ユークリッド原論をどう読むか(16)
頁末
前
次
目次
ユークリッド原論
第10巻
命題10ー102
(中項面積の差に等しい正方形の辺上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第6の余線分)
二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
の上の
正方形
に
等し
い
矩形
が
有理線分
上に
つくられる
ならば,
第6の余線分
を
幅
とする。
二つの中項面積の差に等しい正方形の辺は、
定義の補足(命題10ー78)
による。
正方形は、
定義1ー22
による。
等しいは、
公理1ー7
による。
矩形は、
定義1ー22
による。
有理線分は、
定義10ー3の補足
による。
第6の余線分は、
定義10Vー6
による。
幅は、
定義の補足(命題10ー20)
による。
ABを
二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
CDを
有理線分
とし,
AB上の
正方形
に
等し
く
CD上にCFを
幅
とする
矩形
CEが
つくられた
とせよ。
命題10ー35
(作図.2線分;平方で非通約,平方和が中項面積,矩形は中項面積で平方和と非通約)
により、
2線分をとり、
大きい方をAG、
小さい方をB’G’
とし、
命題1ー3
(作図・等しい線分を切り取る)
による。
また、
命題の補足2(定義10ー3)(作図.任意の有理線分)、
命題6ー16の補足3
(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
による。
B(AG;BG=B’G’)、
AG¬∩^2 BG、
正方(_AG)+正方(_BG);中項面積、
矩形(AG、GB);中項面積
正方(_AG)+正方(_BG)¬∩矩形(AG、GB)
CD;有理線分、
矩形CE(CD、CF;=正方(_AB))
となっている。
CFは
第6の余線分
であると
主張する。
BGを
ABへの付加
とせよ。
前節、
による。
AG¬∩^2 BG、
正方(_AG)+正方(_BG);中項面積、
矩形(AG、GB);有理面積
正方(_AG)+正方(_BG)¬∩矩形(AG、GB)
となっている。
そうすれば
AG,GBは
平方において通約
できず,
それらの上の
正方形
の和を
中項面積
とし,
矩形
AG,GBの2
倍
を
中項面積
とし,
AG,GB上の
正方形
の和を
矩形
AG,GBの2
倍
と
通約
できないようにする
線分
である。
[......(3)]
前節、前々節、
による。
AG¬∩^2 GB、
正方(_AG)+正方(_GB);中項面積、
矩形(AG、GB);中項面積
正方(_AG)+正方(_BG)¬∩矩形(AG、GB)
となっている。
そこで
CD上にAG上の
正方形
に
等し
く
CKを
幅
とする
CHが,
BG上の
正方形
に
等し
く
KLが
つくられた
とせよ。
[......(1)]
命題6ー16の補足3
(作図.線分上に矩形と等しい矩形) による。
矩形CH(CD、CK;=正方(_AG))、
矩形KL(CD、KM;=正方(_BG))
となっている。
そうすれば
CL全体は
AG,GB上の
正方形
の和
に
等し
い。
[......(2)]
前節、
による。
矩形CL=正方(_AG)+正方(_GB)
したがって
CLも
中項面積
である。
前節、前節、
命題10ー23の系
(中項面積と通約なら中項面積)
による。
矩形CL;中項面積
となっている。
そして
有理線分
CD上にCMを
幅
としてつくられている。
(1)
による。
矩形CL(CD、CM)
となっている。
したがって
CMは
有理線分
であり
CDと
長さにおいて通約
できない。
[......(5)]
前節、前々節、
命題10ー22
(中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約)
による。
CM;有理線分
となっている。
そこで
CLは
AG,GB上の
正方形
の和
に
等し
く,
そのうち
CEは
AB上の
正方形
に
等し
い
命題の設定
、
(2)
による。
矩形CL=正方(_AG)+正方(_GB)、
矩形CE=正方(_AB)
となっている。
から,
残りのFLは
矩形
AG,GBの2
倍
に
等し
い。
[......(4)]
前節、
命題2ー7
(差の平方)
による。
矩形CL=2矩形(AG、GB)
となっている。
そして
矩形
AG,GBの2
倍
は
中項面積
である。
(3)
による。
2矩形(AG、GB);中項面積
となっている。
したがって
FLも
中項面積
である。
前節、前々節、
命題10ー23の系
(中項面積と通約なら中項面積)
