　対する。

• 　命題の設定、 （１）
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　矩形ＣＨ：矩形ＫＬ＝ＣＫ：ＫＭ
  となっている。

それゆえ
　ＣＫは
　　ＫＭと通約
　　　できない。
　　　[......(１０)]

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＣＫ¬∩ＫＭ
  となっている。

そして
　矩形ＡＧ,ＧＢは
　　ＡＧ,ＧＢ上の正方形の比例中項
　　　であり,
　ＣＨは
　　ＡＧ上の正方形
　　　に等しく，
　ＫＬは
　　ＧＢ上の正方形
　　　に等しく，
　ＮＬは
　　矩形ＡＧ,ＧＢ
　　　に等しい

• 　（７） （８）
  　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）
  による。
• 　矩形(ＡＧ、ＧＢ)＝比例中項(正方(_ＡＧ)、正方(_ＧＢ))、
  　矩形ＣＨ＝正方(_ＡＧ)、
  　矩形ＫＬ＝正方(_ＧＢ)、
  　矩形ＮＬ＝矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  となっている。

から，
　ＮＬは
　　ＣＨ,ＫＬの比例中項
　　　である。

• 　前節、
  　定義の補足３（命題６ー８）(比例中項)
  による。
• 　矩形ＮＬ＝比例中項（矩形ＣＨ、矩形ＫＬ）
  となっている。

したがって
　ＣＨが
　　ＮＬに対するように，
　ＮＬは
　　ＫＬに
　　　対する。

• 　前節、
  　定義の補足３（命題６ー８）(比例中項)
  による。
• 　矩形ＣＨ：矩形ＮＬ＝矩形ＮＬ：矩形ＫＬ
  となっている。

そして
同じ理由で
　ＣＭ上の正方形は
　　ＭＦ上の正方形よりＣＭと通約
　　　できない
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい。

• 　前命題１０ー１０１と同様に
  ということであり、
  　以下のようになる。
  
  「ところが
  　ＣＨが
  　　ＮＬに対するように，
  　ＣＫが
  　　ＮＭに，
  　ＮＬが
  　　ＫＬに対するように，
  　ＮＭが
  　　ＫＭに
  　　　対する。
  
  
  • 　（１） （９）、
    　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
    による。
  • 　矩形ＣＨ：矩形ＮＬ＝ＣＫ：ＮＭ
    　矩形ＮＬ：矩形ＫＬ＝ＮＭ：ＫＭ
    となっている。
  
  したがって
  　ＣＫが
  　　ＭＮに対するように，
  　ＭＮが
  　　ＫＭに
  　　　対する。
  
  
  • 　前節、前々節、
    　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
    による。
  • 　ＣＫ：ＭＮ＝ＭＮ：ＫＭ
    となっている。
  
  ゆえに
  　矩形ＣＫ,ＫＭは
  　　ＭＮ上の正方形に，
  すなわち
  　　ＦＭ上の正方形の４分の１
  　　　に等しい。
  
  
  • 　前節、
    　命題６ー１７（比例３線分と外項矩形、中項正方形）、
    　命題６ー２０の系(系.相似四辺形の比は対応辺の比の２乗)
    による。
    
  • 　矩形(ＣＫ、ＫＭ)＝正方(_ＭＮ)
    　　＝１／４ 正方(_ＦＭ)
    となっている。
  
  そこで
  　ＣＭ，ＭＦは
  　　不等な２線分
  　　　であり，
  　　ＦＭ上の正方形の４分の１
  　　　に等しく
  　　正方形だけ
  　　　欠けている
  　矩形が
  　　ＣＭ上に
  　　　つくられ，
  　　それを通約
  　　　できない
  　　二つの部分に
  　　　分ける
  
  
  • 　前節、 命題の設定、 （１） （１０）
    による。
  • 　ＣＭ＞ＦＭ、
    　矩形(ＣＫ、ＫＭ)＝１／４　正方(_ＦＭ)
    　ＣＫ¬∩ＫＭ
    となっている。
  
  から，
  　ＣＭ上の正方形は
  　　ＭＦ上の正方形より
  　　ＣＭと通約
  　　　できない
  　　線分上の正方形
  　　　だけ大きい。
  
  
  • 　前節、
    　命題１０ー１８（上の正方形の差が大と非通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は非通約）
    による。
  • 　正方(_ＣＭ)＝正方(_ＭＦ)＋正方(_Ｘ)、
    　Ｘ¬∩ＣＭ
    となっている。
  」
  以上である。
  
• 　正方(_ＣＭ)＝正方(_ＭＦ)＋正方(_Ｘ)、
  　Ｘ¬∩ＣＭ
  となっている。

そして
　それらのいずれも
　　　定められた
　　有理線分ＣＤと通約
　　　できない。

• 　（５） （６）
  による。
• 　ＣＭ、ＭＦ¬∩ＣＤ
  となっている。

したがって
　ＣＦは
　　第６の余線分
　　　である。

• 　前節、 （１０）
  　定義１０�Vー６
  による。
• 　ＣＭ、ＭＦ；有理線分、
  　ＣＭ∩^^2 ＭＦ、
  　正方(_ＣＭ)＝正方(_ＭＦ)＋正方(_Ｘ)、
  　　Ｘ¬∩ＣＭ
  　ＣＭ、ＭＦ¬∩ＣＤ
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー１０２は、
  　命題１０ー３５（作図.２線分;平方で非通約，平方和が中項面積，矩形は中項面積で平方和と非通約 ）
  　により、
  　　　２線分をとり、
  　　　大きい方をＡＧ、
  　　　小さい方をＢ’Ｇ’
  とし、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　Ｂ(ＡＧ；ＢＧ＝Ｂ’Ｇ’)、
  　ＡＧ¬∩^2 ＢＧ、
  　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＢＧ)；中項面積、
  　矩形(ＡＧ、ＧＢ)；中項面積
  　　正方(_ＡＧ)＋正方(_ＢＧ)¬∩矩形(ＡＧ、ＧＢ)
  　ＣＤ；有理線分、
  　矩形ＣＥ(ＣＤ、ＣＦ；＝正方(_ＡＢ))
  とし、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　矩形ＣＨ(ＣＤ、ＣＫ；＝正方(_ＡＧ))、
  　矩形ＫＬ(ＣＤ、ＫＭ；＝正方(_ＢＧ))
  とし、
  　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  により、
  　中点Ｎ(ＦＭ)、
  　交点Ｎ(ＤＬ、平行線(Ｎ、ＣＤ))
  とすれば、
  　ＣＭ、ＭＦ；有理線分、
  　ＣＭ∩^^2 ＭＦ、
  　正方(_ＣＭ)＝正方(_ＭＦ)＋正方(_Ｘ)、
  　　Ｘ¬∩ＣＭ
  　ＣＭ、ＭＦ¬∩ＣＤ
  　ＣＦ；第６の余線分
  のことである。
• 命題１０ー１０２は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		補3(題6-8),10-3補,補(題10-73),10�V-6
  公準
  公理		1-6補3
  命題	1-3,1-10,1-31,6-16補3, 10-35	2-7,5-11,6-1,6-17,6-20系,10-11,10-13,10-18,10-22,10-22助,10-23系
  その他

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