ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー６３（優線分上の正方形は有理線分上の矩形なら幅は第４の二項線分）
　優線分の上の正方形
　に等しい矩形は、
　　有理線分上に
　　　つくられる
と、
　　第４の二項線分を
　　　幅とする。

• 優線分は、
  定義の補足(命題１０ー３９) による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 矩形は、
  定義１ー２２による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 第４の二項線分は、
  定義１０�Uー４による。
• 幅は、
  定義の補足（命題１０ー２０）による。

　ＡＢを
　　Ｃで分けられ、
　　ＡＣが
　　　ＣＢより大きい優線分
とし、
　ＤＥを
　　有理線分
とし、
　ＡＢ上の正方形に等しく、
　ＤＥ上にＤＧを幅とする矩形ＤＦが
　　つくられた
とせよ。
　ＤＧは
　　第４の二項線分である
と主張する。

• 　命題１０ー３３（作図.２線分；平方で非通約、平方和が有理面積、矩形が中項面積）
  により、
  　線分ＡＣ、ＣＢ；
  　　ＡＣ¬∩^^2 ＣＢ
  　　、正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)；有理面積
  　　、矩形(ＡＣ,ＣＢ)；中項面積
  をとり、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  により、
  　ＤＥ；有理線分
  をとり、
  　命題１ー４５の補足２(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
  により
  　矩形(ＤＥ、ＤＧ；＝正方(_ＡＢ))
  をつくる。
  
• 　ＡＣ；中項線分、
  　ＣＢ；中項線分、∩^^2 ＡＣ、＜ＡＣ
  　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)；有理面積
  　矩形(ＡＣ、ＣＢ)；中項面積
  　ＤＥ；有理線分
  　矩形(ＤＥ、ＤＧ；＝正方(_ＡＢ))
  となっている。
  

　先の証明と同じ作図がなされた
とせよ。

• 　命題１ー４５の補足２(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
  により、
  　矩形ＤＨ(ＤＥ、ＤＫ；＝正方(_ＡＣ)）、
  　矩形ＫＬ(ＤＥ、ＫＭ；＝正方(_ＢＣ)）
  をとると、
  　命題２ー４（２分線分上の正方形）
  により、
  　矩形ＭＦ＝２矩形(ＡＣ、ＣＢ)
  となり、
  　命題１ー１０（作図・線分の２等分）、
  により、
  　中点Ｎ(ＭＧ)
  をとり、
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  により、
  　交点Ｑ(ＥＦ、平行線(Ｎ、ＭＬ))
  をとる。
  
• 　矩形ＤＨ＝正方(_ＡＣ)、
  　矩形ＫＬ＝正方(_ＢＣ)）
  　矩形ＭＦ＝２矩形(ＡＣ、ＣＢ)
  　ＭＮ＝ＮＧ、
  　ＮＱ//ＭＬ
  となっている。
  　　　　[......(１)]
  

そうすれば
　ＡＢは
　　Ｃで分けられた優線分である
から、
　ＡＣ、ＣＢは
　　平方において通約できず、
　　それらの上の正方形の和を
　　　有理面積
　　とし、
　　それらによってかこまれる矩形を
　　　中項面積
とする。

• 　命題の設定である。
• 　ＡＣ；中項線分、
  　ＣＢ；中項線分、∩^^2 ＡＣ、＜ＡＣ
  　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)；有理面積
  　矩形(ＡＣ、ＣＢ)；中項面積
  となっている。
  

そこで
　ＡＣ、ＣＢ上の正方形の和は
　　有理面積である
から、
　ＤＬは
　　有理面積である。

• 　前節、 （１）による。
• 　矩形ＤＬ；有理面積
  となっている。

したがって
　ＤＭも
　　有理線分であり、
　　ＤＥと
　　　長さにおいて通約できる。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、
  　命題１０ー２０（有理線分上の有理面積の矩形幅は底辺と長さで通約） による。
• 　ＤＭ；有理線分、∩ＤＥ
  となっている。

また
　矩形ＡＣ、ＣＢの２倍、
　すなわち
　ＭＦは
　　中項面積であり、
　　有理線分ＭＬ上にある
から、
　ＭＧも
　　有理線分であり、
　　ＤＥと長さにおいて通約できない。

• 　命題の設定、
  （１）、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
  
• 　矩形ＭＦ（ＤＥ、ＭＬ）
  　　＝２矩形(ＡＣ、ＣＢ)；中項面積
  　ＭＧ¬∩ＤＥ
  となっている。

したがって
　ＤＭも
　　ＭＧと長さにおいて通約できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＤＭ¬∩ＭＧ
  となっている。