による。
矩形FL;中項面積
となっている。
そして
有理線分
FE上にFMを
幅
としてつくられている。
命題の設定
、
(1)
による。
矩形FL(FE、EM)
となっている。
それゆえ
FMは
有理線分
であり
CDと
長さにおいて通約
できない。
[......(6)]
前節、
命題10ー22
(中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約)
による。
FM;有理線分、
FM¬∩CD
となっている。
そして
AG,GB上の
正方形
の和は
矩形
AG,GBの2
倍
と
通約
できず,
CLは
AG,GB上の
正方形
の和に,
FLは
矩形
AG,GBの2
倍
に
等し
い
(2)
(3)
(4)
による。
正方(_AG)+正方(_GB)¬∩2矩形(AG、GB)、
矩形CL=正方(_AG)+正方(_GB)、
矩形FL=2矩形(AG、GB)
となっている。
から,
CLは
FLと
通約
できない。
前節、
命題10ー13
(通約量と非通約なら非通約)
による。
矩形CL¬∩矩形FL
となっている。
ところが
CLが
FLに
対する
ように,
CMが
MFに
対する
。
命題の設定
、
(1)
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
による。
矩形CL:矩形FM=CM:MF
となっている。
したがって
CMは
MFと
長さにおいて通約
できない。
前節、前々節、
命題10ー11
(4量比例で一方が通約なら他方も通約)
による。
CM¬∩MF
となっている。
そして
両方とも
有理線分
である。
(5)
(6)
による。
CM、MF;有理線分
となっている。
ゆえに
CM,MFは
平方においてのみ通約
できる
有理線分
である。
[......(10)]
前節、前々節、
定義10ー3の補足
(有理線分)
による。
CM∩^^2 MF
CM、MF;有理線分
となっている。
したがって
CFは
余線分
である。
前節、
定義の補足(命題10ー73)
(余線分)
による。
CF;余線分
となっている。
次に
第6の余線分
でもある
と主張する.
FLは
矩形
AG,GBの2
倍
に
等し
い
(4)
による。
矩形FL=2矩形(AG、GB)
となっている。
から,
FMが
Nで2
等分
された
とし,
Nを
通り
CDに
平行
に
NOが
ひかれた
とせよ。
[......(9)]
命題1ー10
(作図・線分の2等分)
命題1ー31
(作図・平行線)
による。
中点N(FM)、
交点O(DL、平行線(N、CD))
となっている。
そうすれば
FE,NLの双方は
矩形
AG,GB
に
等し
い。
[......(8)]
前節、
(4)
公理1ー6の補足3
(等しいもののn等分、n等分に等しいもの)
による。
矩形FO=矩形NL
=矩形(AG、GB)
となっている。
そして
AG,GBは
平方において通約
できない
(3)
による。
AG¬∩^2 GB
となっている。
から,
AG上の
正方形
は
GB上の
正方形
と
通約
できない。
前節
による。
正方(_AG)¬∩正方(_GB)
となっている。
ところが
CHは
AG上の
正方形
に
等し
く,
KLは
GB上の
正方形
に
等し
い。
[......(7)]
(1)
による。
矩形CH=正方(_AG)、 矩形KL=正方(_GB)
となっている。
ゆえに
CHは
KLと
通約
できない。
前節、前々節
による。
矩形CH¬∩矩形KL
となっている。
ところが
CHが
KLに
対する
ように,
CKが
KMに
対する
。
命題の設定
、
(1)
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
による。
矩形CH:矩形KL=CK:KM
となっている。
それゆえ
CKは
KMと
通約
できない。
[......(10)]
前節、前々節、
命題10ー11
(4量比例で一方が通約なら他方も通約)
による。
CK¬∩KM
となっている。
そして
矩形
AG,GBは
AG,GB上の
正方形
の
比例中項
であり,
CHは
AG上の
正方形
に
等し
く,
KLは
GB上の
正方形
に
等し
く,
NLは
矩形
AG,GB
に
等し
い
(7)
(8)
命題10ー22助
(2線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例)
による。
矩形(AG、GB)=比例中項(正方(_AG)、正方(_GB))、
矩形CH=正方(_AG)、
矩形KL=正方(_GB)、
矩形NL=矩形(AG、GB)
となっている。
から,
NLは
CH,KLの
比例中項
である。
前節、
定義の補足3(命題6ー8)
(比例中項)
による。
矩形NL=比例中項(矩形CH、矩形KL)
となっている。
したがって
CHが
NLに
対する
ように,
NLは
KLに
対する
。
前節、
定義の補足3(命題6ー8)
(比例中項)
による。
矩形CH:矩形NL=矩形NL:矩形KL
となっている。
そして
同じ理由で
CM上の
正方形
は
MF上の
正方形
よりCMと
通約
できない
線分
上の
正方形
だけ
大きい。
前命題10ー101と同様に
ということであり、
以下のようになる。
「ところが
CHが
NLに対するように,
CKが
NMに,
NLが
KLに対するように,
NMが
KMに
対する。
(1)
(9)
、
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
による。
矩形CH:矩形NL=CK:NM
矩形NL:矩形KL=NM:KM
となっている。
したがって
CKが
MNに対するように,
MNが
KMに
対する。
前節、前々節、
命題5ー11
(同一の比に同じ比)
による。
CK:MN=MN:KM
となっている。
ゆえに
矩形CK,KMは
MN上の正方形に,
すなわち
FM上の正方形の4分の1
に等しい。
前節、
命題6ー17
(比例3線分と外項矩形、中項正方形)、
命題6ー20の系
(系.相似四辺形の比は対応辺の比の2乗)
による。
矩形(CK、KM)=正方(_MN)
=1/4 正方(_FM)
となっている。
そこで
CM,MFは
不等な2
線分
であり,
FM上の
正方形
の4
分の1
に
等し
く
正方形
だけ
欠けている
矩形
が
CM上に
つくられ,
それを
通約
できない
二つの部分に
分ける
前節、
命題の設定
、
(1)
(10)
による。
CM>FM、
矩形(CK、KM)=1/4 正方(_FM)
CK¬∩KM
となっている。
から,
CM上の
正方形
は
MF上の
正方形
より
CMと
通約
できない
線分
上の
正方形
だけ
大き
い。
前節、
命題10ー18
(上の正方形の差が大と非通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割(コ)の辺は非通約)
による。
正方(_CM)=正方(_MF)+正方(_X)、
X¬∩CM
となっている。
」
以上である。
正方(_CM)=正方(_MF)+正方(_X)、
X¬∩CM
となっている。
そして
それらのいずれも
定められた
有理線分
CDと
通約
できない。
(5)
(6)
による。
CM、MF¬∩CD
となっている。
したがって
CFは
第6の余線分
である。
前節、
(10)
定義10Vー6
による。
CM、MF;有理線分、
CM∩^^2 MF、
正方(_CM)=正方(_MF)+正方(_X)、
X¬∩CM
CM、MF¬∩CD
となっている。
これが証明すべきことであった。
命題10ー102
は、
命題10ー35
(作図.2線分;平方で非通約,平方和が中項面積,矩形は中項面積で平方和と非通約 )
により、
2線分をとり、
大きい方をAG、
小さい方をB’G’
とし、
命題1ー3
(作図・等しい線分を切り取る)
命題の補足2(定義10ー3)
(作図.任意の有理線分)、
命題6ー16の補足3
(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
により、
B(AG;BG=B’G’)、
AG¬∩^2 BG、
正方(_AG)+正方(_BG);中項面積、
矩形(AG、GB);中項面積
正方(_AG)+正方(_BG)¬∩矩形(AG、GB)
CD;有理線分、
矩形CE(CD、CF;=正方(_AB))
とし、
命題6ー16の補足3
(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
により、
矩形CH(CD、CK;=正方(_AG))、
矩形KL(CD、KM;=正方(_BG))
とし、
命題1ー10
(作図・線分の2等分)
命題1ー31
(作図・平行線)
により、
中点N(FM)、
交点N(DL、平行線(N、CD))
とすれば、
CM、MF;有理線分、
CM∩^^2 MF、
正方(_CM)=正方(_MF)+正方(_X)、
X¬∩CM
CM、MF¬∩CD
CF;第6の余線分
のことである。
命題10ー102
は推論用命題である。
前提
作図・構成
推論
定義
補3(題6-8)
,
10-3補
,
補(題10-73)
,
10V-6
公準
公理
1-6補3
命題
1-3
,
1-10
,
1-31
,
6-16補3
,
10-35
2-7
,
5-11
,
6-1
,
6-17
,
6-20系
,
10-11
,
10-13
,
10-18
,
10-22
,
10-22助
,
10-23系
その他
前
次
目次
頁頭