ゆえに
　ＤＭ、ＭＧは
　　平方においてのみ通約できる
　　有理線分である。
[......(４)]

• 　前節、前々節、 （２）による。
• 　ＤＭ、ＭＧ；有理線分、
  　ＤＭ∩^^2 ＭＧ
  となっている。　

したがって
　ＤＧは
　　二項線分である。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)
  による。
• 　ＤＧ；二項線分
  となっている。

　第４の二項線分でもある
ことを証明しなければならない。
　前と同様にして、
　ＤＭは
　　ＭＧより大きく、
　　そして
　矩形ＤＫＭは
　　ＭＮ上の正方形に等しい
ことを証明しうる。
　　　　　　[......(３)]

• 　命題２ー７（差の平方）
  により、
  　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)＞２矩形(ＡＣ、ＣＢ)
  となり、
  　（１）により、
  　ＤＬ＞ＭＦ
  となり、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  　命題５ー１４（同じ比の前(後)項の大等小）
  により、
  　ＤＭ＞ＭＧ
  となる、
  また、
  　（１）、
  　定義の補足３（命題６ー８）(比例中項)
  により、
  　矩形(ＤＫＭ)、正方(_ＭＮ)
  　　；比例中項（正方(_ＡＣ)、正方(_ＣＢ)）
  となっている。
• 　ＤＭ＞ＭＧ
  　矩形(ＤＫＭ)＝正方(_ＭＮ)
  となっている。

そうすれば
　ＡＣ上の正方形は
　　ＣＢ上の正方形と通約できない

• 　命題の設定による。
• 　正方(_ＡＣ)¬∩正方(_ＣＢ)
  となっている。

から、
　ＤＨも
　　ＫＬと通約できない。

• 　前節、 （１）による。
• 　ＤＨ¬∩ＫＬ
  となっている。

したがって
　ＤＫも
　　ＫＭと通約できない。

• 　前節、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
  
• 　ＤＫ¬∩ＫＭ
  となっている。

ところが
もし
　二つの不等な線分が
　　あり、
　小さい線分上の正方形の４分の１に等しくて
　正方形だけ欠けている平行四辺形が
　　大きい線分上につくられ、
　　それを通約できない部分に分ける
ならば、
　大きい線分上の正方形は
　　小さい線分上の正方形より
　　大きい線分と長さにおいて通約できない
　　　線分上の正方形だけ大きい。

• 　命題１０ー１８（上の正方形の差が大と非通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は非通約）
  である。

したがって
　ＤＭ上の正方形は
　　ＭＧ上の正方形より
　　ＤＭと通約できない線分上の
　　正方形だけ大きい。

• 　前節、前々節、 （３）による。
• 　正方(_ＤＭ)＝正方(_ＭＧ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ¬∩ＤＭ
  となっている。

そして
　ＤＭ、ＭＧは
　　平方においてのみ通約できる有理線分であり、
　ＤＭは
　　定められた有理線分ＤＥと通約できる。

• 　（２） （４）による。
• 　ＤＭ、ＭＧ；有理線分
  　ＤＭ∩^^2 ＭＧ、
  　ＤＭ∩ＤＥ
  となっている。

よって
　ＤＧは
　　第４の二項線分である。

• 　前節、前々節による。
• 　ＤＧ；第４の二項線分
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー６３は、
  　命題１０ー３３（作図.２線分；平方で非通約、平方和が有理面積、矩形が中項面積）
  　により、
  　線分ＡＣ、ＣＢ；
  　　ＡＣ¬∩^^2 ＣＢ
  　　、正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)；有理面積
  　　、矩形(ＡＣ,ＣＢ)；中項面積
  をとり、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  により、
  　ＤＥ；有理線分
  をとり、
  　命題１ー４５の補足２(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
  により
  　矩形(ＤＥ、ＤＧ；＝正方(_ＡＢ))
  　矩形ＤＨ(ＤＥ、ＤＫ；＝正方(_ＡＣ)）、
  　矩形ＫＬ(ＤＥ、ＫＭ；＝正方(_ＢＣ)）
  　中点Ｎ(ＭＧ)
  をとると、
  　ＤＭ、ＭＧ；有理線分
  　ＤＭ∩^^2 ＭＧ、
  　ＤＭ∩ＤＥ
  　正方(_ＤＭ)＝正方(_ＭＧ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ¬∩ＤＭ
  となり、
  　ＤＧ；第４の二項線分
  のことである。
  
• 命題１０ー６３は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		補3(題6-8),補(題10-36)
  公準
  公理
  命題	1-10,1-31,補2(義10-3),10-33,10-45補2	2-4,2-7,5-14,6-1,10-11,10-13,10-18,10-20,10-22
  その他

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